![]() |
Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 139 of 480) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | ![]() (1-30435) |
![]() (30436-31958) |
![]() (31959-47941) |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | fldivle 13801 | The floor function of a division of a real number by a positive real number is less than or equal to the division. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.) |
โข ((๐พ โ โ โง ๐ฟ โ โ+) โ (โโ(๐พ / ๐ฟ)) โค (๐พ / ๐ฟ)) | ||
Theorem | fldivnn0le 13802 | The floor function of a division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the division. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.) |
โข ((๐พ โ โ0 โง ๐ฟ โ โ) โ (โโ(๐พ / ๐ฟ)) โค (๐พ / ๐ฟ)) | ||
Theorem | flltdivnn0lt 13803 | The floor function of a division of a nonnegative integer by a positive integer is less than the division of a greater dividend by the same positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.) |
โข ((๐พ โ โ0 โง ๐ โ โ0 โง ๐ฟ โ โ) โ (๐พ < ๐ โ (โโ(๐พ / ๐ฟ)) < (๐ / ๐ฟ))) | ||
Theorem | ltdifltdiv 13804 | If the dividend of a division is less than the difference between a real number and the divisor, the floor function of the division plus 1 is less than the division of the real number by the divisor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด < (๐ถ โ ๐ต) โ ((โโ(๐ด / ๐ต)) + 1) < (๐ถ / ๐ต))) | ||
Theorem | fldiv4p1lem1div2 13805 | The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.) |
โข ((๐ = 3 โจ ๐ โ (โคโฅโ5)) โ ((โโ(๐ / 4)) + 1) โค ((๐ โ 1) / 2)) | ||
Theorem | fldiv4lem1div2uz2 13806 | The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.) |
โข (๐ โ (โคโฅโ2) โ (โโ(๐ / 4)) โค ((๐ โ 1) / 2)) | ||
Theorem | fldiv4lem1div2 13807 | The floor of a positive integer divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.) |
โข (๐ โ โ โ (โโ(๐ / 4)) โค ((๐ โ 1) / 2)) | ||
Theorem | ceilval 13808 | The value of the ceiling function. (Contributed by David A. Wheeler, 19-May-2015.) |
โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = -(โโ-๐ด)) | ||
Theorem | dfceil2 13809* | Alternative definition of the ceiling function using restricted iota. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.) |
โข โ = (๐ฅ โ โ โฆ (โฉ๐ฆ โ โค (๐ฅ โค ๐ฆ โง ๐ฆ < (๐ฅ + 1)))) | ||
Theorem | ceilval2 13810* | The value of the ceiling function using restricted iota. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.) |
โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = (โฉ๐ฆ โ โค (๐ด โค ๐ฆ โง ๐ฆ < (๐ด + 1)))) | ||
Theorem | ceicl 13811 | The ceiling function returns an integer (closure law). (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jun-2007.) |
โข (๐ด โ โ โ -(โโ-๐ด) โ โค) | ||
Theorem | ceilcl 13812 | Closure of the ceiling function. (Contributed by David A. Wheeler, 19-May-2015.) |
โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โค) | ||
Theorem | ceilcld 13813 | Closure of the ceiling function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ (โโ๐ด) โ โค) | ||
Theorem | ceige 13814 | The ceiling of a real number is greater than or equal to that number. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jun-2007.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โค -(โโ-๐ด)) | ||
Theorem | ceilge 13815 | The ceiling of a real number is greater than or equal to that number. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โค (โโ๐ด)) | ||
Theorem | ceilged 13816 | The ceiling of a real number is greater than or equal to that number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ ๐ด โค (โโ๐ด)) | ||
Theorem | ceim1l 13817 | One less than the ceiling of a real number is strictly less than that number. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jun-2007.) |
โข (๐ด โ โ โ (-(โโ-๐ด) โ 1) < ๐ด) | ||
Theorem | ceilm1lt 13818 | One less than the ceiling of a real number is strictly less than that number. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.) |
โข (๐ด โ โ โ ((โโ๐ด) โ 1) < ๐ด) | ||
Theorem | ceile 13819 | The ceiling of a real number is the smallest integer greater than or equal to it. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jun-2007.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โค โง ๐ด โค ๐ต) โ -(โโ-๐ด) โค ๐ต) | ||
Theorem | ceille 13820 | The ceiling of a real number is the smallest integer greater than or equal to it. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โค โง ๐ด โค ๐ต) โ (โโ๐ด) โค ๐ต) | ||
Theorem | ceilid 13821 | An integer is its own ceiling. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.) |
โข (๐ด โ โค โ (โโ๐ด) = ๐ด) | ||
Theorem | ceilidz 13822 | A real number equals its ceiling iff it is an integer. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.) |
โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ โค โ (โโ๐ด) = ๐ด)) | ||
Theorem | flleceil 13823 | The floor of a real number is less than or equal to its ceiling. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.) |
โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โค (โโ๐ด)) | ||
Theorem | fleqceilz 13824 | A real number is an integer iff its floor equals its ceiling. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.) |
โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ โค โ (โโ๐ด) = (โโ๐ด))) | ||
Theorem | quoremz 13825 | Quotient and remainder of an integer divided by a positive integer. TODO - is this really needed for anything? Should we use mod to simplify it? Remark (AV): This is a special case of divalg 16351. (Contributed by NM, 14-Aug-2008.) |
โข ๐ = (โโ(๐ด / ๐ต)) & โข ๐ = (๐ด โ (๐ต ยท ๐)) โ โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ((๐ โ โค โง ๐ โ โ0) โง (๐ < ๐ต โง ๐ด = ((๐ต ยท ๐) + ๐ )))) | ||
Theorem | quoremnn0 13826 | Quotient and remainder of a nonnegative integer divided by a positive integer. (Contributed by NM, 14-Aug-2008.) |
โข ๐ = (โโ(๐ด / ๐ต)) & โข ๐ = (๐ด โ (๐ต ยท ๐)) โ โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ) โ ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โง (๐ < ๐ต โง ๐ด = ((๐ต ยท ๐) + ๐ )))) | ||
Theorem | quoremnn0ALT 13827 | Alternate proof of quoremnn0 13826 not using quoremz 13825. TODO - Keep either quoremnn0ALT 13827 (if we don't keep quoremz 13825) or quoremnn0 13826? (Contributed by NM, 14-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข ๐ = (โโ(๐ด / ๐ต)) & โข ๐ = (๐ด โ (๐ต ยท ๐)) โ โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ) โ ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โง (๐ < ๐ต โง ๐ด = ((๐ต ยท ๐) + ๐ )))) | ||
Theorem | intfrac2 13828 | Decompose a real into integer and fractional parts. TODO - should we replace this with intfrac 13856? (Contributed by NM, 16-Aug-2008.) |
โข ๐ = (โโ๐ด) & โข ๐น = (๐ด โ ๐) โ โข (๐ด โ โ โ (0 โค ๐น โง ๐น < 1 โง ๐ด = (๐ + ๐น))) | ||
Theorem | intfracq 13829 | Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intfrac2 13828. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.) |
โข ๐ = (โโ(๐ / ๐)) & โข ๐น = ((๐ / ๐) โ ๐) โ โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โ) โ (0 โค ๐น โง ๐น โค ((๐ โ 1) / ๐) โง (๐ / ๐) = (๐ + ๐น))) | ||
Theorem | fldiv 13830 | Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (โโ((โโ๐ด) / ๐)) = (โโ(๐ด / ๐))) | ||
Theorem | fldiv2 13831 | Cancellation of an embedded floor of a ratio. Generalization of Equation 2.4 in [CormenLeisersonRivest] p. 33 (where ๐ด must be an integer). (Contributed by NM, 9-Nov-2008.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (โโ((โโ(๐ด / ๐)) / ๐)) = (โโ(๐ด / (๐ ยท ๐)))) | ||
Theorem | fznnfl 13832 | Finite set of sequential integers starting at 1 and ending at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.) |
โข (๐ โ โ โ (๐พ โ (1...(โโ๐)) โ (๐พ โ โ โง ๐พ โค ๐))) | ||
Theorem | uzsup 13833 | An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) |
โข ๐ = (โคโฅโ๐) โ โข (๐ โ โค โ sup(๐, โ*, < ) = +โ) | ||
Theorem | ioopnfsup 13834 | An upper set of reals is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) |
โข ((๐ด โ โ* โง ๐ด โ +โ) โ sup((๐ด(,)+โ), โ*, < ) = +โ) | ||
Theorem | icopnfsup 13835 | An upper set of reals is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) |
โข ((๐ด โ โ* โง ๐ด โ +โ) โ sup((๐ด[,)+โ), โ*, < ) = +โ) | ||
Theorem | rpsup 13836 | The positive reals are unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) |
โข sup(โ+, โ*, < ) = +โ | ||
Theorem | resup 13837 | The real numbers are unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) |
โข sup(โ, โ*, < ) = +โ | ||
Theorem | xrsup 13838 | The extended real numbers are unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) |
โข sup(โ*, โ*, < ) = +โ | ||
Syntax | cmo 13839 | Extend class notation with the modulo operation. |
class mod | ||
Definition | df-mod 13840* | Define the modulo (remainder) operation. See modval 13841 for its value. For example, (5 mod 3) = 2 and (-7 mod 2) = 1 (ex-mod 29966). (Contributed by NM, 10-Nov-2008.) |
