Theorem ex-ceil 31054

Description: Example for df-ceil 13936. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-ceil	⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘ -(3 / 2)) = -1)

Proof of Theorem ex-ceil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-fl 31053	. 2 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘ -(3 / 2)) = -2)
2		3re 12426	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 12598	. . . . . 6 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4	3	renegcli 11622	. . . . 5 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
5		ceilval 13981	. . . . 5 ⊢ ( -(3 / 2) ∈ ℝ → (⌈‘ -(3 / 2)) = -(⌊‘ - -(3 / 2)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⌈‘ -(3 / 2)) = -(⌊‘ - -(3 / 2))
7	3	recni 11326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
8	7	negnegi 11631	. . . . . . . . 9 ⊢ - -(3 / 2) = (3 / 2)
9	8	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (3 / 2) = - -(3 / 2)
10	9	fveq2i 6888	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = (⌊‘ - -(3 / 2))
11	10	eqeq1i 2765	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (⌊‘ - -(3 / 2)) = 1)
12	11	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌊‘ - -(3 / 2)) = 1)
13	12	negeqd 11554	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → -(⌊‘ - -(3 / 2)) = -1)
14	6, 13	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌈‘ -(3 / 2)) = -1)
15		ceilval 13981	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℝ → (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘ -(3 / 2)))
16	3, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘ -(3 / 2))
17		negeq 11552	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘ -(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘ -(3 / 2)) = - -2)
18		2cn 12421	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
19	18	negnegi 11631	. . . . 5 ⊢ - -2 = 2
20	17, 19	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((⌊‘ -(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘ -(3 / 2)) = 2)
21	16, 20	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ ((⌊‘ -(3 / 2)) = -2 → (⌈‘(3 / 2)) = 2)
22	14, 21	anim12ci 626	. 2 ⊢ (((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘ -(3 / 2)) = -2) → ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘ -(3 / 2)) = -1))
23	1, 22	ax-mp 5	1 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘ -(3 / 2)) = -1)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  1c1 11204   -cneg 11545   / cdiv 11976  2c2 12400  3c3 12401  ⌊cfl 13933  ⌈cceil 13934

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fl 13935  df-ceil 13936

This theorem is used by:  2ltceilhalf  48495