MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfceil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfceil2 13844
Description: Alternative definition of the ceiling function using restricted iota. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
dfceil2 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfceil2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ceil 13798 . 2 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥))
2 zre 12600 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
3 lenegcon2 11757 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ -𝑧𝑧 ≤ -𝑥))
4 peano2re 11425 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
54anim1ci 614 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
6 ltnegcon1 11753 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
8 recn 11236 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 1cnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
108, 9negdid 11622 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
1110adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
1211breq1d 5162 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-(𝑥 + 1) < 𝑧 ↔ (-𝑥 + -1) < 𝑧))
13 renegcl 11561 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
1413adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
15 neg1rr 12365 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
17 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
1814, 16, 17ltaddsubd 11852 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 − -1)))
19 recn 11236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
20 1cnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
2119, 20subnegd 11616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
2221adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
2322breq2d 5164 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑥 < (𝑧 − -1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
2418, 23bitrd 278 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
257, 12, 243bitrd 304 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
263, 25anbi12d 630 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
272, 26sylan2 591 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
2827riotabidva 7402 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
2928negeqd 11492 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
30 zbtwnre 12968 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)))
31 breq2 5156 . . . . . . 7 (𝑦 = -𝑧 → (𝑥𝑦𝑥 ≤ -𝑧))
32 breq1 5155 . . . . . . 7 (𝑦 = -𝑧 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑧 < (𝑥 + 1)))
3331, 32anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑦 = -𝑧 → ((𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
3433zriotaneg 12713 . . . . 5 (∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)) → (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
3530, 34syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
36 flval 13799 . . . . . 6 (-𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3713, 36syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3837negeqd 11492 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3929, 35, 383eqtr4rd 2779 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
4039mpteq2ia 5255 . 2 (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
411, 40eqtri 2756 1 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  ∃!wreu 3372   class class class wbr 5152  cmpt 5235  cfv 6553  crio 7381  (class class class)co 7426  cr 11145  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482  -cneg 11483  cz 12596  cfl 13795  cceil 13796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fl 13797  df-ceil 13798
This theorem is referenced by:  ceilval2  13845
  Copyright terms: Public domain W3C validator