Theorem ex-ceil 30206

Description: Example for df-ceil 13761. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-ceil	⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Proof of Theorem ex-ceil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-fl 30205	. 2 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
2		3re 12293	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12462	. . . . . 6 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4	3	renegcli 11522	. . . . 5 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
5		ceilval 13806	. . . . 5 ⊢ (-(3 / 2) ∈ ℝ → (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2))
7	3	recni 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
8	7	negnegi 11531	. . . . . . . . 9 ⊢ --(3 / 2) = (3 / 2)
9	8	eqcomi 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (3 / 2) = --(3 / 2)
10	9	fveq2i 6887	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = (⌊‘--(3 / 2))
11	10	eqeq1i 2731	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
12	11	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
13	12	negeqd 11455	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → -(⌊‘--(3 / 2)) = -1)
14	6, 13	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
15		ceilval 13806	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℝ → (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2)))
16	3, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2))
17		negeq 11453	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = --2)
18		2cn 12288	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
19	18	negnegi 11531	. . . . 5 ⊢ --2 = 2
20	17, 19	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = 2)
21	16, 20	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → (⌈‘(3 / 2)) = 2)
22	14, 21	anim12ci 613	. 2 ⊢ (((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2) → ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1))
23	1, 22	ax-mp 5	1 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℝcr 11108  1c1 11110  -cneg 11446   / cdiv 11872  2c2 12268  3c3 12269  ⌊cfl 13758  ⌈cceil 13759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fl 13760  df-ceil 13761

This theorem is referenced by: (None)