Theorem ttgbtwnid 28829

Description: Any subcomplex module equipped with the betweenness operation fulfills the identity of betweenness (Axiom A6). (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m	⊢ − = (-g‘𝐻)
ttgitvval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
ttgelitv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ttgelitv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ttgbtwnid.r	⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
ttgbtwnid.2	⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
ttgbtwnid.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂMod)
ttgbtwnid.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ttgbtwnid	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem ttgbtwnid

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝜑)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)))
3		ttgbtwnid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂMod)
4		clmlmod 24965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ ℂMod → 𝐻 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ LMod)
6		ttgelitv.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		ttgitvval.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
8		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
9		ttgitvval.m	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (-g‘𝐻)
10	7, 8, 9	lmodsubid 20825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
11	5, 6, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
12	11	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
13	12	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)) = (𝑘 · (0g‘𝐻)))
14	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝐻 ∈ LMod)
15		ttgbtwnid.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
17		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑘 ∈ (0[,]1))
18	16, 17	sseldd 3936	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑘 ∈ 𝑅)
19		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐻)
20		ttgitvval.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
21		ttgbtwnid.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
22	19, 20, 21, 8	lmodvs0 20799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑘 · (0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻))
23	14, 18, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑘 · (0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻))
24	2, 13, 23	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
25		ttgelitv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
26	7, 8, 9	lmodsubeq0 20824	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ((𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
27	5, 25, 6, 26	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
28	27	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻)) → 𝑌 = 𝑋)
29	1, 24, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑌 = 𝑋)
30	29	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑋 = 𝑌)
31		ttgbtwnid.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
32		ttgval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
33		ttgitvval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
34	32, 33, 7, 9, 20, 6, 6, 3, 25	ttgelitv 28828	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))))
35	31, 34	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)))
36	30, 35	r19.29a 3137	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010  [,]cicc 13251  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  -_gcsg 18814  LModclmod 20763  ℂModcclm 24960  Itvcitv 28378  toTGcttg 28818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-dec 12592  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20765  df-clm 24961  df-itv 28380  df-lng 28381  df-ttg 28819

This theorem is referenced by: (None)