โข mod = (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ โ+ โฆ (๐ฅ โ (๐ฆ ยท (โโ(๐ฅ / ๐ฆ))))) | ||
Theorem | modval 13841 | The value of the modulo operation. The modulo congruence notation of number theory, ๐ฝโก๐พ (modulo ๐), can be expressed in our notation as (๐ฝ mod ๐) = (๐พ mod ๐). Definition 1 in Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. I (1972), p. 38. Knuth uses "mod" for the operation and "modulo" for the congruence. Unlike Knuth, we restrict the second argument to positive reals to simplify certain theorems. (This also gives us future flexibility to extend it to any one of several different conventions for a zero or negative second argument, should there be an advantage in doing so.) (Contributed by NM, 10-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โ (๐ต ยท (โโ(๐ด / ๐ต))))) | ||
Theorem | modvalr 13842 | The value of the modulo operation (multiplication in reversed order). (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โ ((โโ(๐ด / ๐ต)) ยท ๐ต))) | ||
Theorem | modcl 13843 | Closure law for the modulo operation. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด mod ๐ต) โ โ) | ||
Theorem | flpmodeq 13844 | Partition of a division into its integer part and the remainder. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (((โโ(๐ด / ๐ต)) ยท ๐ต) + (๐ด mod ๐ต)) = ๐ด) | ||
Theorem | modcld 13845 | Closure law for the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ+) โ โข (๐ โ (๐ด mod ๐ต) โ โ) | ||
Theorem | mod0 13846 | ๐ด mod ๐ต is zero iff ๐ด is evenly divisible by ๐ต. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Fan Zheng, 7-Jun-2016.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ (๐ด / ๐ต) โ โค)) | ||
Theorem | mulmod0 13847 | The product of an integer and a positive real number is 0 modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) (Revised by AV, 5-Jul-2020.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ+) โ ((๐ด ยท ๐) mod ๐) = 0) | ||
Theorem | negmod0 13848 | ๐ด is divisible by ๐ต iff its negative is. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Fan Zheng, 7-Jun-2016.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((๐ด mod ๐ต) = 0 โ (-๐ด mod ๐ต) = 0)) | ||
Theorem | modge0 13849 | The modulo operation is nonnegative. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ 0 โค (๐ด mod ๐ต)) | ||
Theorem | modlt 13850 | The modulo operation is less than its second argument. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด mod ๐ต) < ๐ต) | ||
Theorem | modelico 13851 | Modular reduction produces a half-open interval. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด mod ๐ต) โ (0[,)๐ต)) | ||
Theorem | moddiffl 13852 | Value of the modulo operation rewritten to give two ways of expressing the quotient when "๐ด is divided by ๐ต using Euclidean division." Multiplying both sides by ๐ต, this implies that ๐ด mod ๐ต differs from ๐ด by an integer multiple of ๐ต. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต)) / ๐ต) = (โโ(๐ด / ๐ต))) | ||
Theorem | moddifz 13853 | The modulo operation differs from ๐ด by an integer multiple of ๐ต. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((๐ด โ (๐ด mod ๐ต)) / ๐ต) โ โค) | ||
Theorem | modfrac 13854 | The fractional part of a number is the number modulo 1. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.) |
โข (๐ด โ โ โ (๐ด mod 1) = (๐ด โ (โโ๐ด))) | ||
Theorem | flmod 13855 | The floor function expressed in terms of the modulo operation. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.) |
โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = (๐ด โ (๐ด mod 1))) | ||
Theorem | intfrac 13856 | Break a number into its integer part and its fractional part. (Contributed by NM, 31-Dec-2008.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (๐ด mod 1))) | ||
Theorem | zmod10 13857 | An integer modulo 1 is 0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข (๐ โ โค โ (๐ mod 1) = 0) | ||
Theorem | zmod1congr 13858 | Two arbitrary integers are congruent modulo 1, see example 4 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด mod 1) = (๐ต mod 1)) | ||
Theorem | modmulnn 13859 | Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by NM, 2-Jan-2009.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ((๐ ยท (โโ๐ด)) mod (๐ ยท ๐)) โค ((โโ(๐ ยท ๐ด)) mod (๐ ยท ๐))) | ||
Theorem | modvalp1 13860 | The value of the modulo operation (expressed with sum of denominator and nominator). (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((๐ด + ๐ต) โ (((โโ(๐ด / ๐ต)) + 1) ยท ๐ต)) = (๐ด mod ๐ต)) | ||
