MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgcontlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttgcontlem1 28142
Description: Lemma for % ttgcont . (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTGβ€˜π»)
ttgitvval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ttgitvval.b 𝑃 = (Baseβ€˜π»)
ttgitvval.m βˆ’ = (-gβ€˜π»)
ttgitvval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π»)
ttgelitv.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
ttgelitv.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
ttgbtwnid.r 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π»))
ttgbtwnid.2 (πœ‘ β†’ (0[,]1) βŠ† 𝑅)
ttgitvval.p + = (+gβ€˜π»)
ttgcontlem1.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ β„‚Vec)
ttgcontlem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
ttgcontlem1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑃)
ttgcontlem1.o (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
ttgcontlem1.p (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  0)
ttgcontlem1.q (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  1)
ttgcontlem1.r (πœ‘ β†’ 𝐿 β‰  𝑀)
ttgcontlem1.s (πœ‘ β†’ 𝐿 ≀ (𝑀 / 𝐾))
ttgcontlem1.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (0[,]1))
ttgcontlem1.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (0[,]1))
ttgcontlem1.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0[,]𝐿))
ttgcontlem1.y (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐴) = (𝐾 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)))
ttgcontlem1.x (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐴) = (𝑀 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)))
ttgcontlem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (𝐴 + (𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))))
Assertion
Ref Expression
ttgcontlem1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))

Proof of Theorem ttgcontlem1
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unitssre 13476 . . . . . . . 8 (0[,]1) βŠ† ℝ
2 ttgcontlem1.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (0[,]1))
31, 2sselid 3981 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
4 ttgcontlem1.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (0[,]1))
51, 4sselid 3981 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
63, 5remulcld 11244 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· 𝐾) ∈ ℝ)
7 0re 11216 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
8 iccssre 13406 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (0[,]𝐿) βŠ† ℝ)
97, 3, 8sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0[,]𝐿) βŠ† ℝ)
10 ttgcontlem1.m . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0[,]𝐿))
119, 10sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
1211, 5remulcld 11244 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝐾) ∈ ℝ)
136, 12resubcld 11642 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) ∈ ℝ)
14 1red 11215 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
1511, 14remulcld 11244 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 1) ∈ ℝ)
1615, 12resubcld 11642 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) ∈ ℝ)
1711recnd 11242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
18 1cnd 11209 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
195recnd 11242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
2017, 18, 19subdid 11670 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝐾)) = ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)))
2118, 19subcld 11571 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐾) ∈ β„‚)
22 ttgcontlem1.o . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
23 ttgcontlem1.q . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  1)
2423necomd 2997 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 β‰  𝐾)
2518, 19, 24subne0d 11580 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐾) β‰  0)
2617, 21, 22, 25mulne0d 11866 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝐾)) β‰  0)
2720, 26eqnetrrd 3010 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) β‰  0)
2813, 16, 27redivcld 12042 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))) ∈ ℝ)
29 0xr 11261 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
303rexrd 11264 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ*)
31 iccgelb 13380 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ (0[,]𝐿)) β†’ 0 ≀ 𝑀)
3229, 30, 10, 31mp3an2i 1467 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
3311, 32, 22ne0gt0d 11351 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
3411, 33elrpd 13013 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
3514rexrd 11264 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ*)
36 iccleub 13379 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝐾 ≀ 1)
3729, 35, 4, 36mp3an2i 1467 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ≀ 1)
385, 14, 37, 24leneltd 11368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 < 1)
39 difrp 13012 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝐾) ∈ ℝ+))
405, 14, 39syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝐾) ∈ ℝ+))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐾) ∈ ℝ+)
4234, 41rpmulcld 13032 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝐾)) ∈ ℝ+)
4320, 42eqeltrrd 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) ∈ ℝ+)
443, 11resubcld 11642 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐿 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ)
45 iccleub 13379 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ (0[,]𝐿)) β†’ 𝑀 ≀ 𝐿)
4629, 30, 10, 45mp3an2i 1467 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ 𝐿)
473, 11subge0d 11804 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (𝐿 βˆ’ 𝑀) ↔ 𝑀 ≀ 𝐿))
4846, 47mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐿 βˆ’ 𝑀))
49 iccgelb 13380 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ (0[,]1)) β†’ 0 ≀ 𝐾)
5029, 35, 4, 49mp3an2i 1467 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐾)
5144, 5, 48, 50mulge0d 11791 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· 𝐾))
523recnd 11242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
5352, 17, 19subdird 11671 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· 𝐾) = ((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)))
5451, 53breqtrd 5175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)))
5513, 43, 54divge0d 13056 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))))
56 ttgcontlem1.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ≀ (𝑀 / 𝐾))
57 ttgcontlem1.p . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  0)
585, 50, 57ne0gt0d 11351 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐾)
595, 58elrpd 13013 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ+)
603, 11, 59lemuldivd 13065 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· 𝐾) ≀ 𝑀 ↔ 𝐿 ≀ (𝑀 / 𝐾)))
6156, 60mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· 𝐾) ≀ 𝑀)
6217mulridd 11231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
6361, 62breqtrrd 5177 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· 𝐾) ≀ (𝑀 Β· 1))
646, 15, 12, 63lesub1dd 11830 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) ≀ ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)))
6517, 18mulcld 11234 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 1) ∈ β„‚)
6617, 19mulcld 11234 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝐾) ∈ β„‚)
6765, 66subcld 11571 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) ∈ β„‚)
6867mulridd 11231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) Β· 1) = ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)))
6964, 68breqtrrd 5177 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) ≀ (((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) Β· 1))
7013, 14, 43ledivmuld 13069 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))) ≀ 1 ↔ ((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) ≀ (((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) Β· 1)))
7169, 70mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))) ≀ 1)
72 elicc01 13443 . . . 4 ((((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))) ∈ (0[,]1) ↔ ((((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))) ∧ (((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))) ≀ 1))
7328, 55, 71, 72syl3anbrc 1344 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))) ∈ (0[,]1))
74 ttgcontlem1.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ β„‚Vec)
7574cvsclm 24642 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ β„‚Mod)
76 ttgbtwnid.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0[,]1) βŠ† 𝑅)
7776, 2sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝑅)
78 0elunit 13446 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
79 iccss2 13395 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐿 ∈ (0[,]1)) β†’ (0[,]𝐿) βŠ† (0[,]1))
8078, 2, 79sylancr 588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0[,]𝐿) βŠ† (0[,]1))
8180, 76sstrd 3993 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0[,]𝐿) βŠ† 𝑅)
8281, 10sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑅)
83 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π») = (Scalarβ€˜π»)
84 ttgbtwnid.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π»))
8583, 84clmsubcl 24602 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ β„‚Mod ∧ 𝐿 ∈ 𝑅 ∧ 𝑀 ∈ 𝑅) β†’ (𝐿 βˆ’ 𝑀) ∈ 𝑅)
8675, 77, 82, 85syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿 βˆ’ 𝑀) ∈ 𝑅)
8783, 84cvsdivcl 24649 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ β„‚Vec ∧ ((𝐿 βˆ’ 𝑀) ∈ 𝑅 ∧ 𝑀 ∈ 𝑅 ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ ((𝐿 βˆ’ 𝑀) / 𝑀) ∈ 𝑅)
8874, 86, 82, 22, 87syl13anc 1373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐿 βˆ’ 𝑀) / 𝑀) ∈ 𝑅)
8976, 4sseldd 3984 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑅)
90 1elunit 13447 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0[,]1)
9190a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (0[,]1))
9276, 91sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝑅)
9383, 84clmsubcl 24602 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ β„‚Mod ∧ 1 ∈ 𝑅 ∧ 𝐾 ∈ 𝑅) β†’ (1 βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑅)
9475, 92, 89, 93syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑅)
9583, 84cvsdivcl 24649 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ β„‚Vec ∧ (𝐾 ∈ 𝑅 ∧ (1 βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑅 ∧ (1 βˆ’ 𝐾) β‰  0)) β†’ (𝐾 / (1 βˆ’ 𝐾)) ∈ 𝑅)
9674, 89, 94, 25, 95syl13anc 1373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 / (1 βˆ’ 𝐾)) ∈ 𝑅)
97 clmgrp 24584 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ β„‚Mod β†’ 𝐻 ∈ Grp)
9875, 97syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
99 ttgelitv.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
