MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgbtwnid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ttgbtwnid 28649
Description: Any subcomplex module equipped with the betweenness operation fulfills the identity of betweenness (Axiom A6). (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTGβ€˜π»)
ttgitvval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ttgitvval.b 𝑃 = (Baseβ€˜π»)
ttgitvval.m βˆ’ = (-gβ€˜π»)
ttgitvval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π»)
ttgelitv.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
ttgelitv.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
ttgbtwnid.r 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π»))
ttgbtwnid.2 (πœ‘ β†’ (0[,]1) βŠ† 𝑅)
ttgbtwnid.1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ β„‚Mod)
ttgbtwnid.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑋))
Assertion
Ref Expression
ttgbtwnid (πœ‘ β†’ 𝑋 = π‘Œ)
Proof of Theorem ttgbtwnid
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ πœ‘)
2 simpr 484 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋)))
3 ttgbtwnid.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ β„‚Mod)
4 clmlmod 24949 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ β„‚Mod β†’ 𝐻 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ LMod)
6 ttgelitv.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
7 ttgitvval.b . . . . . . . . 9 𝑃 = (Baseβ€˜π»)
8 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
9 ttgitvval.m . . . . . . . . 9 βˆ’ = (-gβ€˜π»)
107, 8, 9lmodsubid 20768 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑋) = (0gβ€˜π»))
115, 6, 10syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑋) = (0gβ€˜π»))
1211ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑋) = (0gβ€˜π»))
1312oveq2d 7421 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋)) = (π‘˜ Β· (0gβ€˜π»)))
145ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐻 ∈ LMod)
15 ttgbtwnid.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0[,]1) βŠ† 𝑅)
1615ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ (0[,]1) βŠ† 𝑅)
17 simplr 766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ π‘˜ ∈ (0[,]1))
1816, 17sseldd 3978 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑅)
19 eqid 2726 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π») = (Scalarβ€˜π»)
20 ttgitvval.s . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π»)
21 ttgbtwnid.r . . . . . . 7 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π»))
2219, 20, 21, 8lmodvs0 20742 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ 𝑅) β†’ (π‘˜ Β· (0gβ€˜π»)) = (0gβ€˜π»))
2314, 18, 22syl2anc 583 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ (π‘˜ Β· (0gβ€˜π»)) = (0gβ€˜π»))
242, 13, 233eqtrd 2770 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (0gβ€˜π»))
25 ttgelitv.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
267, 8, 9lmodsubeq0 20767 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (0gβ€˜π») ↔ π‘Œ = 𝑋))
275, 25, 6, 26syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (0gβ€˜π») ↔ π‘Œ = 𝑋))
2827biimpa 476 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (0gβ€˜π»)) β†’ π‘Œ = 𝑋)
291, 24, 28syl2anc 583 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ π‘Œ = 𝑋)
3029eqcomd 2732 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0[,]1)) ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
31 ttgbtwnid.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑋))
32 ttgval.n . . . 4 𝐺 = (toTGβ€˜π»)
33 ttgitvval.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3432, 33, 7, 9, 20, 6, 6, 3, 25ttgelitv 28648 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑋) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋))))
3531, 34mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (𝑋 βˆ’ 𝑋)))
3630, 35r19.29a 3156 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 = π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113  [,]cicc 13333  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  -gcsg 18865  LModclmod 20706  β„‚Modcclm 24944  Itvcitv 28192  toTGcttg 28632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-clm 24945  df-itv 28194  df-lng 28195  df-ttg 28633
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator