MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-ceil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-ceil 30276
Description: Example for df-ceil 13796. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-ceil ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Proof of Theorem ex-ceil
StepHypRef Expression
1 ex-fl 30275 . 2 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
2 3re 12328 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 12497 . . . . . 6 (3 / 2) ∈ ℝ
43renegcli 11557 . . . . 5 -(3 / 2) ∈ ℝ
5 ceilval 13841 . . . . 5 (-(3 / 2) ∈ ℝ → (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2)))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2))
73recni 11264 . . . . . . . . . 10 (3 / 2) ∈ ℂ
87negnegi 11566 . . . . . . . . 9 --(3 / 2) = (3 / 2)
98eqcomi 2736 . . . . . . . 8 (3 / 2) = --(3 / 2)
109fveq2i 6903 . . . . . . 7 (⌊‘(3 / 2)) = (⌊‘--(3 / 2))
1110eqeq1i 2732 . . . . . 6 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
1211biimpi 215 . . . . 5 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
1312negeqd 11490 . . . 4 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → -(⌊‘--(3 / 2)) = -1)
146, 13eqtrid 2779 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
15 ceilval 13841 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℝ → (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2)))
163, 15ax-mp 5 . . . 4 (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2))
17 negeq 11488 . . . . 5 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = --2)
18 2cn 12323 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
1918negnegi 11566 . . . . 5 --2 = 2
2017, 19eqtrdi 2783 . . . 4 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = 2)
2116, 20eqtrid 2779 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → (⌈‘(3 / 2)) = 2)
2214, 21anim12ci 612 . 2 (((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2) → ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1))
231, 22ax-mp 5 1 ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6551  (class class class)co 7424  cr 11143  1c1 11145  -cneg 11481   / cdiv 11907  2c2 12303  3c3 12304  cfl 13793  cceil 13794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-fl 13795  df-ceil 13796
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator