Theorem clmsubdir 25290

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (lmodsubdir 21070 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmsubdir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmsubdir.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmsubdir.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmsubdir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
clmsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmsubdir.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
clmsubdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
clmsubdir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
clmsubdir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
clmsubdir	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Proof of Theorem clmsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmsubdir.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
2		clmsubdir.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
3		clmsubdir.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
4		clmsubdir.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		clmsubdir.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6	4, 5	clmsub 25268	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘𝐹)𝐵))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘𝐹)𝐵))
8	7	oveq1d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋))
9		clmsubdir.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		clmsubdir.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		clmsubdir.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
12		eqid 2765	. . 3 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
13		clmlmod 25255	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
14	1, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
15		clmsubdir.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
16	9, 10, 4, 5, 11, 12, 14, 2, 3, 15	lmodsubdir 21070	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
17	8, 16	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   − cmin 11452  Basecbs 17286  Scalarcsca 17330   ·_𝑠 cvsca 17331  -_gcsg 19025  LModclmod 21010  ℂModcclm 25250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-subg 19212  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-cring 20341  df-subrg 20698  df-lmod 21012  df-cnfld 21552  df-clm 25251

This theorem is used by:  clmpm1dir  25291