Theorem clmlmod 25393

Description: A subcomplex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3	1, 2	isclm 25390	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
4	3	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392   ↾_s cress 17413  Scalarcsca 17436  SubRingcsubrg 20826  LModclmod 21140  ℂ_fldccnfld 21683  ℂModcclm 25388

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-clm 25389

This theorem is used by:  clmgrp  25394  clmabl  25395  clmring  25396  clmfgrp  25397  clmvscl  25414  clmvsass  25415  clmvsdir  25417  clmvsdi  25418  clmvs1  25419  clmvs2  25420  clm0vs  25421  clmopfne  25422  clmvneg1  25425  clmvsneg  25426  clmsubdir  25428  clmvsubval  25435  zlmclm  25438  cmodscmulexp  25448  iscvs  25453  cvsi  25456  isncvsngp  25475  ttgbtwnid  29466  ttgcontlem1  29467