Theorem clmsubdir 25087

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (lmodsubdir 20910 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmsubdir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmsubdir.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmsubdir.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmsubdir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
clmsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmsubdir.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
clmsubdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
clmsubdir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
clmsubdir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
clmsubdir	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Proof of Theorem clmsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmsubdir.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
2		clmsubdir.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
3		clmsubdir.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
4		clmsubdir.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		clmsubdir.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6	4, 5	clmsub 25065	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘𝐹)𝐵))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘𝐹)𝐵))
8	7	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋))
9		clmsubdir.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		clmsubdir.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		clmsubdir.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
12		eqid 2739	. . 3 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
13		clmlmod 25052	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
14	1, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
15		clmsubdir.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
16	9, 10, 4, 5, 11, 12, 14, 2, 3, 15	lmodsubdir 20910	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
17	8, 16	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   − cmin 11368  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  -_gcsg 18902  LModclmod 20850  ℂModcclm 25047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-cnfld 21348  df-clm 25048

This theorem is referenced by:  clmpm1dir  25088