Theorem clmlmod 25263

Description: A subcomplex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3	1, 2	isclm 25260	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
4	3	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  Scalarcsca 17338  SubRingcsubrg 20705  LModclmod 21018  ℂ_fldccnfld 21559  ℂModcclm 25258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-nul 5274

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-iota 6499  df-fv 6551  df-ov 7426  df-clm 25259

This theorem is used by:  clmgrp  25264  clmabl  25265  clmring  25266  clmfgrp  25267  clmvscl  25284  clmvsass  25285  clmvsdir  25287  clmvsdi  25288  clmvs1  25289  clmvs2  25290  clm0vs  25291  clmopfne  25292  clmvneg1  25295  clmvsneg  25296  clmsubdir  25298  clmvsubval  25305  zlmclm  25308  cmodscmulexp  25318  iscvs  25323  cvsi  25326  isncvsngp  25345  ttgbtwnid  29270  ttgcontlem1  29271