Theorem clmlmod 25034

Description: A subcomplex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3	1, 2	isclm 25031	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
4	3	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  Scalarcsca 17223  SubRingcsubrg 20546  LModclmod 20855  ℂ_fldccnfld 21352  ℂModcclm 25029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-clm 25030

This theorem is referenced by:  clmgrp  25035  clmabl  25036  clmring  25037  clmfgrp  25038  clmvscl  25055  clmvsass  25056  clmvsdir  25058  clmvsdi  25059  clmvs1  25060  clmvs2  25061  clm0vs  25062  clmopfne  25063  clmvneg1  25066  clmvsneg  25067  clmsubdir  25069  clmvsubval  25076  zlmclm  25079  cmodscmulexp  25089  iscvs  25094  cvsi  25097  isncvsngp  25116  ttgbtwnid  28952  ttgcontlem1  28953