Theorem clmlmod 25052

Description: A subcomplex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3	1, 2	isclm 25049	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
4	3	simp1bi 1151	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  Scalarcsca 17214  SubRingcsubrg 20541  LModclmod 20850  ℂ_fldccnfld 21347  ℂModcclm 25047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-nul 5228

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-iota 6441  df-fv 6493  df-ov 7359  df-clm 25048

This theorem is referenced by:  clmgrp  25053  clmabl  25054  clmring  25055  clmfgrp  25056  clmvscl  25073  clmvsass  25074  clmvsdir  25076  clmvsdi  25077  clmvs1  25078  clmvs2  25079  clm0vs  25080  clmopfne  25081  clmvneg1  25084  clmvsneg  25085  clmsubdir  25087  clmvsubval  25094  zlmclm  25097  cmodscmulexp  25107  iscvs  25112  cvsi  25115  isncvsngp  25134  ttgbtwnid  28970  ttgcontlem1  28971