MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgbtwnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttgbtwnid 27251
Description: Any subcomplex module equipped with the betweenness operation fulfills the identity of betweenness (Axiom A6). (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m = (-g𝐻)
ttgitvval.s · = ( ·𝑠𝐻)
ttgelitv.x (𝜑𝑋𝑃)
ttgelitv.y (𝜑𝑌𝑃)
ttgbtwnid.r 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
ttgbtwnid.2 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
ttgbtwnid.1 (𝜑𝐻 ∈ ℂMod)
ttgbtwnid.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
Assertion
Ref Expression
ttgbtwnid (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem ttgbtwnid
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝜑)
2 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋)))
3 ttgbtwnid.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ ℂMod)
4 clmlmod 24230 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ ℂMod → 𝐻 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ LMod)
6 ttgelitv.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑃)
7 ttgitvval.b . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘𝐻)
8 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (0g𝐻) = (0g𝐻)
9 ttgitvval.m . . . . . . . . 9 = (-g𝐻)
107, 8, 9lmodsubid 20183 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑃) → (𝑋 𝑋) = (0g𝐻))
115, 6, 10syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝑋) = (0g𝐻))
1211ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑋 𝑋) = (0g𝐻))
1312oveq2d 7291 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑘 · (𝑋 𝑋)) = (𝑘 · (0g𝐻)))
145ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝐻 ∈ LMod)
15 ttgbtwnid.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
1615ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
17 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝑘 ∈ (0[,]1))
1816, 17sseldd 3922 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝑘𝑅)
19 eqid 2738 . . . . . . 7 (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐻)
20 ttgitvval.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝐻)
21 ttgbtwnid.r . . . . . . 7 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
2219, 20, 21, 8lmodvs0 20157 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑘𝑅) → (𝑘 · (0g𝐻)) = (0g𝐻))
2314, 18, 22syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑘 · (0g𝐻)) = (0g𝐻))
242, 13, 233eqtrd 2782 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → (𝑌 𝑋) = (0g𝐻))
25 ttgelitv.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑃)
267, 8, 9lmodsubeq0 20182 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑃𝑋𝑃) → ((𝑌 𝑋) = (0g𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
275, 25, 6, 26syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌 𝑋) = (0g𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
2827biimpa 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 𝑋) = (0g𝐻)) → 𝑌 = 𝑋)
291, 24, 28syl2anc 584 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝑌 = 𝑋)
3029eqcomd 2744 . 2 (((𝜑𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))) → 𝑋 = 𝑌)
31 ttgbtwnid.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
32 ttgval.n . . . 4 𝐺 = (toTG‘𝐻)
33 ttgitvval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3432, 33, 7, 9, 20, 6, 6, 3, 25ttgelitv 27250 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋))))
3531, 34mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 𝑋)))
3630, 35r19.29a 3218 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065  wss 3887  cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872  [,]cicc 13082  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·𝑠 cvsca 16966  0gc0g 17150  -gcsg 18579  LModclmod 20123  ℂModcclm 24225  Itvcitv 26794  toTGcttg 27234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-dec 12438  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-clm 24226  df-itv 26796  df-lng 26797  df-ttg 27235
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator