Theorem clmvs1 24609

Description: Scalar product with ring unity. (lmodvs1 20500 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvs1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvs1	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem clmvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2	1	clm1 24589	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
3	2	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
4	3	oveq1d 7424	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1 · 𝑋) = ((1r‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑋))
5		clmlmod 24583	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
6		clmvs1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		clmvs1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9	6, 1, 7, 8	lmodvs1 20500	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑋) = 𝑋)
10	5, 9	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑋) = 𝑋)
11	4, 10	eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·_𝑠 cvsca 17201  1_rcur 20004  LModclmod 20471  ℂModcclm 24578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-cnfld 20945  df-clm 24579

This theorem is referenced by:  clmvs2  24610  clmmulg  24617  clmnegneg  24620  cvsi  24646  cvsmuleqdivd  24650  cvsdiveqd  24651  ncvspi  24673  cphipval  24760  minveclem2  24943  ttgcontlem1  28142