Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isncvsngp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isncvsngp 23754
 Description: A normed subcomplex vector space is a subcomplex vector space which is a normed group with a positively homogeneous norm. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isncvsngp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
isncvsngp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
isncvsngp.s · = ( ·𝑠𝑊)
isncvsngp.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
isncvsngp.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
isncvsngp (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   · ,𝑘,𝑥

Proof of Theorem isncvsngp
StepHypRef Expression
1 isnvc 23301 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
21biancomi 466 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod))
32a1i 11 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
4 id 22 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
54cvslvec 23730 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ LVec)
65biantrurd 536 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑊 ∈ NrmMod)))
74cvsclm 23731 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
8 isncvsngp.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 isncvsngp.n . . . . . . 7 𝑁 = (norm‘𝑊)
10 isncvsngp.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
11 isncvsngp.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12 isncvsngp.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
13 eqid 2798 . . . . . . 7 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
148, 9, 10, 11, 12, 13isnlm 23281 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
15 3anass 1092 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing)))
1615biancomi 466 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp))
1716anbi1i 626 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
18 anass 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
1917, 18bitri 278 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))))))
21 clmlmod 23672 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
2211, 12clmsca 23670 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
23 cnnrg 23386 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ NrmRing
2411, 12clmsubrg 23671 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
25 eqid 2798 . . . . . . . . . . . 12 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
2625subrgnrg 23279 . . . . . . . . . . 11 ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ℂflds 𝐾) ∈ NrmRing)
2723, 24, 26sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂMod → (ℂflds 𝐾) ∈ NrmRing)
2822, 27eqeltrd 2890 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ NrmRing)
2921, 28jca 515 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
3029biantrurd 536 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))))))
31 ralcom 3307 . . . . . . . . 9 (∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) ↔ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)))
3222fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = (norm‘(ℂflds 𝐾)))
33 subrgsubg 19534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
34 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
35 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (norm‘(ℂflds 𝐾)) = (norm‘(ℂflds 𝐾))
3625, 34, 35subgnm 23239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (norm‘(ℂflds 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
3724, 33, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘(ℂflds 𝐾)) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
3832, 37eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
3938adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → (norm‘𝐹) = ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾))
4039fveq1d 6647 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘))
41 cnfldnm 23384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs = (norm‘ℂfld)
4241eqcomi 2807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (norm‘ℂfld) = abs
4342reseq1i 5814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾) = (abs ↾ 𝐾)
4443fveq1i 6646 . . . . . . . . . . . . . 14 (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘)
45 fvres 6664 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐾 → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
4645ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → ((abs ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
4744, 46syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → (((norm‘ℂfld) ↾ 𝐾)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
4840, 47eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → ((norm‘𝐹)‘𝑘) = (abs‘𝑘))
4948oveq1d 7150 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))
5049eqeq2d 2809 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → ((𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) ↔ (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
51502ralbidva 3163 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) ↔ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
5231, 51syl5bb 286 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → (∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥)) ↔ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
5352anbi2d 631 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
5420, 30, 533bitr2d 310 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑘𝐾𝑥𝑉 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = (((norm‘𝐹)‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
5514, 54syl5bb 286 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
567, 55syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmMod ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
573, 6, 563bitr2d 310 . . 3 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
5857pm5.32i 578 . 2 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
59 elin 3897 . . 3 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
6059biancomi 466 . 2 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmVec))
61 3anass 1092 . 2 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
6258, 60, 613bitr4i 306 1 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ∩ cin 3880   ↾ cres 5521  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   · cmul 10531  abscabs 14585  Basecbs 16475   ↾s cress 16476  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  SubGrpcsubg 18265  SubRingcsubrg 19524  LModclmod 19627  LVecclvec 19867  ℂfldccnfld 20091  normcnm 23183  NrmGrpcngp 23184  NrmRingcnrg 23186  NrmModcnlm 23187  NrmVeccnvc 23188  ℂModcclm 23667  ℂVecccvs 23728 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-topgen 16709  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ring 19292  df-cring 19293  df-subrg 19526  df-abv 19581  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-xms 22927  df-ms 22928  df-nm 23189  df-ngp 23190  df-nrg 23192  df-nlm 23193  df-nvc 23194  df-clm 23668  df-cvs 23729 This theorem is referenced by:  isncvsngpd  23755  ncvsi  23756
 Copyright terms: Public domain W3C validator