Theorem dfceil2 13789

Description: Alternative definition of the ceiling function using restricted iota. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dfceil2	⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfceil2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ceil 13743	. 2 ⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥))
2		zre 12519	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
3		lenegcon2 11646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ -𝑧 ↔ 𝑧 ≤ -𝑥))
4		peano2re 11310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
5	4	anim1ci 617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
6		ltnegcon1 11642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
8		recn 11119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
10	8, 9	negdid 11509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
12	11	breq1d 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-(𝑥 + 1) < 𝑧 ↔ (-𝑥 + -1) < 𝑧))
13		renegcl 11448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
15		neg1rr 12136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
18	14, 16, 17	ltaddsubd 11741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 − -1)))
19		recn 11119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
20		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
21	19, 20	subnegd 11503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
23	22	breq2d 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑥 < (𝑧 − -1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
24	18, 23	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
25	7, 12, 24	3bitrd 305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
26	3, 25	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
27	2, 26	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
28	27	riotabidva 7336	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
29	28	negeqd 11378	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
30		zbtwnre 12887	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
31		breq2 5090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ -𝑧))
32		breq1 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑧 < (𝑥 + 1)))
33	31, 32	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = -𝑧 → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
34	33	zriotaneg 12633	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1)) → (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
35	30, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
36		flval 13744	. . . . . 6 ⊢ (-𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
37	13, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
38	37	negeqd 11378	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = -(℩𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
39	29, 35, 38	3eqtr4rd 2783	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))
40	39	mpteq2ia 5181	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))
41	1, 40	eqtri 2760	1 ⊢ ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑥 + 1))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃!wreu 3341   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  ℩crio 7316  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369  ℤcz 12515  ⌊cfl 13740  ⌈cceil 13741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fl 13742  df-ceil 13743

This theorem is referenced by:  ceilval2  13790