Theorem clmvsubval 25039

Description: Value of vector subtraction in terms of addition in a subcomplex module. Analogue of lmodvsubval2 20854. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvsubval.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
clmvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmvsubval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvsubval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvsubval	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))

Proof of Theorem clmvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmlmod 24997	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
2		clmvsubval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		clmvsubval.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		clmvsubval.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5		clmvsubval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		clmvsubval.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
8		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodvsubval2 20854	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵)))
10	1, 9	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵)))
11	5	clm1 25003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘𝐹))
12	11	eqcomd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (1r‘𝐹) = 1)
13	12	fveq2d 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = ((invg‘𝐹)‘1))
14	5	clmring 25000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Ring)
15		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
16	15, 8	ringidcl 20187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
18	11, 17	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
19	5, 15	clmneg 25011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
20	18, 19	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
21	13, 20	eqtr4d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = -1)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = -1)
23	22	oveq1d 7369	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵) = (-1 · 𝐵))
24	23	oveq2d 7370	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
25	10, 24	eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  1c1 11016  -cneg 11354  Basecbs 17124  +_gcplusg 17165  Scalarcsca 17168   ·_𝑠 cvsca 17169  inv_gcminusg 18851  -_gcsg 18852  1_rcur 20103  Ringcrg 20155  LModclmod 20797  ℂModcclm 24992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-addf 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-starv 17180  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-unif 17188  df-0g 17349  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19040  df-cmn 19698  df-mgp 20063  df-ur 20104  df-ring 20157  df-cring 20158  df-subrg 20489  df-lmod 20799  df-cnfld 21296  df-clm 24993

This theorem is referenced by:  clmvsubval2  25040  ncvsdif  25085  ncvspds  25091  cphipval  25173