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Theorem isncvsngp 24657
Description: A normed subcomplex vector space is a subcomplex vector space which is a normed group with a positively homogeneous norm. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isncvsngp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
isncvsngp.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
isncvsngp.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
isncvsngp.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
isncvsngp.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
isncvsngp (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘˜,𝑁,π‘₯   π‘˜,𝑉,π‘₯   π‘˜,π‘Š,π‘₯   Β· ,π‘˜,π‘₯

Proof of Theorem isncvsngp
StepHypRef Expression
1 isnvc 24203 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmVec ↔ (π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘Š ∈ LVec))
21biancomi 463 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmVec ↔ (π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Š ∈ NrmMod))
32a1i 11 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ NrmVec ↔ (π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Š ∈ NrmMod)))
4 id 22 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
54cvslvec 24632 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ LVec)
65biantrurd 533 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ NrmMod ↔ (π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Š ∈ NrmMod)))
74cvsclm 24633 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
8 isncvsngp.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 isncvsngp.n . . . . . . 7 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
10 isncvsngp.s . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
11 isncvsngp.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
12 isncvsngp.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
13 eqid 2732 . . . . . . 7 (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜πΉ)
148, 9, 10, 11, 12, 13isnlm 24183 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmMod ↔ ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
15 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing)))
1615biancomi 463 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ π‘Š ∈ NrmGrp))
1716anbi1i 624 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ π‘Š ∈ NrmGrp) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
18 anass 469 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ π‘Š ∈ NrmGrp) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
1917, 18bitri 274 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))))
21 clmlmod 24574 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ LMod)
2211, 12clmsca 24572 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
23 cnnrg 24288 . . . . . . . . . . 11 β„‚fld ∈ NrmRing
2411, 12clmsubrg 24573 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
25 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
2625subrgnrg 24181 . . . . . . . . . . 11 ((β„‚fld ∈ NrmRing ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ NrmRing)
2723, 24, 26sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ NrmRing)
2822, 27eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 ∈ NrmRing)
2921, 28jca 512 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
3029biantrurd 533 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))))
31 ralcom 3286 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))
3222fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
33 subrgsubg 20361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
34 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (normβ€˜β„‚fld) = (normβ€˜β„‚fld)
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
3625, 34, 35subgnm 24133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾))
3724, 33, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾))
3832, 37eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (normβ€˜πΉ) = ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ (normβ€˜πΉ) = ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾))
4039fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) = (((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜))
41 cnfldnm 24286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs = (normβ€˜β„‚fld)
4241eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (normβ€˜β„‚fld) = abs
4342reseq1i 5975 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾) = (abs β†Ύ 𝐾)
4443fveq1i 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜) = ((abs β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜)
45 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ ((abs β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜) = (absβ€˜π‘˜))
4645ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ ((abs β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜) = (absβ€˜π‘˜))
4744, 46eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ (((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜) = (absβ€˜π‘˜))
4840, 47eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) = (absβ€˜π‘˜))
4948oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))
5049eqeq2d 2743 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) ↔ (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
51502ralbidva 3216 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
5231, 51bitrid 282 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
5352anbi2d 629 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
5420, 30, 533bitr2d 306 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
5514, 54bitrid 282 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (π‘Š ∈ NrmMod ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
567, 55syl 17 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ NrmMod ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
573, 6, 563bitr2d 306 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ NrmVec ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
5857pm5.32i 575 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmVec) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
59 elin 3963 . . 3 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec))
6059biancomi 463 . 2 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmVec))
61 3anass 1095 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
6258, 60, 613bitr4i 302 1 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3946   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   Β· cmul 11111  abscabs 15177  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  SubGrpcsubg 18994  SubRingcsubrg 20351  LModclmod 20463  LVecclvec 20705  β„‚fldccnfld 20936  normcnm 24076  NrmGrpcngp 24077  NrmRingcnrg 24079  NrmModcnlm 24080  NrmVeccnvc 24081  β„‚Modcclm 24569  β„‚Vecccvs 24630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-abv 20417  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nrg 24085  df-nlm 24086  df-nvc 24087  df-clm 24570  df-cvs 24631
This theorem is referenced by:  isncvsngpd  24658  ncvsi  24659
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