MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfceil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfceil2 13879
Description: Alternative definition of the ceiling function using restricted iota. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
dfceil2 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfceil2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ceil 13833 . 2 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥))
2 zre 12617 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
3 lenegcon2 11768 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ -𝑧𝑧 ≤ -𝑥))
4 peano2re 11434 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
54anim1ci 616 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
6 ltnegcon1 11764 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
8 recn 11245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
108, 9negdid 11633 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
1211breq1d 5153 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-(𝑥 + 1) < 𝑧 ↔ (-𝑥 + -1) < 𝑧))
13 renegcl 11572 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
15 neg1rr 12381 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
17 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
1814, 16, 17ltaddsubd 11863 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 − -1)))
19 recn 11245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
20 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
2119, 20subnegd 11627 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
2221adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
2322breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑥 < (𝑧 − -1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
2418, 23bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
257, 12, 243bitrd 305 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
263, 25anbi12d 632 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
272, 26sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
2827riotabidva 7407 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
2928negeqd 11502 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
30 zbtwnre 12988 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)))
31 breq2 5147 . . . . . . 7 (𝑦 = -𝑧 → (𝑥𝑦𝑥 ≤ -𝑧))
32 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑦 = -𝑧 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑧 < (𝑥 + 1)))
3331, 32anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑦 = -𝑧 → ((𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
3433zriotaneg 12731 . . . . 5 (∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)) → (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
3530, 34syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
36 flval 13834 . . . . . 6 (-𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3713, 36syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3837negeqd 11502 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3929, 35, 383eqtr4rd 2788 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
4039mpteq2ia 5245 . 2 (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
411, 40eqtri 2765 1 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  ∃!wreu 3378   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  crio 7387  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493  cz 12613  cfl 13830  cceil 13831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fl 13832  df-ceil 13833
This theorem is referenced by:  ceilval2  13880
  Copyright terms: Public domain W3C validator