MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgbtwnid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ttgbtwnid 28738
Description: Any subcomplex module equipped with the betweenness operation fulfills the identity of betweenness (Axiom A6). (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTGβ€˜π»)
ttgitvval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ttgitvval.b 𝑃 = (Baseβ€˜π»)
ttgitvval.m βˆ’ = (-gβ€˜π»)
ttgitvval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π»)
ttgelitv.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
ttgelitv.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
ttgbtwnid.r 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π»))
ttgbtwnid.2 (πœ‘ β†’ (0[,]1) βŠ† 𝑅)
ttgbtwnid.1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ β„‚Mod)
ttgbtwnid.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑋))
Assertion
Ref Expression
ttgbtwnid (πœ‘ β†’ 𝑋 = π‘Œ)
Proof of Theorem ttgbtwnid
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ πœ‘)
2 simpr 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋)))
3 ttgbtwnid.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ β„‚Mod)
4 clmlmod 25012 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ β„‚Mod β†’ 𝐻 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ LMod)
6 ttgelitv.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
7 ttgitvval.b . . . . . . . . 9 𝑃 = (Baseβ€˜π»)
8 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
9 ttgitvval.m . . . . . . . . 9 βˆ’ = (-gβ€˜π»)
107, 8, 9lmodsubid 20809 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑋) = (0gβ€˜π»))
115, 6, 10syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑋) = (0gβ€˜π»))
1211ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑋) = (0gβ€˜π»))
1312oveq2d 7432 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋)) = (π‘˜ Β· (0gβ€˜π»)))
145ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐻 ∈ LMod)
15 ttgbtwnid.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0[,]1) βŠ† 𝑅)
1615ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ (0[,]1) βŠ† 𝑅)
17 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ π‘˜ ∈ (0[,]1))
1816, 17sseldd 3973 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑅)
19 eqid 2725 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π») = (Scalarβ€˜π»)
20 ttgitvval.s . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π»)
21 ttgbtwnid.r . . . . . . 7 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π»))
2219, 20, 21, 8lmodvs0 20783 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ 𝑅) β†’ (π‘˜ Β· (0gβ€˜π»)) = (0gβ€˜π»))
2314, 18, 22syl2anc 582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ (π‘˜ Β· (0gβ€˜π»)) = (0gβ€˜π»))
242, 13, 233eqtrd 2769 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (0gβ€˜π»))
25 ttgelitv.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
267, 8, 9lmodsubeq0 20808 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (0gβ€˜π») ↔ π‘Œ = 𝑋))
275, 25, 6, 26syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (0gβ€˜π») ↔ π‘Œ = 𝑋))
2827biimpa 475 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (0gβ€˜π»)) β†’ π‘Œ = 𝑋)
291, 24, 28syl2anc 582 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ π‘Œ = 𝑋)
3029eqcomd 2731 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
31 ttgbtwnid.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑋))
32 ttgval.n . . . 4 𝐺 = (toTGβ€˜π»)
33 ttgitvval.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3432, 33, 7, 9, 20, 6, 6, 3, 25ttgelitv 28737 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑋) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))))
3531, 34mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋)))
3630, 35r19.29a 3152 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 = π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3939  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139  [,]cicc 13359  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  -gcsg 18896  LModclmod 20747  β„‚Modcclm 25007  Itvcitv 28281  toTGcttg 28721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-dec 12708  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749  df-clm 25008  df-itv 28283  df-lng 28284  df-ttg 28722
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator