MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmvsubval 25156
Description: Value of vector subtraction in terms of addition in a subcomplex module. Analogue of lmodvsubval2 20932. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvsubval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvsubval.p + = (+g𝑊)
clmvsubval.m = (-g𝑊)
clmvsubval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvsubval.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
clmvsubval ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))

Proof of Theorem clmvsubval
StepHypRef Expression
1 clmlmod 25114 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
2 clmvsubval.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 clmvsubval.p . . . 4 + = (+g𝑊)
4 clmvsubval.m . . . 4 = (-g𝑊)
5 clmvsubval.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 clmvsubval.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
7 eqid 2735 . . . 4 (invg𝐹) = (invg𝐹)
8 eqid 2735 . . . 4 (1r𝐹) = (1r𝐹)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodvsubval2 20932 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝐵)))
101, 9syl3an1 1162 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝐵)))
115clm1 25120 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r𝐹))
1211eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → (1r𝐹) = 1)
1312fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) = ((invg𝐹)‘1))
145clmring 25117 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Ring)
15 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
1615, 8ringidcl 20280 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
1811, 17eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
195, 15clmneg 25128 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → -1 = ((invg𝐹)‘1))
2018, 19mpdan 687 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg𝐹)‘1))
2113, 20eqtr4d 2778 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) = -1)
22213ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) = -1)
2322oveq1d 7446 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝐵) = (-1 · 𝐵))
2423oveq2d 7447 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
2510, 24eqtrd 2775 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  -cneg 11491  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  invgcminusg 18965  -gcsg 18966  1rcur 20199  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  ℂModcclm 25109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-cnfld 21383  df-clm 25110
This theorem is referenced by:  clmvsubval2  25157  ncvsdif  25203  ncvspds  25209  cphipval  25291
  Copyright terms: Public domain W3C validator