MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmodscmulexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmodscmulexp 25167
Description: The scalar product of a vector with powers of i belongs to the base set of a subcomplex module if the scalar subring of th subcomplex module contains i. (Contributed by AV, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cmodscexp.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cmodscexp.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cmodscmulexp.x 𝑋 = (Base‘𝑊)
cmodscmulexp.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
cmodscmulexp ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (i ∈ 𝐾𝐵𝑋𝑁 ∈ ℕ)) → ((i↑𝑁) · 𝐵) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem cmodscmulexp
StepHypRef Expression
1 clmlmod 25112 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
21adantr 480 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (i ∈ 𝐾𝐵𝑋𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp1 1136 . . . 4 ((i ∈ 𝐾𝐵𝑋𝑁 ∈ ℕ) → i ∈ 𝐾)
43anim2i 616 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (i ∈ 𝐾𝐵𝑋𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
5 simpr3 1196 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (i ∈ 𝐾𝐵𝑋𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6 cmodscexp.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7 cmodscexp.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
86, 7cmodscexp 25166 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (i↑𝑁) ∈ 𝐾)
94, 5, 8syl2anc 583 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (i ∈ 𝐾𝐵𝑋𝑁 ∈ ℕ)) → (i↑𝑁) ∈ 𝐾)
10 simpr2 1195 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (i ∈ 𝐾𝐵𝑋𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐵𝑋)
11 cmodscmulexp.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑊)
12 cmodscmulexp.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
1311, 6, 12, 7lmodvscl 20893 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (i↑𝑁) ∈ 𝐾𝐵𝑋) → ((i↑𝑁) · 𝐵) ∈ 𝑋)
142, 9, 10, 13syl3anc 1371 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (i ∈ 𝐾𝐵𝑋𝑁 ∈ ℕ)) → ((i↑𝑁) · 𝐵) ∈ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  cfv 6572  (class class class)co 7445  ici 11182  cn 12289  cexp 14108  Basecbs 17253  Scalarcsca 17309   ·𝑠 cvsca 17310  LModclmod 20875  ℂModcclm 25107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-addf 11259  ax-mulf 11260
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-fz 13564  df-seq 14049  df-exp 14109  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17496  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-submnd 18814  df-grp 18971  df-mulg 19103  df-cmn 19819  df-mgp 20157  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-subrg 20592  df-lmod 20877  df-cnfld 21383  df-clm 25108
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator