Theorem clmvs1 25010

Description: Scalar product with ring unity. (lmodvs1 20812 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvs1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvs1	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem clmvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2	1	clm1 24990	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
4	3	oveq1d 7368	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1 · 𝑋) = ((1r‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑋))
5		clmlmod 24984	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
6		clmvs1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		clmvs1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9	6, 1, 7, 8	lmodvs1 20812	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑋) = 𝑋)
10	5, 9	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑋) = 𝑋)
11	4, 10	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1c1 11029  Basecbs 17139  Scalarcsca 17183   ·_𝑠 cvsca 17184  1_rcur 20085  LModclmod 20782  ℂModcclm 24979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-subg 19021  df-cmn 19680  df-mgp 20045  df-ur 20086  df-ring 20139  df-cring 20140  df-subrg 20474  df-lmod 20784  df-cnfld 21281  df-clm 24980

This theorem is referenced by:  clmvs2  25011  clmmulg  25018  clmnegneg  25021  cvsi  25047  cvsmuleqdivd  25051  cvsdiveqd  25052  ncvspi  25073  cphipval  25160  minveclem2  25343  ttgcontlem1  28849