100 ttgelitv.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
101 ttgitvval.b . . . . . . 7 𝑃 = (Baseβ€˜π»)
102 ttgitvval.m . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π»)
103101, 102grpsubcl 18903 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) ∈ 𝑃)
10498, 99, 100, 103syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) ∈ 𝑃)
105 ttgitvval.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π»)
106101, 83, 105, 84clmvsass 24605 . . . . 5 ((𝐻 ∈ β„‚Mod ∧ (((𝐿 βˆ’ 𝑀) / 𝑀) ∈ 𝑅 ∧ (𝐾 / (1 βˆ’ 𝐾)) ∈ 𝑅 ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) ∈ 𝑃)) β†’ ((((𝐿 βˆ’ 𝑀) / 𝑀) Β· (𝐾 / (1 βˆ’ 𝐾))) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) = (((𝐿 βˆ’ 𝑀) / 𝑀) Β· ((𝐾 / (1 βˆ’ 𝐾)) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))))
10775, 88, 96, 104, 106syl13anc 1373 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((𝐿 βˆ’ 𝑀) / 𝑀) Β· (𝐾 / (1 βˆ’ 𝐾))) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) = (((𝐿 βˆ’ 𝑀) / 𝑀) Β· ((𝐾 / (1 βˆ’ 𝐾)) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))))
10844recnd 11242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐿 βˆ’ 𝑀) ∈ β„‚)
109108, 17, 19, 21, 22, 25divmuldivd 12031 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐿 βˆ’ 𝑀) / 𝑀) Β· (𝐾 / (1 βˆ’ 𝐾))) = (((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· 𝐾) / (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝐾))))
11053, 20oveq12d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· 𝐾) / (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝐾))) = (((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))))
111109, 110eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐿 βˆ’ 𝑀) / 𝑀) Β· (𝐾 / (1 βˆ’ 𝐾))) = (((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))))
112111oveq1d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((𝐿 βˆ’ 𝑀) / 𝑀) Β· (𝐾 / (1 βˆ’ 𝐾))) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) = ((((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
113 ttgcontlem1.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
114101, 102grpsubcl 18903 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐴) ∈ 𝑃)
11598, 100, 113, 114syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐴) ∈ 𝑃)
116 ttgcontlem1.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐴) = (𝐾 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)))
117116oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ 𝐾) Β· (𝑋 βˆ’ 𝐴)) = ((1 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐾 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴))))
11819, 21mulcomd 11235 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· (1 βˆ’ 𝐾)) = ((1 βˆ’ 𝐾) Β· 𝐾))
119118oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· (1 βˆ’ 𝐾)) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)) = (((1 βˆ’ 𝐾) Β· 𝐾) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)))
120101, 102grpsubcl 18903 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐴) ∈ 𝑃)
12198, 99, 113, 120syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐴) ∈ 𝑃)
122101, 83, 105, 84clmvsass 24605 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ β„‚Mod ∧ (𝐾 ∈ 𝑅 ∧ (1 βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑅 ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝐴) ∈ 𝑃)) β†’ ((𝐾 Β· (1 βˆ’ 𝐾)) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)) = (𝐾 Β· ((1 βˆ’ 𝐾) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴))))
12375, 89, 94, 121, 122syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· (1 βˆ’ 𝐾)) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)) = (𝐾 Β· ((1 βˆ’ 𝐾) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴))))
124101, 83, 105, 84clmvsass 24605 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ β„‚Mod ∧ ((1 βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑅 ∧ 𝐾 ∈ 𝑅 ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝐴) ∈ 𝑃)) β†’ (((1 βˆ’ 𝐾) Β· 𝐾) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)) = ((1 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐾 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴))))
12575, 94, 89, 121, 124syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((1 βˆ’ 𝐾) Β· 𝐾) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)) = ((1 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐾 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴))))
126119, 123, 1253eqtr3d 2781 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· ((1 βˆ’ 𝐾) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴))) = ((1 βˆ’ 𝐾) Β· (𝐾 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴))))
127 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (-gβ€˜(Scalarβ€˜π»)) = (-gβ€˜(Scalarβ€˜π»))
128 clmlmod 24583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∈ β„‚Mod β†’ 𝐻 ∈ LMod)
12975, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ LMod)
130101, 105, 83, 84, 102, 127, 129, 92, 89, 121lmodsubdir 20530 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((1(-gβ€˜(Scalarβ€˜π»))𝐾) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)) = ((1 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)) βˆ’ (𝐾 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴))))
13183, 84clmsub 24596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻 ∈ β„‚Mod ∧ 1 ∈ 𝑅 ∧ 𝐾 ∈ 𝑅) β†’ (1 βˆ’ 𝐾) = (1(-gβ€˜(Scalarβ€˜π»))𝐾))
13275, 92, 89, 131syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐾) = (1(-gβ€˜(Scalarβ€˜π»))𝐾))
