Theorem clmvsneg 24251

Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (lmodvsneg 20155 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvsneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
clmvsneg.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvsneg.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmvsneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
clmvsneg.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
clmvsneg.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
clmvsneg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
clmvsneg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clmvsneg	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (-𝑅 · 𝑋))

Proof of Theorem clmvsneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmvsneg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		clmvsneg.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		clmvsneg.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		clmvsneg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
5		clmvsneg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
7		clmvsneg.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
8		clmlmod 24218	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		clmvsneg.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		clmvsneg.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11	lmodvsneg 20155	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (((invg‘𝐹)‘𝑅) · 𝑋))
13	2, 5	clmneg 24232	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → -𝑅 = ((invg‘𝐹)‘𝑅))
14	7, 11, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑅 = ((invg‘𝐹)‘𝑅))
15	14	oveq1d 7283	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝑅 · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘𝑅) · 𝑋))
16	12, 15	eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (-𝑅 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  -cneg 11194  Basecbs 16900  Scalarcsca 16953   ·_𝑠 cvsca 16954  inv_gcminusg 18566  LModclmod 20111  ℂModcclm 24213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-addf 10938  ax-mulf 10939

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-fz 13228  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-starv 16965  df-tset 16969  df-ple 16970  df-ds 16972  df-unif 16973  df-0g 17140  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-grp 18568  df-minusg 18569  df-subg 18740  df-cmn 19376  df-mgp 19709  df-ur 19726  df-ring 19773  df-cring 19774  df-subrg 20010  df-lmod 20113  df-cnfld 20586  df-clm 24214

This theorem is referenced by:  clmmulg  24252  cphipval  24395