Theorem ttgbtwnid 29293

Description: Any subcomplex module equipped with the betweenness operation fulfills the identity of betweenness (Axiom A6). (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m	⊢ − = (-g‘𝐻)
ttgitvval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
ttgelitv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ttgelitv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ttgbtwnid.r	⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
ttgbtwnid.2	⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
ttgbtwnid.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂMod)
ttgbtwnid.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ttgbtwnid	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem ttgbtwnid

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝜑)
2		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)))
3		ttgbtwnid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂMod)
4		clmlmod 25282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ ℂMod → 𝐻 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ LMod)
6		ttgelitv.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		ttgitvval.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
8		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
9		ttgitvval.m	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (-g‘𝐻)
10	7, 8, 9	lmodsubid 21098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
11	5, 6, 10	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
12	11	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
13	12	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)) = (𝑘 · (0g‘𝐻)))
14	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝐻 ∈ LMod)
15		ttgbtwnid.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
17		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑘 ∈ (0[,]1))
18	16, 17	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑘 ∈ 𝑅)
19		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐻)
20		ttgitvval.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
21		ttgbtwnid.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
22	19, 20, 21, 8	lmodvs0 21072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑘 · (0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻))
23	14, 18, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑘 · (0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻))
24	2, 13, 23	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
25		ttgelitv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
26	7, 8, 9	lmodsubeq0 21097	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ((𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
27	5, 25, 6, 26	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
28	27	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻)) → 𝑌 = 𝑋)
29	1, 24, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑌 = 𝑋)
30	29	eqcomd 2771	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑋 = 𝑌)
31		ttgbtwnid.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
32		ttgval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
33		ttgitvval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
34	32, 33, 7, 9, 20, 6, 6, 3, 25	ttgelitv 29292	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))))
35	31, 34	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)))
36	30, 35	r19.29a 3175	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  0cc0 11120  1c1 11121  [,]cicc 13396  Basecbs 17296  Scalarcsca 17340   ·_𝑠 cvsca 17341  0_gc0g 17519  -_gcsg 19051  LModclmod 21036  ℂModcclm 25277  Itvcitv 28758  toTGcttg 29282

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-dec 12733  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-plusg 17350  df-0g 17521  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-sbg 19054  df-cmn 19901  df-abl 19902  df-mgp 20266  df-rng 20280  df-ur 20313  df-ring 20366  df-lmod 21038  df-clm 25278  df-itv 28760  df-lng 28761  df-ttg 29283

This theorem is used by: (None)