133132oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ 𝐾) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)) = ((1(-gβ€˜(Scalarβ€˜π»))𝐾) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)))
134101, 105clmvs1 24609 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 ∈ β„‚Mod ∧ (π‘Œ βˆ’ 𝐴) ∈ 𝑃) β†’ (1 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)) = (π‘Œ βˆ’ 𝐴))
13575, 121, 134syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (1 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)) = (π‘Œ βˆ’ 𝐴))
136135eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝐴) = (1 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)))
137136, 116oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ 𝐴) βˆ’ (𝑋 βˆ’ 𝐴)) = ((1 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)) βˆ’ (𝐾 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴))))
138130, 133, 1373eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ 𝐾) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)) = ((π‘Œ βˆ’ 𝐴) βˆ’ (𝑋 βˆ’ 𝐴)))
139101, 102grpnnncan2 18920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃)) β†’ ((π‘Œ βˆ’ 𝐴) βˆ’ (𝑋 βˆ’ 𝐴)) = (π‘Œ βˆ’ 𝑋))
14098, 99, 100, 113, 139syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ 𝐴) βˆ’ (𝑋 βˆ’ 𝐴)) = (π‘Œ βˆ’ 𝑋))
141138, 140eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1 βˆ’ 𝐾) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴)) = (π‘Œ βˆ’ 𝑋))
142141oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· ((1 βˆ’ 𝐾) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝐴))) = (𝐾 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
143117, 126, 1423eqtr2rd 2780 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) = ((1 βˆ’ 𝐾) Β· (𝑋 βˆ’ 𝐴)))
144101, 105, 83, 84, 74, 89, 94, 104, 115, 57, 143cvsmuleqdivd 24650 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) = (((1 βˆ’ 𝐾) / 𝐾) Β· (𝑋 βˆ’ 𝐴)))
145101, 105, 83, 84, 74, 94, 89, 104, 115, 25, 57, 144cvsdiveqd 24651 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐾 / (1 βˆ’ 𝐾)) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) = (𝑋 βˆ’ 𝐴))
146145, 115eqeltrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐾 / (1 βˆ’ 𝐾)) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ 𝑃)
147 ttgcontlem1.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (𝐴 + (𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))))
148 ttgcontlem1.n . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑃)
149101, 102grpsubcl 18903 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐴) ∈ 𝑃)
15098, 148, 113, 149syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐴) ∈ 𝑃)
151101, 83, 105, 84lmodvscl 20489 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ 𝑅 ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐴) ∈ 𝑃) β†’ (𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) ∈ 𝑃)
152129, 77, 150, 151syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) ∈ 𝑃)
153 ttgitvval.p . . . . . . . . 9 + = (+gβ€˜π»)
154101, 153grpcl 18827 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) ∈ 𝑃) β†’ (𝐴 + (𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))) ∈ 𝑃)
15598, 113, 152, 154syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 + (𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))) ∈ 𝑃)
156147, 155eqeltrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
157101, 102grpsubcl 18903 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ 𝑃)
15898, 156, 100, 157syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) ∈ 𝑃)
159 ttgcontlem1.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 β‰  𝑀)
16052, 17, 159subne0d 11580 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐿 βˆ’ 𝑀) β‰  0)
161 ttgcontlem1.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐴) = (𝑀 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)))
162161oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· (𝑋 βˆ’ 𝐴)) = ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· (𝑀 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))))
16317, 108mulcomd 11235 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (𝐿 βˆ’ 𝑀)) = ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· 𝑀))
164163oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· (𝐿 βˆ’ 𝑀)) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) = (((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· 𝑀) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)))
165101, 83, 105, 84clmvsass 24605 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ β„‚Mod ∧ (𝑀 ∈ 𝑅 ∧ (𝐿 βˆ’ 𝑀) ∈ 𝑅 ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐴) ∈ 𝑃)) β†’ ((𝑀 Β· (𝐿 βˆ’ 𝑀)) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) = (𝑀 Β· ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))))
16675, 82, 86, 150, 165syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· (𝐿 βˆ’ 𝑀)) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) = (𝑀 Β· ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))))
167101, 83, 105, 84clmvsass 24605 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ β„‚Mod ∧ ((𝐿 βˆ’ 𝑀) ∈ 𝑅 ∧ 𝑀 ∈ 𝑅 ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐴) ∈ 𝑃)) β†’ (((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· 𝑀) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) = ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· (𝑀 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))))
