MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfceil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfceil2 13189
Description: Alternative definition of the ceiling function using restricted iota. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
dfceil2 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfceil2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ceil 13143 . 2 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥))
2 zre 11960 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
3 lenegcon2 11119 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ -𝑧𝑧 ≤ -𝑥))
4 peano2re 10787 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
54anim1ci 617 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
6 ltnegcon1 11115 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
8 recn 10601 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 1cnd 10610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
108, 9negdid 10984 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
1110adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
1211breq1d 5048 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-(𝑥 + 1) < 𝑧 ↔ (-𝑥 + -1) < 𝑧))
13 renegcl 10923 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
1413adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
15 neg1rr 11727 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
17 simpr 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
1814, 16, 17ltaddsubd 11214 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 − -1)))
19 recn 10601 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
20 1cnd 10610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
2119, 20subnegd 10978 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
2221adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
2322breq2d 5050 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑥 < (𝑧 − -1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
2418, 23bitrd 281 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
257, 12, 243bitrd 307 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
263, 25anbi12d 632 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
272, 26sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
2827riotabidva 7106 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
2928negeqd 10854 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
30 zbtwnre 12321 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)))
31 breq2 5042 . . . . . . 7 (𝑦 = -𝑧 → (𝑥𝑦𝑥 ≤ -𝑧))
32 breq1 5041 . . . . . . 7 (𝑦 = -𝑧 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑧 < (𝑥 + 1)))
3331, 32anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑦 = -𝑧 → ((𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
3433zriotaneg 12071 . . . . 5 (∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)) → (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
3530, 34syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
36 flval 13144 . . . . . 6 (-𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3713, 36syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3837negeqd 10854 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3929, 35, 383eqtr4rd 2866 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
4039mpteq2ia 5129 . 2 (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
411, 40eqtri 2843 1 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  ∃!wreu 3127   class class class wbr 5038  cmpt 5118  cfv 6327  crio 7086  (class class class)co 7129  cr 10510  1c1 10512   + caddc 10514   < clt 10649  cle 10650  cmin 10844  -cneg 10845  cz 11956  cfl 13140  cceil 13141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-pre-sup 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-sup 8880  df-inf 8881  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-fl 13142  df-ceil 13143
This theorem is referenced by:  ceilval2  13190
  Copyright terms: Public domain W3C validator