Theorem clmlmod 25059

Description: A subcomplex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3	1, 2	isclm 25056	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
4	3	simp1bi 1151	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  Scalarcsca 17221  SubRingcsubrg 20548  LModclmod 20857  ℂ_fldccnfld 21354  ℂModcclm 25054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-nul 5235

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7366  df-clm 25055

This theorem is referenced by:  clmgrp  25060  clmabl  25061  clmring  25062  clmfgrp  25063  clmvscl  25080  clmvsass  25081  clmvsdir  25083  clmvsdi  25084  clmvs1  25085  clmvs2  25086  clm0vs  25087  clmopfne  25088  clmvneg1  25091  clmvsneg  25092  clmsubdir  25094  clmvsubval  25101  zlmclm  25104  cmodscmulexp  25114  iscvs  25119  cvsi  25122  isncvsngp  25141  ttgbtwnid  28977  ttgcontlem1  28978