Theorem clmlmod 23671

Description: A subcomplex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3	1, 2	isclm 23668	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
4	3	simp1bi 1141	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484  Scalarcsca 16568  SubRingcsubrg 19531  LModclmod 19634  ℂ_fldccnfld 20545  ℂModcclm 23666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-nul 5210

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-iota 6314  df-fv 6363  df-ov 7159  df-clm 23667

This theorem is referenced by:  clmgrp  23672  clmabl  23673  clmring  23674  clmfgrp  23675  clmvscl  23692  clmvsass  23693  clmvsdir  23695  clmvsdi  23696  clmvs1  23697  clmvs2  23698  clm0vs  23699  clmopfne  23700  clmvneg1  23703  clmvsneg  23704  clmsubdir  23706  clmvsubval  23713  zlmclm  23716  cmodscmulexp  23726  iscvs  23731  cvsi  23734  isncvsngp  23753  ttgbtwnid  26670  ttgcontlem1  26671