Theorem clmvsneg 25310

Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (lmodvsneg 21077 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvsneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
clmvsneg.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvsneg.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmvsneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
clmvsneg.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
clmvsneg.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
clmvsneg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
clmvsneg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clmvsneg	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (-𝑅 · 𝑋))

Proof of Theorem clmvsneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmvsneg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		clmvsneg.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		clmvsneg.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		clmvsneg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
5		clmvsneg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		eqid 2765	. . 3 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
7		clmvsneg.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
8		clmlmod 25277	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10		clmvsneg.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		clmvsneg.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11	lmodvsneg 21077	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (((invg‘𝐹)‘𝑅) · 𝑋))
13	2, 5	clmneg 25291	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → -𝑅 = ((invg‘𝐹)‘𝑅))
14	7, 11, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑅 = ((invg‘𝐹)‘𝑅))
15	14	oveq1d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝑅 · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘𝑅) · 𝑋))
16	12, 15	eqtr4d 2803	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (-𝑅 · 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  -cneg 11457  Basecbs 17291  Scalarcsca 17335   ·_𝑠 cvsca 17336  inv_gcminusg 19045  LModclmod 21031  ℂModcclm 25272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-subg 19233  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-subrg 20719  df-lmod 21033  df-cnfld 21573  df-clm 25273

This theorem is used by:  clmmulg  25311  cphipval  25453