Theorem fldiv4lem1div2 13796

Description: The floor of a positive integer divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12875	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		1lt4 12352	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
3		1nn0 12453	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		4nn 12264	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		divfl0 13783	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0))
6	3, 4, 5	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0)
7	2, 6	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) = 0
8		1re 11144	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		4re 12265	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
10		4ne0 12289	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
11		redivcl 11874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (1 / 4) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13757	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ)
13	12	zred 12633	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ)
14	8, 9, 10, 13	mp3an 1464	. . . . . 6 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ
15	14	eqlei 11256	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(1 / 4)) = 0 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
16	7, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
17		fvoveq1 7390	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(1 / 4)))
18		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
19		1m1e0 12253	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
21	20	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = (0 / 2))
22		2cnne0 12386	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
23		div0 11842	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (0 / 2) = 0)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 / 2) = 0
25	21, 24	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = 0)
26	16, 17, 25	3brtr4d 5117	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
27		fldiv4lem1div2uz2 13795	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
28	26, 27	jaoi 858	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
29	1, 28	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  4c4 12238  ℕ₀cn0 12437  ℤ_≥cuz 12788  ⌊cfl 13749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0g  27325