Theorem clmvs2 25136

Description: A vector plus itself is two times the vector. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvs1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmvs2.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvs2	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴))

Proof of Theorem clmvs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12277	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7402	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴))
4		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6	5	clm1 25115	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
7		clmlmod 25109	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
8		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
10	5, 8, 9	lmod1cl 20936	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
11	7, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
12	6, 11	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	12	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
14		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15		clmvs1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		clmvs1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		clmvs2.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
18	15, 5, 16, 8, 17	clmvsdir 25133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
19	4, 13, 13, 14, 18	syl13anc 1390	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
20	15, 16	clmvs1 25135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21	20, 20	oveq12d 7410	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
22	3, 19, 21	3eqtrrd 2801	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  1c1 11071   + caddc 11073  2c2 12269  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  Scalarcsca 17272   ·_𝑠 cvsca 17273  1_rcur 20210  LModclmod 20907  ℂModcclm 25104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-subg 19148  df-cmn 19805  df-mgp 20170  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-subrg 20599  df-lmod 20909  df-cnfld 21405  df-clm 25105

This theorem is referenced by: (None)