MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmsubdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmsubdir 23710
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (lmodsubdir 19692 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmsubdir.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmsubdir.t · = ( ·𝑠𝑊)
clmsubdir.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmsubdir.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
clmsubdir.m = (-g𝑊)
clmsubdir.w (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
clmsubdir.a (𝜑𝐴𝐾)
clmsubdir.b (𝜑𝐵𝐾)
clmsubdir.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
clmsubdir (𝜑 → ((𝐴𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)))

Proof of Theorem clmsubdir
StepHypRef Expression
1 clmsubdir.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
2 clmsubdir.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
3 clmsubdir.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐾)
4 clmsubdir.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 clmsubdir.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
64, 5clmsub 23688 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝐾) → (𝐴𝐵) = (𝐴(-g𝐹)𝐵))
71, 2, 3, 6syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = (𝐴(-g𝐹)𝐵))
87oveq1d 7164 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) · 𝑋) = ((𝐴(-g𝐹)𝐵) · 𝑋))
9 clmsubdir.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 clmsubdir.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
11 clmsubdir.m . . 3 = (-g𝑊)
12 eqid 2824 . . 3 (-g𝐹) = (-g𝐹)
13 clmlmod 23675 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
141, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
15 clmsubdir.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
169, 10, 4, 5, 11, 12, 14, 2, 3, 15lmodsubdir 19692 . 2 (𝜑 → ((𝐴(-g𝐹)𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)))
178, 16eqtrd 2859 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  (class class class)co 7149  cmin 10868  Basecbs 16483  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  -gcsg 18105  LModclmod 19634  ℂModcclm 23670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cmn 18908  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-cnfld 20546  df-clm 23671
This theorem is referenced by:  clmpm1dir  23711
  Copyright terms: Public domain W3C validator