Theorem clmvsubval 25233

Description: Value of vector subtraction in terms of addition in a subcomplex module. Analogue of lmodvsubval2 21012. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvsubval.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
clmvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
clmvsubval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvsubval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvsubval	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))

Proof of Theorem clmvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmlmod 25191	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
2		clmvsubval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		clmvsubval.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		clmvsubval.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5		clmvsubval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		clmvsubval.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
8		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodvsubval2 21012	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵)))
10	1, 9	syl3an1 1179	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵)))
11	5	clm1 25197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘𝐹))
12	11	eqcomd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (1r‘𝐹) = 1)
13	12	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = ((invg‘𝐹)‘1))
14	5	clmring 25194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Ring)
15		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
16	15, 8	ringidcl 20344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
17	14, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
18	11, 17	eqeltrd 2869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
19	5, 15	clmneg 25205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
20	18, 19	mpdan 699	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
21	13, 20	eqtr4d 2807	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = -1)
22	21	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) = -1)
23	22	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵) = (-1 · 𝐵))
24	23	oveq2d 7424	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
25	10, 24	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  1c1 11097  -cneg 11438  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  inv_gcminusg 18997  -_gcsg 18998  1_rcur 20259  Ringcrg 20311  LModclmod 20955  ℂModcclm 25186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-cmn 19848  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-subrg 20651  df-lmod 20957  df-cnfld 21488  df-clm 25187

This theorem is referenced by:  clmvsubval2  25234  ncvsdif  25279  ncvspds  25285  cphipval  25367