MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isncvsngp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isncvsngp 24666
Description: A normed subcomplex vector space is a subcomplex vector space which is a normed group with a positively homogeneous norm. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isncvsngp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
isncvsngp.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
isncvsngp.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
isncvsngp.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
isncvsngp.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
isncvsngp (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘˜,𝑁,π‘₯   π‘˜,𝑉,π‘₯   π‘˜,π‘Š,π‘₯   Β· ,π‘˜,π‘₯

Proof of Theorem isncvsngp
StepHypRef Expression
1 isnvc 24212 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmVec ↔ (π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘Š ∈ LVec))
21biancomi 464 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmVec ↔ (π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Š ∈ NrmMod))
32a1i 11 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ NrmVec ↔ (π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Š ∈ NrmMod)))
4 id 22 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
54cvslvec 24641 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ LVec)
65biantrurd 534 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ NrmMod ↔ (π‘Š ∈ LVec ∧ π‘Š ∈ NrmMod)))
74cvsclm 24642 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
8 isncvsngp.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 isncvsngp.n . . . . . . 7 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
10 isncvsngp.s . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
11 isncvsngp.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
12 isncvsngp.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
13 eqid 2733 . . . . . . 7 (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜πΉ)
148, 9, 10, 11, 12, 13isnlm 24192 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmMod ↔ ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
15 3anass 1096 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing)))
1615biancomi 464 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ π‘Š ∈ NrmGrp))
1716anbi1i 625 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ π‘Š ∈ NrmGrp) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
18 anass 470 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ π‘Š ∈ NrmGrp) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
1917, 18bitri 275 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))))
21 clmlmod 24583 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ LMod)
2211, 12clmsca 24581 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
23 cnnrg 24297 . . . . . . . . . . 11 β„‚fld ∈ NrmRing
2411, 12clmsubrg 24582 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
2625subrgnrg 24190 . . . . . . . . . . 11 ((β„‚fld ∈ NrmRing ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ NrmRing)
2723, 24, 26sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ NrmRing)
2822, 27eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 ∈ NrmRing)
2921, 28jca 513 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
3029biantrurd 534 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))))
31 ralcom 3287 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))
3222fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
33 subrgsubg 20325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
34 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (normβ€˜β„‚fld) = (normβ€˜β„‚fld)
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
3625, 34, 35subgnm 24142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾))
3724, 33, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾))
3832, 37eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (normβ€˜πΉ) = ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾))
3938adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ (normβ€˜πΉ) = ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾))
4039fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) = (((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜))
41 cnfldnm 24295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs = (normβ€˜β„‚fld)
4241eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (normβ€˜β„‚fld) = abs
4342reseq1i 5978 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾) = (abs β†Ύ 𝐾)
4443fveq1i 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜) = ((abs β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜)
45 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ ((abs β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜) = (absβ€˜π‘˜))
4645ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ ((abs β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜) = (absβ€˜π‘˜))
4744, 46eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ (((normβ€˜β„‚fld) β†Ύ 𝐾)β€˜π‘˜) = (absβ€˜π‘˜))
4840, 47eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) = (absβ€˜π‘˜))
4948oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))
5049eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) ↔ (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
51502ralbidva 3217 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
5231, 51bitrid 283 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
5352anbi2d 630 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
5420, 30, 533bitr2d 307 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
5514, 54bitrid 283 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (π‘Š ∈ NrmMod ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
567, 55syl 17 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ NrmMod ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
573, 6, 563bitr2d 307 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ NrmVec ↔ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
5857pm5.32i 576 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmVec) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
59 elin 3965 . . 3 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ β„‚Vec))
6059biancomi 464 . 2 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmVec))
61 3anass 1096 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯)))))
6258, 60, 613bitr4i 303 1 (π‘Š ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ π‘Š ∈ NrmGrp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 (π‘β€˜(π‘˜ Β· π‘₯)) = ((absβ€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   ∩ cin 3948   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   Β· cmul 11115  abscabs 15181  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  SubGrpcsubg 19000  SubRingcsubrg 20315  LModclmod 20471  LVecclvec 20713  β„‚fldccnfld 20944  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086  NrmRingcnrg 24088  NrmModcnlm 24089  NrmVeccnvc 24090  β„‚Modcclm 24578  β„‚Vecccvs 24639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-abv 20425  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-nvc 24096  df-clm 24579  df-cvs 24640
This theorem is referenced by:  isncvsngpd  24667  ncvsi  24668
  Copyright terms: Public domain W3C validator