Theorem clmvsdir 25405

Description: Distributive law for scalar product (right-distributivity). (lmodvsdir 21154 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvscl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvscl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
clmvsdir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvsdir	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 + 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem clmvsdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmvscl.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	clmadd 25388	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘𝐹))
3	2	oveqd 7435	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑄 + 𝑅) = (𝑄(+g‘𝐹)𝑅))
4	3	oveq1d 7433	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑄 + 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋))
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 + 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋))
6		clmlmod 25381	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
7		clmvscl.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		clmvsdir.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
9		clmvscl.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		clmvscl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
12	7, 8, 1, 9, 10, 11	lmodvsdir 21154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
13	6, 12	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
14	5, 13	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 + 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   + caddc 11196  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  LModclmod 21128  ℂModcclm 25376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-lmod 21130  df-cnfld 21672  df-clm 25377

This theorem is used by:  clmvs2  25408  clmmulg  25415