MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-ceil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-ceil 28231
Description: Example for df-ceil 13158. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-ceil ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Proof of Theorem ex-ceil
StepHypRef Expression
1 ex-fl 28230 . 2 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
2 3re 11705 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 11874 . . . . . 6 (3 / 2) ∈ ℝ
43renegcli 10936 . . . . 5 -(3 / 2) ∈ ℝ
5 ceilval 13203 . . . . 5 (-(3 / 2) ∈ ℝ → (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2)))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2))
73recni 10644 . . . . . . . . . 10 (3 / 2) ∈ ℂ
87negnegi 10945 . . . . . . . . 9 --(3 / 2) = (3 / 2)
98eqcomi 2831 . . . . . . . 8 (3 / 2) = --(3 / 2)
109fveq2i 6655 . . . . . . 7 (⌊‘(3 / 2)) = (⌊‘--(3 / 2))
1110eqeq1i 2827 . . . . . 6 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
1211biimpi 219 . . . . 5 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
1312negeqd 10869 . . . 4 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → -(⌊‘--(3 / 2)) = -1)
146, 13syl5eq 2869 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
15 ceilval 13203 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℝ → (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2)))
163, 15ax-mp 5 . . . 4 (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2))
17 negeq 10867 . . . . 5 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = --2)
18 2cn 11700 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
1918negnegi 10945 . . . . 5 --2 = 2
2017, 19syl6eq 2873 . . . 4 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = 2)
2116, 20syl5eq 2869 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → (⌈‘(3 / 2)) = 2)
2214, 21anim12ci 616 . 2 (((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2) → ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1))
231, 22ax-mp 5 1 ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  cfv 6334  (class class class)co 7140  cr 10525  1c1 10527  -cneg 10860   / cdiv 11286  2c2 11680  3c3 11681  cfl 13155  cceil 13156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fl 13157  df-ceil 13158
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator