MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvsdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clmvsdir 24973
Description: Distributive law for scalar product (right-distributivity). (lmodvsdir 20732 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvscl.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
clmvscl.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
clmvscl.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
clmvscl.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
clmvsdir.a + = (+gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
clmvsdir ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 + 𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄 Β· 𝑋) + (𝑅 Β· 𝑋)))
Proof of Theorem clmvsdir
StepHypRef Expression
1 clmvscl.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
21clmadd 24956 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ + = (+gβ€˜πΉ))
32oveqd 7422 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (𝑄 + 𝑅) = (𝑄(+gβ€˜πΉ)𝑅))
43oveq1d 7420 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ ((𝑄 + 𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋))
54adantr 480 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 + 𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋))
6 clmlmod 24949 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 clmvscl.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 clmvsdir.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
9 clmvscl.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 clmvscl.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
11 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
127, 8, 1, 9, 10, 11lmodvsdir 20732 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄 Β· 𝑋) + (𝑅 Β· 𝑋)))
136, 12sylan 579 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄 Β· 𝑋) + (𝑅 Β· 𝑋)))
145, 13eqtrd 2766 1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 + 𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄 Β· 𝑋) + (𝑅 Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   + caddc 11115  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  LModclmod 20706  β„‚Modcclm 24944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-lmod 20708  df-cnfld 21241  df-clm 24945
This theorem is referenced by:  clmvs2  24976  clmmulg  24983
  Copyright terms: Public domain W3C validator