Theorem clmlmod 25368

Description: A subcomplex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3	1, 2	isclm 25365	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
4	3	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  Scalarcsca 17411  SubRingcsubrg 20801  LModclmod 21115  ℂ_fldccnfld 21658  ℂModcclm 25363

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-nul 5260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6487  df-fv 6539  df-ov 7415  df-clm 25364

This theorem is used by:  clmgrp  25369  clmabl  25370  clmring  25371  clmfgrp  25372  clmvscl  25389  clmvsass  25390  clmvsdir  25392  clmvsdi  25393  clmvs1  25394  clmvs2  25395  clm0vs  25396  clmopfne  25397  clmvneg1  25400  clmvsneg  25401  clmsubdir  25403  clmvsubval  25410  zlmclm  25413  cmodscmulexp  25423  iscvs  25428  cvsi  25431  isncvsngp  25450  ttgbtwnid  29443  ttgcontlem1  29444