Theorem clmlmod 23672

Description: A subcomplex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3	1, 2	isclm 23669	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
4	3	simp1bi 1142	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  Scalarcsca 16560  SubRingcsubrg 19524  LModclmod 19627  ℂ_fldccnfld 20091  ℂModcclm 23667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-nul 5174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ov 7138  df-clm 23668

This theorem is referenced by:  clmgrp  23673  clmabl  23674  clmring  23675  clmfgrp  23676  clmvscl  23693  clmvsass  23694  clmvsdir  23696  clmvsdi  23697  clmvs1  23698  clmvs2  23699  clm0vs  23700  clmopfne  23701  clmvneg1  23704  clmvsneg  23705  clmsubdir  23707  clmvsubval  23714  zlmclm  23717  cmodscmulexp  23727  iscvs  23732  cvsi  23735  isncvsngp  23754  ttgbtwnid  26678  ttgcontlem1  26679