Theorem dfceil2 13904

Description: Alternative definition of the ceiling function using restricted iota. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dfceil2	⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfceil2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ceil 13858	. 2 ⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥))
2		zre 12623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
3		lenegcon2 11747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ -𝑧 ↔ 𝑧 ≤ -𝑥))
4		peano2re 11411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
5	4	anim1ci 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
6		ltnegcon1 11743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
8		recn 11218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		1cnd 11230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
10	8, 9	negdid 11610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
12	11	breq1d 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-(𝑥 + 1) < 𝑧 ↔ (-𝑥 + -1) < 𝑧))
13		renegcl 11549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
15		neg1rr 12232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
17		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
18	14, 16, 17	ltaddsubd 11842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 − -1)))
19		recn 11218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
20		1cnd 11230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
21	19, 20	subnegd 11604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
23	22	breq2d 5119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑥 < (𝑧 − -1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
24	18, 23	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
25	7, 12, 24	3bitrd 308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
26	3, 25	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
27	2, 26	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
28	27	riotabidva 7393	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
29	28	negeqd 11479	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
30		zbtwnre 12999	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
31		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ -𝑧))
32		breq1 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑧 < (𝑥 + 1)))
33	31, 32	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
34	33	zriotaneg 12738	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)) → (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
35	30, 34	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
36		flval 13859	. . . . . 6 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
37	13, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
38	37	negeqd 11479	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
39	29, 35, 38	3eqtr4rd 2808	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))
40	39	mpteq2ia 5204	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))
41	1, 40	eqtri 2785	1 ⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!wreu 3365   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  ℩crio 7373  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  1c1 11129   + caddc 11131   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469  -cneg 11470  ℤcz 12619  ⌊cfl 13855  ⌈cceil 13856

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fl 13857  df-ceil 13858

This theorem is used by:  ceilval2  13905