MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv4lem1div2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldiv4lem1div2 13781
Description: The floor of a positive integer divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4lem1div2 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 12888 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 1lt4 12367 . . . . . 6 1 < 4
3 1nn0 12467 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
4 4nn 12274 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
5 divfl0 13768 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0))
63, 4, 5mp2an 690 . . . . . 6 (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0)
72, 6mpbi 229 . . . . 5 (⌊‘(1 / 4)) = 0
8 1re 11193 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
9 4re 12275 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
10 4ne0 12299 . . . . . . 7 4 ≠ 0
11 redivcl 11912 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (1 / 4) ∈ ℝ)
1211flcld 13742 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ)
1312zred 12645 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ)
148, 9, 10, 13mp3an 1461 . . . . . 6 (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ
1514eqlei 11303 . . . . 5 ((⌊‘(1 / 4)) = 0 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
167, 15mp1i 13 . . . 4 (𝑁 = 1 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
17 fvoveq1 7413 . . . 4 (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(1 / 4)))
18 oveq1 7397 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
19 1m1e0 12263 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
2018, 19eqtrdi 2787 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
2120oveq1d 7405 . . . . 5 (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = (0 / 2))
22 2cnne0 12401 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
23 div0 11881 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (0 / 2) = 0)
2422, 23ax-mp 5 . . . . 5 (0 / 2) = 0
2521, 24eqtrdi 2787 . . . 4 (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = 0)
2616, 17, 253brtr4d 5170 . . 3 (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
27 fldiv4lem1div2uz2 13780 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
2826, 27jaoi 855 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
291, 28sylbi 216 1 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939   class class class wbr 5138  cfv 6529  (class class class)co 7390  cc 11087  cr 11088  0cc0 11089  1c1 11090   < clt 11227  cle 11228  cmin 11423   / cdiv 11850  cn 12191  2c2 12246  4c4 12248  0cn0 12451  cuz 12801  cfl 13734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166  ax-pre-sup 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11851  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-n0 12452  df-z 12538  df-uz 12802  df-rp 12954  df-fl 13736
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0g  26787
  Copyright terms: Public domain W3C validator