Theorem ex-ceil 29701

Description: Example for df-ceil 13758. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-ceil	⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Proof of Theorem ex-ceil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-fl 29700	. 2 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
2		3re 12292	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12461	. . . . . 6 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4	3	renegcli 11521	. . . . 5 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
5		ceilval 13803	. . . . 5 ⊢ (-(3 / 2) ∈ ℝ → (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2))
7	3	recni 11228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
8	7	negnegi 11530	. . . . . . . . 9 ⊢ --(3 / 2) = (3 / 2)
9	8	eqcomi 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (3 / 2) = --(3 / 2)
10	9	fveq2i 6895	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = (⌊‘--(3 / 2))
11	10	eqeq1i 2738	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
12	11	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
13	12	negeqd 11454	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → -(⌊‘--(3 / 2)) = -1)
14	6, 13	eqtrid 2785	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
15		ceilval 13803	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℝ → (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2)))
16	3, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2))
17		negeq 11452	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = --2)
18		2cn 12287	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
19	18	negnegi 11530	. . . . 5 ⊢ --2 = 2
20	17, 19	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = 2)
21	16, 20	eqtrid 2785	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → (⌈‘(3 / 2)) = 2)
22	14, 21	anim12ci 615	. 2 ⊢ (((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2) → ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1))
23	1, 22	ax-mp 5	1 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  1c1 11111  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  3c3 12268  ⌊cfl 13755  ⌈cceil 13756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fl 13757  df-ceil 13758

This theorem is referenced by: (None)