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Theorem isncvsngp 24529
Description: A normed subcomplex vector space is a subcomplex vector space which is a normed group with a positively homogeneous norm. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isncvsngp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
isncvsngp.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
isncvsngp.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
isncvsngp.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
isncvsngp.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
isncvsngp (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘˜,𝑁,π‘₯   π‘˜,𝑉,π‘₯   π‘˜,π‘Š,π‘₯   Β· ,π‘˜,π‘₯

Proof of Theorem isncvsngp
StepHypRef Expression
1 isnvc 24075 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmVec ↔ (π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘Š ∈ LVec))
21biancomi 464 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmVec ↔ (π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Š ∈ NrmMod))
32a1i 11 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ NrmVec ↔ (π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Š ∈ NrmMod)))
4 id 22 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
54cvslvec 24504 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ LVec)
65biantrurd 534 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ NrmMod ↔ (π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Š ∈ NrmMod)))
74cvsclm 24505 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
8 isncvsngp.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 isncvsngp.n . . . . . . 7 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
10 isncvsngp.s . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
11 isncvsngp.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
12 isncvsngp.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
13 eqid 2737 . . . . . . 7 (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜πΉ)
148, 9, 10, 11, 12, 13isnlm 24055 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmMod ↔ ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
15 3anass 1096 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing)))
1615biancomi 464 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ π‘Š ∈ NrmGrp))
1716anbi1i 625 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ π‘Š ∈ NrmGrp) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
18 anass 470 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ π‘Š ∈ NrmGrp) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
1917, 18bitri 275 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))))
21 clmlmod 24446 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ LMod)
2211, 12clmsca 24444 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
23 cnnrg 24160 . . . . . . . . . . 11 β„‚fld ∈ NrmRing
2411, 12clmsubrg 24445 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
2625subrgnrg 24053 . . . . . . . . . . 11 ((β„‚fld ∈ NrmRing ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ NrmRing)
2723, 24, 26sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ NrmRing)
2822, 27eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 ∈ NrmRing)
2921, 28jca 513 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
3029biantrurd 534 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))))
31 ralcom 3275 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))
3222fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
33 subrgsubg 20244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
34 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (normβ€˜β„‚fld) = (normβ€˜β„‚fld)
35 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
3625, 34, 35subgnm 24005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾))
3724, 33, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾))
3832, 37eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (normβ€˜πΉ) = ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾))
3938adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ (normβ€˜πΉ) = ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾))
4039fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) = (((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜))
41 cnfldnm 24158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs = (normβ€˜β„‚fld)
4241eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (normβ€˜β„‚fld) = abs
4342reseq1i 5938 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾) = (abs β†Ύ 𝐾)
4443fveq1i 6848 . . . . . . . . . . . . . 14 (((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜) = ((abs β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜)
45 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ ((abs β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜) = (absβ€˜π‘˜))
4645ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ ((abs β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜) = (absβ€˜π‘˜))
4744, 46eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ (((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜) = (absβ€˜π‘˜))
4840, 47eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) = (absβ€˜π‘˜))
4948oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))
5049eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) ↔ (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
51502ralbidva 3211 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
5231, 51bitrid 283 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
5352anbi2d 630 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
5420, 30, 533bitr2d 307 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
5514, 54bitrid 283 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (π‘Š ∈ NrmMod ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
567, 55syl 17 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ NrmMod ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
573, 6, 563bitr2d 307 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ NrmVec ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
5857pm5.32i 576 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmVec) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
59 elin 3931 . . 3 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec))
6059biancomi 464 . 2 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmVec))
61 3anass 1096 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
6258, 60, 613bitr4i 303 1 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   ∩ cin 3914   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   Β· cmul 11063  abscabs 15126  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  SubGrpcsubg 18929  SubRingcsubrg 20234  LModclmod 20338  LVecclvec 20579  β„‚fldccnfld 20812  normcnm 23948  NrmGrpcngp 23949  NrmRingcnrg 23951  NrmModcnlm 23952  NrmVeccnvc 23953  β„‚Modcclm 24441  β„‚Vecccvs 24502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ico 13277  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-topgen 17332  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cmn 19571  df-mgp 19904  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-abv 20292  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-xms 23689  df-ms 23690  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-nvc 23959  df-clm 24442  df-cvs 24503
This theorem is referenced by:  isncvsngpd  24530  ncvsi  24531
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