Theorem clmlmod 25207

Description: A subcomplex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3	1, 2	isclm 25204	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
4	3	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  Scalarcsca 17314  SubRingcsubrg 20655  LModclmod 20962  ℂ_fldccnfld 21503  ℂModcclm 25202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-nul 5270

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7415  df-clm 25203

This theorem is referenced by:  clmgrp  25208  clmabl  25209  clmring  25210  clmfgrp  25211  clmvscl  25228  clmvsass  25229  clmvsdir  25231  clmvsdi  25232  clmvs1  25233  clmvs2  25234  clm0vs  25235  clmopfne  25236  clmvneg1  25239  clmvsneg  25240  clmsubdir  25242  clmvsubval  25249  zlmclm  25252  cmodscmulexp  25262  iscvs  25267  cvsi  25270  isncvsngp  25289  ttgbtwnid  29214  ttgcontlem1  29215