Theorem clmvsneg 23704

Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (lmodvsneg 19678 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvsneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
clmvsneg.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvsneg.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmvsneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
clmvsneg.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
clmvsneg.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
clmvsneg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
clmvsneg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clmvsneg	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (-𝑅 · 𝑋))

Proof of Theorem clmvsneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmvsneg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		clmvsneg.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		clmvsneg.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		clmvsneg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
5		clmvsneg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		eqid 2821	. . 3 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
7		clmvsneg.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
8		clmlmod 23671	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		clmvsneg.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		clmvsneg.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11	lmodvsneg 19678	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (((invg‘𝐹)‘𝑅) · 𝑋))
13	2, 5	clmneg 23685	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → -𝑅 = ((invg‘𝐹)‘𝑅))
14	7, 11, 13	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑅 = ((invg‘𝐹)‘𝑅))
15	14	oveq1d 7171	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝑅 · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘𝑅) · 𝑋))
16	12, 15	eqtr4d 2859	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (-𝑅 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  -cneg 10871  Basecbs 16483  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  inv_gcminusg 18104  LModclmod 19634  ℂModcclm 23666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-subg 18276  df-cmn 18908  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-cnfld 20546  df-clm 23667

This theorem is referenced by:  clmmulg  23705  cphipval  23846