Theorem isncvsngp 25525

Description: A normed subcomplex vector space is a subcomplex vector space which is a normed group with a positively homogeneous norm. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isncvsngp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
isncvsngp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
isncvsngp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
isncvsngp.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
isncvsngp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
isncvsngp	⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   · ,𝑘,𝑥

Proof of Theorem isncvsngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnvc 25069	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
2	1	biancomi 468	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
4		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
5	4	cvslvec 25501	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
7	4	cvsclm 25502	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
8		isncvsngp.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		isncvsngp.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
10		isncvsngp.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		isncvsngp.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		isncvsngp.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	isnlm 25049	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
15		3anass 1111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing)))
16	15	biancomi 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp))
17	16	anbi1i 636	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
18		anass 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
19	17, 18	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))))
21		clmlmod 25443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
22	11, 12	clmsca 25441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
23		cnnrg 25154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
24	11, 12	clmsubrg 25442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
25		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
26	25	subrgnrg 25047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ NrmRing)
27	23, 24, 26	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ NrmRing)
28	22, 27	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ NrmRing)
29	21, 28	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
30	29	biantrurd 542	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))))
31		ralcom 3294	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))
32	22	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
33		subrgsubg 20880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
34		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
35		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾))
36	25, 34, 35	subgnm 25007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
37	24, 33, 36	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
38	32, 37	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
40	39	fveq1d 6918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘))
41		cnfldnm 25152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
42	41	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (norm‘ℂfld) = abs
43	42	reseq1i 5982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾) = (abs ↾ 𝐾)
44	43	fveq1i 6917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘)
45		fvres 6935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
46	45	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
47	44, 46	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
48	40, 47	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
49	48	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))
50	49	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → ((𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
51	50	2ralbidva 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
52	31, 51	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))
53	52	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
54	20, 30, 53	3bitr2d 310	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
55	14, 54	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
56	7, 55	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
57	3, 6, 56	3bitr2d 310	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
58	57	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
59		elin 4096	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
60	59	biancomi 468	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec))
61		3anass 1111	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥)))))
62	58, 60, 61	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁‘𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ∩ cin 4092   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   · cmul 11244  abscabs 15444  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  SubGrpcsubg 19380  SubRingcsubrg 20872  LModclmod 21186  LVecclvec 21428  ℂ_fldccnfld 21729  normcnm 24950  NrmGrpcngp 24951  NrmRingcnrg 24953  NrmModcnlm 24954  NrmVeccnvc 24955  ℂModcclm 25438  ℂVecccvs 25499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ico 13522  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-topgen 17664  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-abv 21117  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-xms 24694  df-ms 24695  df-nm 24956  df-ngp 24957  df-nrg 24959  df-nlm 24960  df-nvc 24961  df-clm 25439  df-cvs 25500

This theorem is used by:  isncvsngpd  25526  ncvsi  25527