MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isncvsngp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isncvsngp 23680
Description: A normed subcomplex vector space is a subcomplex vector space which is a normed group with a positively homogeneous norm. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isncvsngp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
isncvsngp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
isncvsngp.s · = ( ·𝑠𝑊)
isncvsngp.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
isncvsngp.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
isncvsngp (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   · ,𝑘,𝑥

Proof of Theorem isncvsngp
StepHypRef Expression
1 isnvc 23231 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
21biancomi 463 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod))
32a1i 11 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
4 id 22 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
54cvslvec 23656 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ LVec)
65biantrurd 533 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
74cvsclm 23657 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
8 isncvsngp.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 isncvsngp.n . . . . . . 7 𝑁 = (norm‘𝑊)
10 isncvsngp.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
11 isncvsngp.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12 isncvsngp.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
13 eqid 2818 . . . . . . 7 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
148, 9, 10, 11, 12, 13isnlm 23211 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
15 3anass 1087 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing)))
1615biancomi 463 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp))
1716anbi1i 623 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
18 anass 469 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
1917, 18bitri 276 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))))))
21 clmlmod 23598 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
2211, 12clmsca 23596 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
23 cnnrg 23316 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ NrmRing
2411, 12clmsubrg 23597 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
25 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
2625subrgnrg 23209 . . . . . . . . . . 11 ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ℂflds 𝐾) ∈ NrmRing)
2723, 24, 26sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂMod → (ℂflds 𝐾) ∈ NrmRing)
2822, 27eqeltrd 2910 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ NrmRing)
2921, 28jca 512 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
3029biantrurd 533 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))))))
31 ralcom 3351 . . . . . . . . 9 (∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) ↔ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)))
3222fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = (norm‘(ℂflds 𝐾)))
33 subrgsubg 19470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
34 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
35 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (norm‘(ℂflds 𝐾)) = (norm‘(ℂflds 𝐾))
3625, 34, 35subgnm 23169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (norm‘(ℂflds 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
3724, 33, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘(ℂflds 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
3832, 37eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
4039fveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘))
41 cnfldnm 23314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs = (norm‘ℂfld)
4241eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (norm‘ℂfld) = abs
4342reseq1i 5842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾) = (abs ↾ 𝐾)
4443fveq1i 6664 . . . . . . . . . . . . . 14 (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘)
45 fvres 6682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐾 → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
4645ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
4744, 46syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
4840, 47eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
4948oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))
5049eqeq2d 2829 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → ((𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) ↔ (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
51502ralbidva 3195 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) ↔ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
5231, 51syl5bb 284 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) ↔ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
5352anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
5420, 30, 533bitr2d 308 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
5514, 54syl5bb 284 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
567, 55syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
573, 6, 563bitr2d 308 . . 3 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
5857pm5.32i 575 . 2 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
59 elin 4166 . . 3 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
6059biancomi 463 . 2 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec))
61 3anass 1087 . 2 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
6258, 60, 613bitr4i 304 1 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  cin 3932  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7145   · cmul 10530  abscabs 14581  Basecbs 16471  s cress 16472  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  SubGrpcsubg 18211  SubRingcsubrg 19460  LModclmod 19563  LVecclvec 19803  fldccnfld 20473  normcnm 23113  NrmGrpcngp 23114  NrmRingcnrg 23116  NrmModcnlm 23117  NrmVeccnvc 23118  ℂModcclm 23593  ℂVecccvs 23654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-topgen 16705  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ring 19228  df-cring 19229  df-subrg 19462  df-abv 19517  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-xms 22857  df-ms 22858  df-nm 23119  df-ngp 23120  df-nrg 23122  df-nlm 23123  df-nvc 23124  df-clm 23594  df-cvs 23655
This theorem is referenced by:  isncvsngpd  23681  ncvsi  23682
  Copyright terms: Public domain W3C validator