MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfceil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfceil2 12934
Description: Alternative definition of the ceiling function using restricted iota. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
dfceil2 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfceil2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ceil 12888 . 2 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥))
2 zre 11707 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
3 lenegcon2 10856 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ -𝑧𝑧 ≤ -𝑥))
4 peano2re 10527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
54anim2i 612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
65ancoms 452 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
7 ltnegcon1 10852 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -(𝑥 + 1) < 𝑧))
9 recn 10341 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 1cnd 10350 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
119, 10negdid 10725 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
1211adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(𝑥 + 1) = (-𝑥 + -1))
1312breq1d 4882 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-(𝑥 + 1) < 𝑧 ↔ (-𝑥 + -1) < 𝑧))
14 renegcl 10664 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
1514adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
16 neg1rr 11472 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
18 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
1915, 17, 18ltaddsubd 10951 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 − -1)))
20 recn 10341 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
21 1cnd 10350 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
2220, 21subnegd 10719 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
2322adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − -1) = (𝑧 + 1))
2423breq2d 4884 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑥 < (𝑧 − -1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
2519, 24bitrd 271 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑥 + -1) < 𝑧 ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
268, 13, 253bitrd 297 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (𝑧 + 1)))
273, 26anbi12d 626 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
282, 27sylan2 588 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
2928riotabidva 6881 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3029negeqd 10594 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
31 zbtwnre 12068 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)))
32 breq2 4876 . . . . . . 7 (𝑦 = -𝑧 → (𝑥𝑦𝑥 ≤ -𝑧))
33 breq1 4875 . . . . . . 7 (𝑦 = -𝑧 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑧 < (𝑥 + 1)))
3432, 33anbi12d 626 . . . . . 6 (𝑦 = -𝑧 → ((𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
3534zriotaneg 11818 . . . . 5 (∃!𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1)) → (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
3631, 35syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝑧 ∧ -𝑧 < (𝑥 + 1))))
37 flval 12889 . . . . . 6 (-𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3814, 37syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘-𝑥) = (𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
3938negeqd 10594 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = -(𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (𝑧 + 1))))
4030, 36, 393eqtr4rd 2871 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝑥) = (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
4140mpteq2ia 4962 . 2 (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(⌊‘-𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
421, 41eqtri 2848 1 ⌈ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℤ (𝑥𝑦𝑦 < (𝑥 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  ∃!wreu 3118   class class class wbr 4872  cmpt 4951  cfv 6122  crio 6864  (class class class)co 6904  cr 10250  1c1 10252   + caddc 10254   < clt 10390  cle 10391  cmin 10584  -cneg 10585  cz 11703  cfl 12885  cceil 12886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-sup 8616  df-inf 8617  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-fl 12887  df-ceil 12888
This theorem is referenced by:  ceilval2  12935
  Copyright terms: Public domain W3C validator