Theorem clmsubdir 25226

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (lmodsubdir 21015 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmsubdir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmsubdir.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmsubdir.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmsubdir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
clmsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmsubdir.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
clmsubdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
clmsubdir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
clmsubdir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
clmsubdir	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Proof of Theorem clmsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmsubdir.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
2		clmsubdir.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
3		clmsubdir.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
4		clmsubdir.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		clmsubdir.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6	4, 5	clmsub 25204	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘𝐹)𝐵))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘𝐹)𝐵))
8	7	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋))
9		clmsubdir.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		clmsubdir.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		clmsubdir.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
12		eqid 2769	. . 3 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
13		clmlmod 25191	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
14	1, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
15		clmsubdir.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
16	9, 10, 4, 5, 11, 12, 14, 2, 3, 15	lmodsubdir 21015	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
17	8, 16	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   − cmin 11437  Basecbs 17265  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  -_gcsg 18998  LModclmod 20955  ℂModcclm 25186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-subrg 20651  df-lmod 20957  df-cnfld 21488  df-clm 25187

This theorem is referenced by:  clmpm1dir  25227