Theorem clmlmod 24974

Description: A subcomplex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3	1, 2	isclm 24971	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
4	3	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  Scalarcsca 17230  SubRingcsubrg 20485  LModclmod 20773  ℂ_fldccnfld 21271  ℂModcclm 24969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-nul 5264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-iota 6467  df-fv 6522  df-ov 7393  df-clm 24970

This theorem is referenced by:  clmgrp  24975  clmabl  24976  clmring  24977  clmfgrp  24978  clmvscl  24995  clmvsass  24996  clmvsdir  24998  clmvsdi  24999  clmvs1  25000  clmvs2  25001  clm0vs  25002  clmopfne  25003  clmvneg1  25006  clmvsneg  25007  clmsubdir  25009  clmvsubval  25016  zlmclm  25019  cmodscmulexp  25029  iscvs  25034  cvsi  25037  isncvsngp  25056  ttgbtwnid  28818  ttgcontlem1  28819