Theorem clmvsass 23791

Description: Associative law for scalar product. Analogue of lmodvsass 19728. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvscl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvscl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
clmvsass	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 · 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem clmvsass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmvscl.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	clmmul 23777	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘𝐹))
3	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → · = (.r‘𝐹))
4	3	oveqd 7168	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑄 · 𝑅) = (𝑄(.r‘𝐹)𝑅))
5	4	oveq1d 7166	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 · 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋))
6		clmlmod 23769	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
7		clmvscl.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		clmvscl.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		clmvscl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
11	7, 1, 8, 9, 10	lmodvsass 19728	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
12	6, 11	sylan 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
13	5, 12	eqtrd 2794	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 · 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   · cmul 10581  Basecbs 16542  ._rcmulr 16625  Scalarcsca 16627   ·_𝑠 cvsca 16628  LModclmod 19703  ℂModcclm 23764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-mulf 10656

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-9 11745  df-n0 11936  df-z 12022  df-dec 12139  df-uz 12284  df-fz 12941  df-struct 16544  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-ress 16550  df-plusg 16637  df-mulr 16638  df-starv 16639  df-tset 16643  df-ple 16644  df-ds 16646  df-unif 16647  df-lmod 19705  df-cnfld 20168  df-clm 23765

This theorem is referenced by:  clmvscom  23792  clmnegneg  23806  cvsmuleqdivd  23836  cvsdiveqd  23837  ncvspi  23858  cnncvsmulassdemo  23866  minveclem2  24127  ttgcontlem1  26779