MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv4lem1div2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldiv4lem1div2 13774
Description: The floor of a positive integer divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4lem1div2 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 12881 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 1lt4 12360 . . . . . 6 1 < 4
3 1nn0 12460 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
4 4nn 12267 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
5 divfl0 13761 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0))
63, 4, 5mp2an 690 . . . . . 6 (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0)
72, 6mpbi 229 . . . . 5 (⌊‘(1 / 4)) = 0
8 1re 11186 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
9 4re 12268 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
10 4ne0 12292 . . . . . . 7 4 ≠ 0
11 redivcl 11905 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (1 / 4) ∈ ℝ)
1211flcld 13735 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ)
1312zred 12638 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ 4 ≠ 0) → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ)
148, 9, 10, 13mp3an 1461 . . . . . 6 (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ
1514eqlei 11296 . . . . 5 ((⌊‘(1 / 4)) = 0 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
167, 15mp1i 13 . . . 4 (𝑁 = 1 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
17 fvoveq1 7407 . . . 4 (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(1 / 4)))
18 oveq1 7391 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
19 1m1e0 12256 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
2018, 19eqtrdi 2787 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
2120oveq1d 7399 . . . . 5 (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = (0 / 2))
22 2cnne0 12394 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
23 div0 11874 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (0 / 2) = 0)
2422, 23ax-mp 5 . . . . 5 (0 / 2) = 0
2521, 24eqtrdi 2787 . . . 4 (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = 0)
2616, 17, 253brtr4d 5164 . . 3 (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
27 fldiv4lem1div2uz2 13773 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
2826, 27jaoi 855 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
291, 28sylbi 216 1 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939   class class class wbr 5132  cfv 6523  (class class class)co 7384  cc 11080  cr 11081  0cc0 11082  1c1 11083   < clt 11220  cle 11221  cmin 11416   / cdiv 11843  cn 12184  2c2 12239  4c4 12241  0cn0 12444  cuz 12794  cfl 13727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-cnex 11138  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-mulcom 11146  ax-addass 11147  ax-mulass 11148  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158  ax-pre-mulgt0 11159  ax-pre-sup 11160
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-op 4620  df-uni 4893  df-iun 4983  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-tr 5250  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-ord 6347  df-on 6348  df-lim 6349  df-suc 6350  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-om 7830  df-2nd 7949  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8677  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-le 11226  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11844  df-nn 12185  df-2 12247  df-3 12248  df-4 12249  df-n0 12445  df-z 12531  df-uz 12795  df-rp 12947  df-fl 13729
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0g  26769
  Copyright terms: Public domain W3C validator