MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvsubval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clmvsubval 24991
Description: Value of vector subtraction in terms of addition in a subcomplex module. Analogue of lmodvsubval2 20763. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvsubval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
clmvsubval.p + = (+gβ€˜π‘Š)
clmvsubval.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
clmvsubval.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
clmvsubval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
clmvsubval ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴 + (-1 Β· 𝐡)))
Proof of Theorem clmvsubval
StepHypRef Expression
1 clmlmod 24949 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 clmvsubval.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 clmvsubval.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 clmvsubval.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
5 clmvsubval.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 clmvsubval.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 eqid 2726 . . . 4 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
8 eqid 2726 . . . 4 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodvsubval2 20763 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴 + (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· 𝐡)))
101, 9syl3an1 1160 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴 + (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· 𝐡)))
115clm1 24955 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 1 = (1rβ€˜πΉ))
1211eqcomd 2732 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (1rβ€˜πΉ) = 1)
1312fveq2d 6889 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜1))
145clmring 24952 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
15 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
1615, 8ringidcl 20165 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
1811, 17eqeltrd 2827 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
195, 15clmneg 24963 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ -1 = ((invgβ€˜πΉ)β€˜1))
2018, 19mpdan 684 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ -1 = ((invgβ€˜πΉ)β€˜1))
2113, 20eqtr4d 2769 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = -1)
22213ad2ant1 1130 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = -1)
2322oveq1d 7420 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· 𝐡) = (-1 Β· 𝐡))
2423oveq2d 7421 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· 𝐡)) = (𝐴 + (-1 Β· 𝐡)))
2510, 24eqtrd 2766 1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴 + (-1 Β· 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113  -cneg 11449  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  invgcminusg 18864  -gcsg 18865  1rcur 20086  Ringcrg 20138  LModclmod 20706  β„‚Modcclm 24944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-cnfld 21241  df-clm 24945
This theorem is referenced by:  clmvsubval2  24992  ncvsdif  25038  ncvspds  25044  cphipval  25126
  Copyright terms: Public domain W3C validator