Theorem clmvs2 25112

Description: A vector plus itself is two times the vector. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvs1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmvs2.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvs2	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴))

Proof of Theorem clmvs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12327	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7434	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴))
4		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6	5	clm1 25091	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
7		clmlmod 25085	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
8		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
10	5, 8, 9	lmod1cl 20865	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
11	7, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
12	6, 11	eqeltrd 2826	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	12	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
14		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15		clmvs1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		clmvs1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		clmvs2.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
18	15, 5, 16, 8, 17	clmvsdir 25109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
19	4, 13, 13, 14, 18	syl13anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
20	15, 16	clmvs1 25111	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21	20, 20	oveq12d 7442	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
22	3, 19, 21	3eqtrrd 2771	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  1c1 11159   + caddc 11161  2c2 12319  Basecbs 17213  +_gcplusg 17266  Scalarcsca 17269   ·_𝑠 cvsca 17270  1_rcur 20164  LModclmod 20836  ℂModcclm 25080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-addf 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-subg 19117  df-cmn 19780  df-mgp 20118  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-subrg 20553  df-lmod 20838  df-cnfld 21344  df-clm 25081

This theorem is referenced by: (None)