Theorem | zmodcl 13861 | Closure law for the modulo operation restricted to integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2008.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐ด mod ๐ต) โ โ0) | ||
Theorem | zmodcld 13862 | Closure law for the modulo operation restricted to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ (๐ด mod ๐ต) โ โ0) | ||
Theorem | zmodfz 13863 | An integer mod ๐ต lies in the first ๐ต nonnegative integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐ด mod ๐ต) โ (0...(๐ต โ 1))) | ||
Theorem | zmodfzo 13864 | An integer mod ๐ต lies in the first ๐ต nonnegative integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐ด mod ๐ต) โ (0..^๐ต)) | ||
Theorem | zmodfzp1 13865 | An integer mod ๐ต lies in the first ๐ต + 1 nonnegative integers. (Contributed by AV, 27-Oct-2018.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐ด mod ๐ต) โ (0...๐ต)) | ||
Theorem | modid 13866 | Identity law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โง (0 โค ๐ด โง ๐ด < ๐ต)) โ (๐ด mod ๐ต) = ๐ด) | ||
Theorem | modid0 13867 | A positive real number modulo itself is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-May-2018.) |
โข (๐ โ โ+ โ (๐ mod ๐) = 0) | ||
Theorem | modid2 13868 | Identity law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((๐ด mod ๐ต) = ๐ด โ (0 โค ๐ด โง ๐ด < ๐ต))) | ||
Theorem | zmodid2 13869 | Identity law for modulo restricted to integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โ) โ ((๐ mod ๐) = ๐ โ ๐ โ (0...(๐ โ 1)))) | ||
Theorem | zmodidfzo 13870 | Identity law for modulo restricted to integers. (Contributed by AV, 27-Oct-2018.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โ) โ ((๐ mod ๐) = ๐ โ ๐ โ (0..^๐))) | ||
Theorem | zmodidfzoimp 13871 | Identity law for modulo restricted to integers. (Contributed by AV, 27-Oct-2018.) |
โข (๐ โ (0..^๐) โ (๐ mod ๐) = ๐) | ||
Theorem | 0mod 13872 | Special case: 0 modulo a positive real number is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) |
โข (๐ โ โ+ โ (0 mod ๐) = 0) | ||
Theorem | 1mod 13873 | Special case: 1 modulo a real number greater than 1 is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ((๐ โ โ โง 1 < ๐) โ (1 mod ๐) = 1) | ||
Theorem | modabs 13874 | Absorption law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+ โง ๐ถ โ โ+) โง ๐ต โค ๐ถ) โ ((๐ด mod ๐ต) mod ๐ถ) = (๐ด mod ๐ต)) | ||
Theorem | modabs2 13875 | Absorption law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+) โ ((๐ด mod ๐ต) mod ๐ต) = (๐ด mod ๐ต)) | ||
Theorem | modcyc 13876 | The modulo operation is periodic. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+ โง ๐ โ โค) โ ((๐ด + (๐ ยท ๐ต)) mod ๐ต) = (๐ด mod ๐ต)) | ||
Theorem | modcyc2 13877 | The modulo operation is periodic. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ+ โง ๐ โ โค) โ ((๐ด โ (๐ต ยท ๐)) mod ๐ต) = (๐ด mod ๐ต)) | ||
Theorem | modadd1 13878 | Addition property of the modulo operation. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โ โง ๐ท โ โ+) โง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ต + ๐ถ) mod ๐ท)) | ||
Theorem | modaddabs 13879 | Absorption law for modulo. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ+) โ (((๐ด mod ๐ถ) + (๐ต mod ๐ถ)) mod ๐ถ) = ((๐ด + ๐ต) mod ๐ถ)) | ||
Theorem | modaddmod 13880 | The sum of a real number modulo a positive real number and another real number equals the sum of the two real numbers modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-May-2018.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ โ โ+) โ (((๐ด mod ๐) + ๐ต) mod ๐) = ((๐ด + ๐ต) mod ๐)) | ||
Theorem | muladdmodid 13881 | The sum of a positive real number less than an upper bound and the product of an integer and the upper bound is the positive real number modulo the upper bound. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โ+ โง ๐ด โ (0[,)๐)) โ (((๐ ยท ๐) + ๐ด) mod ๐) = ๐ด) | ||
Theorem | mulp1mod1 13882 | The product of an integer and an integer greater than 1 increased by 1 is 1 modulo the integer greater than 1. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ (((๐ ยท ๐ด) + 1) mod ๐) = 1) | ||
Theorem | modmuladd 13883* | Decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ (0[,)๐) โง ๐ โ โ+) โ ((๐ด mod ๐) = ๐ต โ โ๐ โ โค ๐ด = ((๐ ยท ๐) + ๐ต))) | ||
