Theorem clmvsubval 25142

Description: Value of vector subtraction in terms of addition in a subcomplex module. Analogue of lmodvsubval2 20915. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvsubval.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
clmvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmvsubval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvsubval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvsubval	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))

Proof of Theorem clmvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmlmod 25100	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
2		clmvsubval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		clmvsubval.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		clmvsubval.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5		clmvsubval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		clmvsubval.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodvsubval2 20915	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵)))
10	1, 9	syl3an1 1164	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵)))
11	5	clm1 25106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘𝐹))
12	11	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (1r‘𝐹) = 1)
13	12	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = ((invg‘𝐹)‘1))
14	5	clmring 25103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Ring)
15		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
16	15, 8	ringidcl 20262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
18	11, 17	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
19	5, 15	clmneg 25114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
20	18, 19	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
21	13, 20	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = -1)
22	21	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = -1)
23	22	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵) = (-1 · 𝐵))
24	23	oveq2d 7447	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
25	10, 24	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156  -cneg 11493  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  inv_gcminusg 18952  -_gcsg 18953  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  ℂModcclm 25095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-cnfld 21365  df-clm 25096

This theorem is referenced by:  clmvsubval2  25143  ncvsdif  25189  ncvspds  25195  cphipval  25277