Theorem ttgbtwnid 28970

Description: Any subcomplex module equipped with the betweenness operation fulfills the identity of betweenness (Axiom A6). (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m	⊢ − = (-g‘𝐻)
ttgitvval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
ttgelitv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ttgelitv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ttgbtwnid.r	⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
ttgbtwnid.2	⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
ttgbtwnid.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂMod)
ttgbtwnid.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ttgbtwnid	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem ttgbtwnid

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝜑)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)))
3		ttgbtwnid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂMod)
4		clmlmod 25048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ ℂMod → 𝐻 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ LMod)
6		ttgelitv.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		ttgitvval.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
8		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
9		ttgitvval.m	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (-g‘𝐻)
10	7, 8, 9	lmodsubid 20912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
11	5, 6, 10	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
12	11	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
13	12	oveq2d 7378	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)) = (𝑘 · (0g‘𝐻)))
14	5	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝐻 ∈ LMod)
15		ttgbtwnid.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
16	15	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
17		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑘 ∈ (0[,]1))
18	16, 17	sseldd 3923	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑘 ∈ 𝑅)
19		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐻)
20		ttgitvval.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
21		ttgbtwnid.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
22	19, 20, 21, 8	lmodvs0 20886	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑘 · (0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻))
23	14, 18, 22	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑘 · (0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻))
24	2, 13, 23	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
25		ttgelitv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
26	7, 8, 9	lmodsubeq0 20911	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ((𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
27	5, 25, 6, 26	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
28	27	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻)) → 𝑌 = 𝑋)
29	1, 24, 28	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑌 = 𝑋)
30	29	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑋 = 𝑌)
31		ttgbtwnid.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
32		ttgval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
33		ttgitvval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
34	32, 33, 7, 9, 20, 6, 6, 3, 25	ttgelitv 28969	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))))
35	31, 34	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)))
36	30, 35	r19.29a 3146	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  0cc0 11033  1c1 11034  [,]cicc 13296  Basecbs 17174  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  0_gc0g 17397  -_gcsg 18906  LModclmod 20850  ℂModcclm 25043  Itvcitv 28519  toTGcttg 28959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-dec 12640  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-lmod 20852  df-clm 25044  df-itv 28521  df-lng 28522  df-ttg 28960

This theorem is referenced by: (None)