Theorem clmvs2 24842

Description: A vector plus itself is two times the vector. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvs1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmvs2.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvs2	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴))

Proof of Theorem clmvs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12280	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7422	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴))
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6	5	clm1 24821	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
7		clmlmod 24815	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
8		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
10	5, 8, 9	lmod1cl 20644	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
11	7, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
12	6, 11	eqeltrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
14		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15		clmvs1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		clmvs1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		clmvs2.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
18	15, 5, 16, 8, 17	clmvsdir 24839	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
19	4, 13, 13, 14, 18	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((1 + 1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
20	15, 16	clmvs1 24841	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21	20, 20	oveq12d 7430	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((1 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
22	3, 19, 21	3eqtrrd 2776	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐴) = (2 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  1c1 11114   + caddc 11116  2c2 12272  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  Scalarcsca 17205   ·_𝑠 cvsca 17206  1_rcur 20076  LModclmod 20615  ℂModcclm 24810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-addf 11192  ax-mulf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-cnfld 21146  df-clm 24811

This theorem is referenced by: (None)