MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgbtwnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttgbtwnid 26833
Description: Any subcomplex module equipped with the betweenness operation fulfills the identity of betweenness (Axiom A6). (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m = (-g𝐻)
ttgitvval.s · = ( ·𝑠𝐻)
ttgelitv.x (𝜑𝑋𝑃)
ttgelitv.y (𝜑𝑌𝑃)
ttgbtwnid.r 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
ttgbtwnid.2 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
ttgbtwnid.1 (𝜑𝐻 ∈ ℂMod)
ttgbtwnid.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
Assertion
Ref Expression
ttgbtwnid (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem ttgbtwnid
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝜑)
2 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋)))
3 ttgbtwnid.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ ℂMod)
4 clmlmod 23822 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ ℂMod → 𝐻 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ LMod)
6 ttgelitv.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑃)
7 ttgitvval.b . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘𝐻)
8 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (0g𝐻) = (0g𝐻)
9 ttgitvval.m . . . . . . . . 9 = (-g𝐻)
107, 8, 9lmodsubid 19816 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑃) → (𝑋 𝑋) = (0g𝐻))
115, 6, 10syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝑋) = (0g𝐻))
1211ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑋 𝑋) = (0g𝐻))
1312oveq2d 7189 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑘 · (𝑋 𝑋)) = (𝑘 · (0g𝐻)))
145ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝐻 ∈ LMod)
15 ttgbtwnid.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
1615ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
17 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝑘 ∈ (0[,]1))
1816, 17sseldd 3879 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝑘𝑅)
19 eqid 2739 . . . . . . 7 (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐻)
20 ttgitvval.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝐻)
21 ttgbtwnid.r . . . . . . 7 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
2219, 20, 21, 8lmodvs0 19790 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑘𝑅) → (𝑘 · (0g𝐻)) = (0g𝐻))
2314, 18, 22syl2anc 587 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑘 · (0g𝐻)) = (0g𝐻))
242, 13, 233eqtrd 2778 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑌 𝑋) = (0g𝐻))
25 ttgelitv.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑃)
267, 8, 9lmodsubeq0 19815 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑃𝑋𝑃) → ((𝑌 𝑋) = (0g𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
275, 25, 6, 26syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌 𝑋) = (0g𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
2827biimpa 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 𝑋) = (0g𝐻)) → 𝑌 = 𝑋)
291, 24, 28syl2anc 587 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝑌 = 𝑋)
3029eqcomd 2745 . 2 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝑋 = 𝑌)
31 ttgbtwnid.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
32 ttgval.n . . . 4 𝐺 = (toTG‘𝐻)
33 ttgitvval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3432, 33, 7, 9, 20, 6, 6, 3, 25ttgelitv 26832 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))))
3531, 34mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋)))
3630, 35r19.29a 3200 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3055  wss 3844  cfv 6340  (class class class)co 7173  0cc0 10618  1c1 10619  [,]cicc 12827  Basecbs 16589  Scalarcsca 16674   ·𝑠 cvsca 16675  0gc0g 16819  -gcsg 18224  LModclmod 19756  ℂModcclm 23817  Itvcitv 26385  toTGcttg 26822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-7 11787  df-8 11788  df-9 11789  df-n0 11980  df-dec 12183  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-plusg 16684  df-0g 16821  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-grp 18225  df-minusg 18226  df-sbg 18227  df-mgp 19362  df-ring 19421  df-lmod 19758  df-clm 23818  df-itv 26387  df-lng 26388  df-ttg 26823
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator