Theorem isncvsngp 25082

Description: A normed subcomplex vector space is a subcomplex vector space which is a normed group with a positively homogeneous norm. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isncvsngp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
isncvsngp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
isncvsngp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
isncvsngp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
isncvsngp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
isncvsngp	⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   · ,𝑘,𝑥

Proof of Theorem isncvsngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnvc 24616	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
2	1	biancomi 462	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
5	4	cvslvec 25058	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
7	4	cvsclm 25059	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
8		isncvsngp.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		isncvsngp.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
10		isncvsngp.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		isncvsngp.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		isncvsngp.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	isnlm 24596	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
15		3anass 1094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing)))
16	15	biancomi 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp))
17	16	anbi1i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
18		anass 468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
19	17, 18	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))))
21		clmlmod 25000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
22	11, 12	clmsca 24998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
23		cnnrg 24701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
24	11, 12	clmsubrg 24999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
25		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
26	25	subrgnrg 24594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ NrmRing)
27	23, 24, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ NrmRing)
28	22, 27	eqeltrd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ NrmRing)
29	21, 28	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
30	29	biantrurd 532	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))))
31		ralcom 3260	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))
32	22	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
33		subrgsubg 20498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
34		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
35		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾))
36	25, 34, 35	subgnm 24554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
37	24, 33, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
38	32, 37	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
40	39	fveq1d 6830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘))
41		cnfldnm 24699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
42	41	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (norm‘ℂfld) = abs
43	42	reseq1i 5929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾) = (abs ↾ 𝐾)
44	43	fveq1i 6829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘)
45		fvres 6847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
46	45	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
47	44, 46	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
48	40, 47	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
49	48	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))
50	49	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
51	50	2ralbidva 3194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
52	31, 51	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
53	52	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
54	20, 30, 53	3bitr2d 307	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
55	14, 54	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
56	7, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
57	3, 6, 56	3bitr2d 307	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
58	57	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
59		elin 3913	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
60	59	biancomi 462	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec))
61		3anass 1094	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
62	58, 60, 61	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∩ cin 3896   ↾ cres 5621  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   · cmul 11017  abscabs 15147  Basecbs 17126   ↾_s cress 17147  Scalarcsca 17170   ·_𝑠 cvsca 17171  SubGrpcsubg 19039  SubRingcsubrg 20490  LModclmod 20799  LVecclvec 21042  ℂ_fldccnfld 21297  normcnm 24497  NrmGrpcngp 24498  NrmRingcnrg 24500  NrmModcnlm 24501  NrmVeccnvc 24502  ℂModcclm 24995  ℂVecccvs 25056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091  ax-mulf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ico 13257  df-fz 13414  df-seq 13915  df-exp 13975  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-rest 17332  df-topn 17333  df-0g 17351  df-topgen 17353  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19042  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-abv 20730  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-xms 24241  df-ms 24242  df-nm 24503  df-ngp 24504  df-nrg 24506  df-nlm 24507  df-nvc 24508  df-clm 24996  df-cvs 25057

This theorem is referenced by:  isncvsngpd  25083  ncvsi  25084