Theorem dfceil2 13487

Description: Alternative definition of the ceiling function using restricted iota. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dfceil2	⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfceil2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ceil 13441	. 2 ⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥))
2		zre 12253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
3		lenegcon2 11410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ -𝑧 ↔ 𝑧 ≤ -𝑥))
4		peano2re 11078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
5	4	anim1ci 615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
6		ltnegcon1 11406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
8		recn 10892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
10	8, 9	negdid 11275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
12	11	breq1d 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-(𝑥 + 1) < 𝑧 ↔ (-𝑥 + -1) < 𝑧))
13		renegcl 11214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
15		neg1rr 12018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
18	14, 16, 17	ltaddsubd 11505	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 − -1)))
19		recn 10892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
20		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
21	19, 20	subnegd 11269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
23	22	breq2d 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑥 < (𝑧 − -1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
24	18, 23	bitrd 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
25	7, 12, 24	3bitrd 304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
26	3, 25	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
27	2, 26	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
28	27	riotabidva 7232	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
29	28	negeqd 11145	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
30		zbtwnre 12615	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
31		breq2 5074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ -𝑧))
32		breq1 5073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑧 < (𝑥 + 1)))
33	31, 32	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
34	33	zriotaneg 12364	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)) → (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
35	30, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
36		flval 13442	. . . . . 6 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
37	13, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
38	37	negeqd 11145	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
39	29, 35, 38	3eqtr4rd 2789	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))
40	39	mpteq2ia 5173	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))
41	1, 40	eqtri 2766	1 ⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃!wreu 3065   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136  ℤcz 12249  ⌊cfl 13438  ⌈cceil 13439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fl 13440  df-ceil 13441

This theorem is referenced by:  ceilval2  13488