Theorem | modmuladdim 13884* | Implication of a decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ+) โ ((๐ด mod ๐) = ๐ต โ โ๐ โ โค ๐ด = ((๐ ยท ๐) + ๐ต))) | ||
Theorem | modmuladdnn0 13885* | Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โ+) โ ((๐ด mod ๐) = ๐ต โ โ๐ โ โ0 ๐ด = ((๐ ยท ๐) + ๐ต))) | ||
Theorem | negmod 13886 | The negation of a number modulo a positive number is equal to the difference of the modulus and the number modulo the modulus. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ+) โ (-๐ด mod ๐) = ((๐ โ ๐ด) mod ๐)) | ||
Theorem | m1modnnsub1 13887 | Minus one modulo a positive integer is equal to the integer minus one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.) |
โข (๐ โ โ โ (-1 mod ๐) = (๐ โ 1)) | ||
Theorem | m1modge3gt1 13888 | Minus one modulo an integer greater than two is greater than one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.) |
โข (๐ โ (โคโฅโ3) โ 1 < (-1 mod ๐)) | ||
Theorem | addmodid 13889 | The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.) |
โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โ โง ๐ด < ๐) โ ((๐ + ๐ด) mod ๐) = ๐ด) | ||
Theorem | addmodidr 13890 | The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.) |
โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โ โง ๐ด < ๐) โ ((๐ด + ๐) mod ๐) = ๐ด) | ||
Theorem | modadd2mod 13891 | The sum of a real number modulo a positive real number and another real number equals the sum of the two real numbers modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ โ โ+) โ ((๐ต + (๐ด mod ๐)) mod ๐) = ((๐ต + ๐ด) mod ๐)) | ||
Theorem | modm1p1mod0 13892 | If a real number modulo a positive real number equals the positive real number decreased by 1, the real number increased by 1 modulo the positive real number equals 0. (Contributed by AV, 2-Nov-2018.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ+) โ ((๐ด mod ๐) = (๐ โ 1) โ ((๐ด + 1) mod ๐) = 0)) | ||
Theorem | modltm1p1mod 13893 | If a real number modulo a positive real number is less than the positive real number decreased by 1, the real number increased by 1 modulo the positive real number equals the real number modulo the positive real number increased by 1. (Contributed by AV, 2-Nov-2018.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ+ โง (๐ด mod ๐) < (๐ โ 1)) โ ((๐ด + 1) mod ๐) = ((๐ด mod ๐) + 1)) | ||
Theorem | modmul1 13894 | Multiplication property of the modulo operation. Note that the multiplier ๐ถ must be an integer. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.) |
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โค โง ๐ท โ โ+) โง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ท)) | ||
Theorem | modmul12d 13895 | Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) & โข (๐ โ ๐ถ โ โค) & โข (๐ โ ๐ท โ โค) & โข (๐ โ ๐ธ โ โ+) & โข (๐ โ (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ)) & โข (๐ โ (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ)) โ โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ)) | ||
Theorem | modnegd 13896 | Negation property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ+) & โข (๐ โ (๐ด mod ๐ถ) = (๐ต mod ๐ถ)) โ โข (๐ โ (-๐ด mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ)) | ||
Theorem | modadd12d 13897 | Additive property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ธ โ โ+) & โข (๐ โ (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ)) & โข (๐ โ (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ)) โ โข (๐ โ ((๐ด + ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต + ๐ท) mod ๐ธ)) | ||
Theorem | modsub12d 13898 | Subtraction property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ธ โ โ+) & โข (๐ โ (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ)) & โข (๐ โ (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ)) โ โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต โ ๐ท) mod ๐ธ)) | ||
Theorem | modsubmod 13899 | The difference of a real number modulo a positive real number and another real number equals the difference of the two real numbers modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ โ โ+) โ (((๐ด mod ๐) โ ๐ต) mod ๐) = ((๐ด โ ๐ต) mod ๐)) | ||
Theorem | modsubmodmod 13900 | The difference of a real number modulo a positive real number and another real number modulo this positive real number equals the difference of the two real numbers modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ โ โ+) โ (((๐ด mod ๐) โ (๐ต mod ๐)) mod ๐) = ((๐ด โ ๐ต) mod ๐)) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |