Theorem clmvsubval 24178

Description: Value of vector subtraction in terms of addition in a subcomplex module. Analogue of lmodvsubval2 20093. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvsubval.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
clmvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmvsubval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvsubval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvsubval	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))

Proof of Theorem clmvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmlmod 24136	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
2		clmvsubval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		clmvsubval.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		clmvsubval.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5		clmvsubval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		clmvsubval.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodvsubval2 20093	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵)))
10	1, 9	syl3an1 1161	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵)))
11	5	clm1 24142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘𝐹))
12	11	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (1r‘𝐹) = 1)
13	12	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = ((invg‘𝐹)‘1))
14	5	clmring 24139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Ring)
15		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
16	15, 8	ringidcl 19722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
18	11, 17	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
19	5, 15	clmneg 24150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
20	18, 19	mpdan 683	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
21	13, 20	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = -1)
22	21	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = -1)
23	22	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵) = (-1 · 𝐵))
24	23	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
25	10, 24	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803  -cneg 11136  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  inv_gcminusg 18493  -_gcsg 18494  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  LModclmod 20038  ℂModcclm 24131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-cnfld 20511  df-clm 24132

This theorem is referenced by:  clmvsubval2  24179  ncvsdif  24224  ncvspds  24230  cphipval  24312