Theorem clmsubdir 24246

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (lmodsubdir 20162 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmsubdir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmsubdir.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmsubdir.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmsubdir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
clmsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmsubdir.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
clmsubdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
clmsubdir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
clmsubdir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
clmsubdir	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Proof of Theorem clmsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmsubdir.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
2		clmsubdir.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
3		clmsubdir.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
4		clmsubdir.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		clmsubdir.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6	4, 5	clmsub 24224	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘𝐹)𝐵))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘𝐹)𝐵))
8	7	oveq1d 7283	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋))
9		clmsubdir.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		clmsubdir.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		clmsubdir.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
12		eqid 2739	. . 3 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
13		clmlmod 24211	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
14	1, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
15		clmsubdir.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
16	9, 10, 4, 5, 11, 12, 14, 2, 3, 15	lmodsubdir 20162	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
17	8, 16	eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268   − cmin 11188  Basecbs 16893  Scalarcsca 16946   ·_𝑠 cvsca 16947  -_gcsg 18560  LModclmod 20104  ℂModcclm 24206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-addf 10934  ax-mulf 10935

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-subg 18733  df-cmn 19369  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-cring 19767  df-subrg 20003  df-lmod 20106  df-cnfld 20579  df-clm 24207

This theorem is referenced by:  clmpm1dir  24247