MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isncvsngp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isncvsngp 24465
Description: A normed subcomplex vector space is a subcomplex vector space which is a normed group with a positively homogeneous norm. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isncvsngp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
isncvsngp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
isncvsngp.s · = ( ·𝑠𝑊)
isncvsngp.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
isncvsngp.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
isncvsngp (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   · ,𝑘,𝑥

Proof of Theorem isncvsngp
StepHypRef Expression
1 isnvc 24011 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
21biancomi 463 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod))
32a1i 11 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
4 id 22 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
54cvslvec 24440 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ LVec)
65biantrurd 533 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
74cvsclm 24441 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
8 isncvsngp.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 isncvsngp.n . . . . . . 7 𝑁 = (norm‘𝑊)
10 isncvsngp.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
11 isncvsngp.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12 isncvsngp.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
13 eqid 2737 . . . . . . 7 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
148, 9, 10, 11, 12, 13isnlm 23991 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
15 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing)))
1615biancomi 463 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp))
1716anbi1i 624 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
18 anass 469 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
1917, 18bitri 274 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))))))
21 clmlmod 24382 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
2211, 12clmsca 24380 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
23 cnnrg 24096 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ NrmRing
2411, 12clmsubrg 24381 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
2625subrgnrg 23989 . . . . . . . . . . 11 ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ℂflds 𝐾) ∈ NrmRing)
2723, 24, 26sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂMod → (ℂflds 𝐾) ∈ NrmRing)
2822, 27eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ NrmRing)
2921, 28jca 512 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
3029biantrurd 533 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))))))
31 ralcom 3270 . . . . . . . . 9 (∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) ↔ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)))
3222fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = (norm‘(ℂflds 𝐾)))
33 subrgsubg 20181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
34 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
35 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (norm‘(ℂflds 𝐾)) = (norm‘(ℂflds 𝐾))
3625, 34, 35subgnm 23941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (norm‘(ℂflds 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
3724, 33, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘(ℂflds 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
3832, 37eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
4039fveq1d 6841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘))
41 cnfldnm 24094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs = (norm‘ℂfld)
4241eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (norm‘ℂfld) = abs
4342reseq1i 5931 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾) = (abs ↾ 𝐾)
4443fveq1i 6840 . . . . . . . . . . . . . 14 (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘)
45 fvres 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐾 → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
4645ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
4744, 46eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
4840, 47eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
4948oveq1d 7366 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))
5049eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → ((𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) ↔ (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
51502ralbidva 3208 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) ↔ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
5231, 51bitrid 282 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) ↔ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
5352anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
5420, 30, 533bitr2d 306 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
5514, 54bitrid 282 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
567, 55syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
573, 6, 563bitr2d 306 . . 3 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
5857pm5.32i 575 . 2 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
59 elin 3924 . . 3 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
6059biancomi 463 . 2 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec))
61 3anass 1095 . 2 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
6258, 60, 613bitr4i 302 1 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  cin 3907  cres 5633  cfv 6493  (class class class)co 7351   · cmul 11014  abscabs 15079  Basecbs 17043  s cress 17072  Scalarcsca 17096   ·𝑠 cvsca 17097  SubGrpcsubg 18881  SubRingcsubrg 20171  LModclmod 20275  LVecclvec 20516  fldccnfld 20749  normcnm 23884  NrmGrpcngp 23885  NrmRingcnrg 23887  NrmModcnlm 23888  NrmVeccnvc 23889  ℂModcclm 24377  ℂVecccvs 24438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ico 13224  df-fz 13379  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-topgen 17285  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-subg 18884  df-cmn 19523  df-mgp 19856  df-ring 19920  df-cring 19921  df-subrg 20173  df-abv 20229  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-xms 23625  df-ms 23626  df-nm 23890  df-ngp 23891  df-nrg 23893  df-nlm 23894  df-nvc 23895  df-clm 24378  df-cvs 24439
This theorem is referenced by:  isncvsngpd  24466  ncvsi  24467
  Copyright terms: Public domain W3C validator