Theorem isncvsngp 25117

Description: A normed subcomplex vector space is a subcomplex vector space which is a normed group with a positively homogeneous norm. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isncvsngp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
isncvsngp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
isncvsngp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
isncvsngp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
isncvsngp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
isncvsngp	⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   · ,𝑘,𝑥

Proof of Theorem isncvsngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnvc 24651	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
2	1	biancomi 462	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
5	4	cvslvec 25093	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
7	4	cvsclm 25094	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
8		isncvsngp.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		isncvsngp.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
10		isncvsngp.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		isncvsngp.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		isncvsngp.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	isnlm 24631	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
15		3anass 1095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing)))
16	15	biancomi 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp))
17	16	anbi1i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
18		anass 468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
19	17, 18	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))))
21		clmlmod 25035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
22	11, 12	clmsca 25033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
23		cnnrg 24736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
24	11, 12	clmsubrg 25034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
25		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
26	25	subrgnrg 24629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ NrmRing)
27	23, 24, 26	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ NrmRing)
28	22, 27	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ NrmRing)
29	21, 28	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
30	29	biantrurd 532	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))))
31		ralcom 3266	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))
32	22	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
33		subrgsubg 20522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
34		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
35		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾))
36	25, 34, 35	subgnm 24589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
37	24, 33, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
38	32, 37	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
40	39	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘))
41		cnfldnm 24734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
42	41	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (norm‘ℂfld) = abs
43	42	reseq1i 5942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾) = (abs ↾ 𝐾)
44	43	fveq1i 6843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘)
45		fvres 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
46	45	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
47	44, 46	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
48	40, 47	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
49	48	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))
50	49	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
51	50	2ralbidva 3200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
52	31, 51	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
53	52	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
54	20, 30, 53	3bitr2d 307	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
55	14, 54	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
56	7, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
57	3, 6, 56	3bitr2d 307	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
58	57	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
59		elin 3919	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
60	59	biancomi 462	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec))
61		3anass 1095	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
62	58, 60, 61	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∩ cin 3902   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   · cmul 11043  abscabs 15169  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  SubGrpcsubg 19062  SubRingcsubrg 20514  LModclmod 20823  LVecclvec 21066  ℂ_fldccnfld 21321  normcnm 24532  NrmGrpcngp 24533  NrmRingcnrg 24535  NrmModcnlm 24536  NrmVeccnvc 24537  ℂModcclm 25030  ℂVecccvs 25091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ico 13279  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-topgen 17375  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-abv 20754  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-xms 24276  df-ms 24277  df-nm 24538  df-ngp 24539  df-nrg 24541  df-nlm 24542  df-nvc 24543  df-clm 25031  df-cvs 25092

This theorem is referenced by:  isncvsngpd  25118  ncvsi  25119