Theorem isncvsngp 25101

Description: A normed subcomplex vector space is a subcomplex vector space which is a normed group with a positively homogeneous norm. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isncvsngp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
isncvsngp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
isncvsngp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
isncvsngp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
isncvsngp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
isncvsngp	⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   · ,𝑘,𝑥

Proof of Theorem isncvsngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnvc 24634	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
2	1	biancomi 462	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
5	4	cvslvec 25076	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
7	4	cvsclm 25077	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
8		isncvsngp.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		isncvsngp.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
10		isncvsngp.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		isncvsngp.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		isncvsngp.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	isnlm 24614	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
15		3anass 1094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing)))
16	15	biancomi 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp))
17	16	anbi1i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
18		anass 468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
19	17, 18	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))))
21		clmlmod 25018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
22	11, 12	clmsca 25016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
23		cnnrg 24719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
24	11, 12	clmsubrg 25017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
25		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
26	25	subrgnrg 24612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ NrmRing)
27	23, 24, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ NrmRing)
28	22, 27	eqeltrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ NrmRing)
29	21, 28	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
30	29	biantrurd 532	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))))
31		ralcom 3270	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))
32	22	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
33		subrgsubg 20537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
34		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
35		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾))
36	25, 34, 35	subgnm 24572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
37	24, 33, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
38	32, 37	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
40	39	fveq1d 6878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘))
41		cnfldnm 24717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
42	41	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (norm‘ℂfld) = abs
43	42	reseq1i 5962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾) = (abs ↾ 𝐾)
44	43	fveq1i 6877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘)
45		fvres 6895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
46	45	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
47	44, 46	eqtrid 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
48	40, 47	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
49	48	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))
50	49	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
51	50	2ralbidva 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
52	31, 51	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
53	52	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
54	20, 30, 53	3bitr2d 307	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
55	14, 54	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
56	7, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
57	3, 6, 56	3bitr2d 307	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
58	57	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
59		elin 3942	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
60	59	biancomi 462	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec))
61		3anass 1094	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
62	58, 60, 61	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ∩ cin 3925   ↾ cres 5656  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   · cmul 11134  abscabs 15253  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  SubGrpcsubg 19103  SubRingcsubrg 20529  LModclmod 20817  LVecclvec 21060  ℂ_fldccnfld 21315  normcnm 24515  NrmGrpcngp 24516  NrmRingcnrg 24518  NrmModcnlm 24519  NrmVeccnvc 24520  ℂModcclm 25013  ℂVecccvs 25074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ico 13368  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-topgen 17457  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-abv 20769  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-xms 24259  df-ms 24260  df-nm 24521  df-ngp 24522  df-nrg 24524  df-nlm 24525  df-nvc 24526  df-clm 25014  df-cvs 25075

This theorem is referenced by:  isncvsngpd  25102  ncvsi  25103