Theorem clmlmod 24275

Description: A subcomplex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3	1, 2	isclm 24272	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
4	3	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957   ↾_s cress 16986  Scalarcsca 17010  SubRingcsubrg 20065  LModclmod 20168  ℂ_fldccnfld 20642  ℂModcclm 24270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2707  ax-nul 5239

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2942  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-iota 6410  df-fv 6466  df-ov 7310  df-clm 24271

This theorem is referenced by:  clmgrp  24276  clmabl  24277  clmring  24278  clmfgrp  24279  clmvscl  24296  clmvsass  24297  clmvsdir  24299  clmvsdi  24300  clmvs1  24301  clmvs2  24302  clm0vs  24303  clmopfne  24304  clmvneg1  24307  clmvsneg  24308  clmsubdir  24310  clmvsubval  24317  zlmclm  24320  cmodscmulexp  24330  iscvs  24335  cvsi  24338  isncvsngp  24358  ttgbtwnid  27296  ttgcontlem1  27297