MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgbtwnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttgbtwnid 28913
Description: Any subcomplex module equipped with the betweenness operation fulfills the identity of betweenness (Axiom A6). (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m = (-g𝐻)
ttgitvval.s · = ( ·𝑠𝐻)
ttgelitv.x (𝜑𝑋𝑃)
ttgelitv.y (𝜑𝑌𝑃)
ttgbtwnid.r 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
ttgbtwnid.2 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
ttgbtwnid.1 (𝜑𝐻 ∈ ℂMod)
ttgbtwnid.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
Assertion
Ref Expression
ttgbtwnid (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem ttgbtwnid
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝜑)
2 simpr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋)))
3 ttgbtwnid.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ ℂMod)
4 clmlmod 25114 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ ℂMod → 𝐻 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ LMod)
6 ttgelitv.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑃)
7 ttgitvval.b . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘𝐻)
8 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (0g𝐻) = (0g𝐻)
9 ttgitvval.m . . . . . . . . 9 = (-g𝐻)
107, 8, 9lmodsubid 20937 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑃) → (𝑋 𝑋) = (0g𝐻))
115, 6, 10syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝑋) = (0g𝐻))
1211ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑋 𝑋) = (0g𝐻))
1312oveq2d 7447 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑘 · (𝑋 𝑋)) = (𝑘 · (0g𝐻)))
145ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝐻 ∈ LMod)
15 ttgbtwnid.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
1615ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
17 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝑘 ∈ (0[,]1))
1816, 17sseldd 3996 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝑘𝑅)
19 eqid 2735 . . . . . . 7 (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐻)
20 ttgitvval.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝐻)
21 ttgbtwnid.r . . . . . . 7 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
2219, 20, 21, 8lmodvs0 20911 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑘𝑅) → (𝑘 · (0g𝐻)) = (0g𝐻))
2314, 18, 22syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑘 · (0g𝐻)) = (0g𝐻))
242, 13, 233eqtrd 2779 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑌 𝑋) = (0g𝐻))
25 ttgelitv.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑃)
267, 8, 9lmodsubeq0 20936 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑃𝑋𝑃) → ((𝑌 𝑋) = (0g𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
275, 25, 6, 26syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌 𝑋) = (0g𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
2827biimpa 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 𝑋) = (0g𝐻)) → 𝑌 = 𝑋)
291, 24, 28syl2anc 584 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝑌 = 𝑋)
3029eqcomd 2741 . 2 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝑋 = 𝑌)
31 ttgbtwnid.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
32 ttgval.n . . . 4 𝐺 = (toTG‘𝐻)
33 ttgitvval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3432, 33, 7, 9, 20, 6, 6, 3, 25ttgelitv 28912 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))))
3531, 34mpbid 232 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋)))
3630, 35r19.29a 3160 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  [,]cicc 13387  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  -gcsg 18966  LModclmod 20875  ℂModcclm 25109  Itvcitv 28456  toTGcttg 28896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-dec 12732  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-clm 25110  df-itv 28458  df-lng 28459  df-ttg 28897
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator