MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmvsubval 24019
Description: Value of vector subtraction in terms of addition in a subcomplex module. Analogue of lmodvsubval2 19967. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvsubval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvsubval.p + = (+g𝑊)
clmvsubval.m = (-g𝑊)
clmvsubval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvsubval.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
clmvsubval ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))

Proof of Theorem clmvsubval
StepHypRef Expression
1 clmlmod 23977 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
2 clmvsubval.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 clmvsubval.p . . . 4 + = (+g𝑊)
4 clmvsubval.m . . . 4 = (-g𝑊)
5 clmvsubval.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 clmvsubval.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
7 eqid 2738 . . . 4 (invg𝐹) = (invg𝐹)
8 eqid 2738 . . . 4 (1r𝐹) = (1r𝐹)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodvsubval2 19967 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝐵)))
101, 9syl3an1 1165 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝐵)))
115clm1 23983 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r𝐹))
1211eqcomd 2744 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → (1r𝐹) = 1)
1312fveq2d 6730 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) = ((invg𝐹)‘1))
145clmring 23980 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Ring)
15 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
1615, 8ringidcl 19599 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
1811, 17eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
195, 15clmneg 23991 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → -1 = ((invg𝐹)‘1))
2018, 19mpdan 687 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg𝐹)‘1))
2113, 20eqtr4d 2781 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) = -1)
22213ad2ant1 1135 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) = -1)
2322oveq1d 7237 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝐵) = (-1 · 𝐵))
2423oveq2d 7238 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
2510, 24eqtrd 2778 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  cfv 6389  (class class class)co 7222  1c1 10743  -cneg 11076  Basecbs 16773  +gcplusg 16815  Scalarcsca 16818   ·𝑠 cvsca 16819  invgcminusg 18379  -gcsg 18380  1rcur 19529  Ringcrg 19575  LModclmod 19912  ℂModcclm 23972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331  ax-un 7532  ax-cnex 10798  ax-resscn 10799  ax-1cn 10800  ax-icn 10801  ax-addcl 10802  ax-addrcl 10803  ax-mulcl 10804  ax-mulrcl 10805  ax-mulcom 10806  ax-addass 10807  ax-mulass 10808  ax-distr 10809  ax-i2m1 10810  ax-1ne0 10811  ax-1rid 10812  ax-rnegex 10813  ax-rrecex 10814  ax-cnre 10815  ax-pre-lttri 10816  ax-pre-lttrn 10817  ax-pre-ltadd 10818  ax-pre-mulgt0 10819  ax-addf 10821  ax-mulf 10822
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3417  df-sbc 3704  df-csb 3821  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-pss 3894  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4829  df-iun 4915  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-tr 5171  df-id 5464  df-eprel 5469  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5518  df-we 5520  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-ima 5573  df-pred 6169  df-ord 6225  df-on 6226  df-lim 6227  df-suc 6228  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396  df-fv 6397  df-riota 7179  df-ov 7225  df-oprab 7226  df-mpo 7227  df-om 7654  df-1st 7770  df-2nd 7771  df-wrecs 8056  df-recs 8117  df-rdg 8155  df-1o 8211  df-er 8400  df-en 8636  df-dom 8637  df-sdom 8638  df-fin 8639  df-pnf 10882  df-mnf 10883  df-xr 10884  df-ltxr 10885  df-le 10886  df-sub 11077  df-neg 11078  df-nn 11844  df-2 11906  df-3 11907  df-4 11908  df-5 11909  df-6 11910  df-7 11911  df-8 11912  df-9 11913  df-n0 12104  df-z 12190  df-dec 12307  df-uz 12452  df-fz 13109  df-struct 16713  df-sets 16730  df-slot 16748  df-ndx 16758  df-base 16774  df-ress 16798  df-plusg 16828  df-mulr 16829  df-starv 16830  df-tset 16834  df-ple 16835  df-ds 16837  df-unif 16838  df-0g 16959  df-mgm 18127  df-sgrp 18176  df-mnd 18187  df-grp 18381  df-minusg 18382  df-sbg 18383  df-subg 18553  df-cmn 19185  df-mgp 19518  df-ur 19530  df-ring 19577  df-cring 19578  df-subrg 19811  df-lmod 19914  df-cnfld 20377  df-clm 23973
This theorem is referenced by:  clmvsubval2  24020  ncvsdif  24065  ncvspds  24071  cphipval  24153
  Copyright terms: Public domain W3C validator