MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv4lem1div2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldiv4lem1div2 13749
Description: The floor of a positive integer divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4lem1div2 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 12857 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 1lt4 12336 . . . . . 6 1 < 4
3 1nn0 12436 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
4 4nn 12243 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
5 divfl0 13736 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0))
63, 4, 5mp2an 691 . . . . . 6 (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0)
72, 6mpbi 229 . . . . 5 (⌊‘(1 / 4)) = 0
8 1re 11162 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
9 4re 12244 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
10 4ne0 12268 . . . . . . 7 4 ≠ 0
11 redivcl 11881 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (1 / 4) ∈ ℝ)
1211flcld 13710 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ)
1312zred 12614 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ)
148, 9, 10, 13mp3an 1462 . . . . . 6 (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ
1514eqlei 11272 . . . . 5 ((⌊‘(1 / 4)) = 0 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
167, 15mp1i 13 . . . 4 (𝑁 = 1 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
17 fvoveq1 7385 . . . 4 (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(1 / 4)))
18 oveq1 7369 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
19 1m1e0 12232 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
2018, 19eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
2120oveq1d 7377 . . . . 5 (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = (0 / 2))
22 2cnne0 12370 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
23 div0 11850 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (0 / 2) = 0)
2422, 23ax-mp 5 . . . . 5 (0 / 2) = 0
2521, 24eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = 0)
2616, 17, 253brtr4d 5142 . . 3 (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
27 fldiv4lem1div2uz2 13748 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
2826, 27jaoi 856 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
291, 28sylbi 216 1 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cc 11056  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392   / cdiv 11819  cn 12160  2c2 12215  4c4 12217  0cn0 12420  cuz 12770  cfl 13702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0g  26726
  Copyright terms: Public domain W3C validator