MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmvs2 24302
Description: A vector plus itself is two times the vector. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvs1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
clmvs1.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
clmvs2.a + = (+gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
clmvs2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + 𝐴) = (2 Β· 𝐴))

Proof of Theorem clmvs2
StepHypRef Expression
1 df-2 12082 . . . 4 2 = (1 + 1)
21oveq1i 7317 . . 3 (2 Β· 𝐴) = ((1 + 1) Β· 𝐴)
32a1i 11 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (2 Β· 𝐴) = ((1 + 1) Β· 𝐴))
4 simpl 484 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
5 eqid 2736 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
65clm1 24281 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 1 = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
7 clmlmod 24275 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 eqid 2736 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
9 eqid 2736 . . . . . . 7 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
105, 8, 9lmod1cl 20195 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
117, 10syl 17 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
126, 11eqeltrd 2837 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1312adantr 482 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
14 simpr 486 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
15 clmvs1.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
16 clmvs1.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
17 clmvs2.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
1815, 5, 16, 8, 17clmvsdir 24299 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) β†’ ((1 + 1) Β· 𝐴) = ((1 Β· 𝐴) + (1 Β· 𝐴)))
194, 13, 13, 14, 18syl13anc 1372 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((1 + 1) Β· 𝐴) = ((1 Β· 𝐴) + (1 Β· 𝐴)))
2015, 16clmvs1 24301 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
2120, 20oveq12d 7325 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((1 Β· 𝐴) + (1 Β· 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
223, 19, 213eqtrrd 2781 1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + 𝐴) = (2 Β· 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  1c1 10918   + caddc 10920  2c2 12074  Basecbs 16957  +gcplusg 17007  Scalarcsca 17010   ·𝑠 cvsca 17011  1rcur 19782  LModclmod 20168  β„‚Modcclm 24270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-addf 10996  ax-mulf 10997
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-fz 13286  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030  df-0g 17197  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-grp 18625  df-subg 18797  df-cmn 19433  df-mgp 19766  df-ur 19783  df-ring 19830  df-cring 19831  df-subrg 20067  df-lmod 20170  df-cnfld 20643  df-clm 24271
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator