Theorem ttgbtwnid 26678

Description: Any subcomplex module equipped with the betweenness operation fulfills the identity of betweenness (Axiom A6). (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m	⊢ − = (-g‘𝐻)
ttgitvval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
ttgelitv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ttgelitv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ttgbtwnid.r	⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
ttgbtwnid.2	⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
ttgbtwnid.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂMod)
ttgbtwnid.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ttgbtwnid	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem ttgbtwnid

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝜑)
2		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)))
3		ttgbtwnid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂMod)
4		clmlmod 23672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ ℂMod → 𝐻 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ LMod)
6		ttgelitv.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		ttgitvval.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
8		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
9		ttgitvval.m	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (-g‘𝐻)
10	7, 8, 9	lmodsubid 19687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
11	5, 6, 10	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
12	11	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
13	12	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)) = (𝑘 · (0g‘𝐻)))
14	5	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝐻 ∈ LMod)
15		ttgbtwnid.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
16	15	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
17		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑘 ∈ (0[,]1))
18	16, 17	sseldd 3916	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑘 ∈ 𝑅)
19		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐻)
20		ttgitvval.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
21		ttgbtwnid.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
22	19, 20, 21, 8	lmodvs0 19661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑘 · (0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻))
23	14, 18, 22	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑘 · (0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻))
24	2, 13, 23	3eqtrd 2837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
25		ttgelitv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
26	7, 8, 9	lmodsubeq0 19686	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ((𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
27	5, 25, 6, 26	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
28	27	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻)) → 𝑌 = 𝑋)
29	1, 24, 28	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑌 = 𝑋)
30	29	eqcomd 2804	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑋 = 𝑌)
31		ttgbtwnid.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
32		ttgval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
33		ttgitvval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
34	32, 33, 7, 9, 20, 6, 6, 3, 25	ttgelitv 26677	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))))
35	31, 34	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)))
36	30, 35	r19.29a 3248	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527  [,]cicc 12729  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705  -_gcsg 18097  LModclmod 19627  ℂModcclm 23667  Itvcitv 26230  toTGcttg 26667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-dec 12087  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mgp 19233  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-clm 23668  df-itv 26232  df-lng 26233  df-ttg 26668

This theorem is referenced by: (None)