Theorem isncvsngp 25134

Description: A normed subcomplex vector space is a subcomplex vector space which is a normed group with a positively homogeneous norm. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isncvsngp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
isncvsngp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
isncvsngp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
isncvsngp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
isncvsngp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
isncvsngp	⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   · ,𝑘,𝑥

Proof of Theorem isncvsngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnvc 24678	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
2	1	biancomi 463	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
5	4	cvslvec 25110	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	biantrurd 537	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
7	4	cvsclm 25111	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
8		isncvsngp.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		isncvsngp.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
10		isncvsngp.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		isncvsngp.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		isncvsngp.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	isnlm 24658	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
15		3anass 1100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing)))
16	15	biancomi 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp))
17	16	anbi1i 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
18		anass 469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
19	17, 18	bitri 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))))
21		clmlmod 25052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
22	11, 12	clmsca 25050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
23		cnnrg 24763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
24	11, 12	clmsubrg 25051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
25		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
26	25	subrgnrg 24656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ NrmRing)
27	23, 24, 26	sylancr 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ NrmRing)
28	22, 27	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ NrmRing)
29	21, 28	jca 516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
30	29	biantrurd 537	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))))
31		ralcom 3267	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))
32	22	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
33		subrgsubg 20549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
34		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
35		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾))
36	25, 34, 35	subgnm 24616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
37	24, 33, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
38	32, 37	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
40	39	fveq1d 6829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘))
41		cnfldnm 24761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
42	41	eqcomi 2748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (norm‘ℂfld) = abs
43	42	reseq1i 5927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾) = (abs ↾ 𝐾)
44	43	fveq1i 6828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘)
45		fvres 6846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
46	45	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
47	44, 46	eqtrid 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
48	40, 47	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
49	48	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))
50	49	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
51	50	2ralbidva 3201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
52	31, 51	bitrid 284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
53	52	anbi2d 636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
54	20, 30, 53	3bitr2d 308	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
55	14, 54	bitrid 284	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
56	7, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
57	3, 6, 56	3bitr2d 308	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
58	57	pm5.32i 579	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
59		elin 3899	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
60	59	biancomi 463	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec))
61		3anass 1100	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
62	58, 60, 61	3bitr4i 304	1 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ∩ cin 3882   ↾ cres 5620  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   · cmul 11034  abscabs 15187  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  SubGrpcsubg 19087  SubRingcsubrg 20541  LModclmod 20850  LVecclvec 21092  ℂ_fldccnfld 21347  normcnm 24559  NrmGrpcngp 24560  NrmRingcnrg 24562  NrmModcnlm 24563  NrmVeccnvc 24564  ℂModcclm 25047  ℂVecccvs 25108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ico 13295  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-topgen 17397  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-abv 20781  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-xms 24303  df-ms 24304  df-nm 24565  df-ngp 24566  df-nrg 24568  df-nlm 24569  df-nvc 24570  df-clm 25048  df-cvs 25109

This theorem is referenced by:  isncvsngpd  25135  ncvsi  25136