16875, 86, 82, 150, 167syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· 𝑀) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) = ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· (𝑀 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))))
169164, 166, 1683eqtr3d 2781 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))) = ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· (𝑀 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))))
170101, 105, 83, 84, 102, 127, 129, 77, 82, 150lmodsubdir 20530 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐿(-gβ€˜(Scalarβ€˜π»))𝑀) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) = ((𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) βˆ’ (𝑀 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))))
17183, 84clmsub 24596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻 ∈ β„‚Mod ∧ 𝐿 ∈ 𝑅 ∧ 𝑀 ∈ 𝑅) β†’ (𝐿 βˆ’ 𝑀) = (𝐿(-gβ€˜(Scalarβ€˜π»))𝑀))
17275, 77, 82, 171syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐿 βˆ’ 𝑀) = (𝐿(-gβ€˜(Scalarβ€˜π»))𝑀))
173172oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) = ((𝐿(-gβ€˜(Scalarβ€˜π»))𝑀) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)))
174147oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = ((𝐴 + (𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))) βˆ’ 𝐴))
175 lmodabl 20519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ LMod β†’ 𝐻 ∈ Abel)
176129, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Abel)
177101, 153, 102ablpncan2 19683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) ∈ 𝑃) β†’ ((𝐴 + (𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))) βˆ’ 𝐴) = (𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)))
178176, 113, 152, 177syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + (𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))) βˆ’ 𝐴) = (𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)))
179174, 178eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)))
180179, 161oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) βˆ’ (𝑋 βˆ’ 𝐴)) = ((𝐿 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) βˆ’ (𝑀 Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))))
181170, 173, 1803eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) = ((𝐡 βˆ’ 𝐴) βˆ’ (𝑋 βˆ’ 𝐴)))
182101, 102grpnnncan2 18920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝐡 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃)) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) βˆ’ (𝑋 βˆ’ 𝐴)) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
18398, 156, 100, 113, 182syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) βˆ’ (𝑋 βˆ’ 𝐴)) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
184181, 183eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴)) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
185184oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· (𝑁 βˆ’ 𝐴))) = (𝑀 Β· (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
186162, 169, 1853eqtr2rd 2780 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· (𝐡 βˆ’ 𝑋)) = ((𝐿 βˆ’ 𝑀) Β· (𝑋 βˆ’ 𝐴)))
187101, 105, 83, 84, 74, 82, 86, 158, 115, 22, 186cvsmuleqdivd 24650 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) = (((𝐿 βˆ’ 𝑀) / 𝑀) Β· (𝑋 βˆ’ 𝐴)))
188101, 105, 83, 84, 74, 86, 82, 158, 115, 160, 22, 187cvsdiveqd 24651 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑀 / (𝐿 βˆ’ 𝑀)) Β· (𝐡 βˆ’ 𝑋)) = (𝑋 βˆ’ 𝐴))
189145, 188eqtr4d 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐾 / (1 βˆ’ 𝐾)) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) = ((𝑀 / (𝐿 βˆ’ 𝑀)) Β· (𝐡 βˆ’ 𝑋)))
190101, 105, 83, 84, 74, 82, 86, 146, 158, 22, 160, 189cvsdiveqd 24651 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐿 βˆ’ 𝑀) / 𝑀) Β· ((𝐾 / (1 βˆ’ 𝐾)) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
191107, 112, 1903eqtr3rd 2782 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) = ((((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
192 oveq1 7416 . . . 4 (π‘˜ = (((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))) β†’ (π‘˜ Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) = ((((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
193192rspceeqv 3634 . . 3 (((((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))) ∈ (0[,]1) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑋) = ((((𝐿 Β· 𝐾) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾)) / ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝐾))) Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝐡 βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
19473, 191, 193syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝐡 βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
195 ttgval.n . . 3 𝐺 = (toTGβ€˜π»)
196 ttgitvval.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
197195, 196, 101, 102, 105, 100, 99, 74, 156ttgelitv 28140 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝐡 βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))))
198194, 197mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„+crp 12974  [,]cicc 13327  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  Abelcabl 19649  LModclmod 20471  β„‚Modcclm 24578  β„‚Vecccvs 24639  Itvcitv 27684  toTGcttg 28124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-icc 13331  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lvec 20714  df-cnfld 20945  df-clm 24579  df-cvs 24640  df-itv 27686  df-lng 27687  df-ttg 28125
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator