Theorem dfceil2 13861

Description: Alternative definition of the ceiling function using restricted iota. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dfceil2	⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfceil2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ceil 13815	. 2 ⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥))
2		zre 12600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
3		lenegcon2 11750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ -𝑧 ↔ 𝑧 ≤ -𝑥))
4		peano2re 11416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
5	4	anim1ci 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
6		ltnegcon1 11746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
8		recn 11227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		1cnd 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
10	8, 9	negdid 11615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
12	11	breq1d 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-(𝑥 + 1) < 𝑧 ↔ (-𝑥 + -1) < 𝑧))
13		renegcl 11554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
15		neg1rr 12363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
18	14, 16, 17	ltaddsubd 11845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 − -1)))
19		recn 11227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
20		1cnd 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
21	19, 20	subnegd 11609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
23	22	breq2d 5135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑥 < (𝑧 − -1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
24	18, 23	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
25	7, 12, 24	3bitrd 305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
26	3, 25	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
27	2, 26	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
28	27	riotabidva 7389	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
29	28	negeqd 11484	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
30		zbtwnre 12970	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
31		breq2 5127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ -𝑧))
32		breq1 5126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑧 < (𝑥 + 1)))
33	31, 32	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
34	33	zriotaneg 12714	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)) → (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
35	30, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
36		flval 13816	. . . . . 6 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
37	13, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
38	37	negeqd 11484	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
39	29, 35, 38	3eqtr4rd 2780	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))
40	39	mpteq2ia 5225	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))
41	1, 40	eqtri 2757	1 ⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃!wreu 3361   class class class wbr 5123   ↦ cmpt 5205  ‘cfv 6541  ℩crio 7369  (class class class)co 7413  ℝcr 11136  1c1 11138   + caddc 11140   < clt 11277   ≤ cle 11278   − cmin 11474  -cneg 11475  ℤcz 12596  ⌊cfl 13812  ⌈cceil 13813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fl 13814  df-ceil 13815

This theorem is referenced by:  ceilval2  13862