Theorem dfceil2 13844

Description: Alternative definition of the ceiling function using restricted iota. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dfceil2	⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfceil2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ceil 13798	. 2 ⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥))
2		zre 12600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
3		lenegcon2 11757	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ -𝑧 ↔ 𝑧 ≤ -𝑥))
4		peano2re 11425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
5	4	anim1ci 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
6		ltnegcon1 11753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
8		recn 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		1cnd 11247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
10	8, 9	negdid 11622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
11	10	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
12	11	breq1d 5162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-(𝑥 + 1) < 𝑧 ↔ (-𝑥 + -1) < 𝑧))
13		renegcl 11561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14	13	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
15		neg1rr 12365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
17		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
18	14, 16, 17	ltaddsubd 11852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 − -1)))
19		recn 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
20		1cnd 11247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
21	19, 20	subnegd 11616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
22	21	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
23	22	breq2d 5164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑥 < (𝑧 − -1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
24	18, 23	bitrd 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
25	7, 12, 24	3bitrd 304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
26	3, 25	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
27	2, 26	sylan2 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
28	27	riotabidva 7402	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
29	28	negeqd 11492	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
30		zbtwnre 12968	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
31		breq2 5156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ -𝑧))
32		breq1 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑧 < (𝑥 + 1)))
33	31, 32	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
34	33	zriotaneg 12713	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)) → (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
35	30, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
36		flval 13799	. . . . . 6 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
37	13, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
38	37	negeqd 11492	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
39	29, 35, 38	3eqtr4rd 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))
40	39	mpteq2ia 5255	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))
41	1, 40	eqtri 2756	1 ⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃!wreu 3372   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  ‘cfv 6553  ℩crio 7381  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286   ≤ cle 11287   − cmin 11482  -cneg 11483  ℤcz 12596  ⌊cfl 13795  ⌈cceil 13796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fl 13797  df-ceil 13798

This theorem is referenced by:  ceilval2  13845