MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvsubval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clmvsubval 25054
Description: Value of vector subtraction in terms of addition in a subcomplex module. Analogue of lmodvsubval2 20804. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvsubval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
clmvsubval.p + = (+gβ€˜π‘Š)
clmvsubval.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
clmvsubval.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
clmvsubval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
clmvsubval ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴 + (-1 Β· 𝐡)))
Proof of Theorem clmvsubval
StepHypRef Expression
1 clmlmod 25012 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 clmvsubval.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 clmvsubval.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 clmvsubval.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
5 clmvsubval.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 clmvsubval.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 eqid 2725 . . . 4 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
8 eqid 2725 . . . 4 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodvsubval2 20804 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴 + (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· 𝐡)))
101, 9syl3an1 1160 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴 + (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· 𝐡)))
115clm1 25018 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 1 = (1rβ€˜πΉ))
1211eqcomd 2731 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (1rβ€˜πΉ) = 1)
1312fveq2d 6896 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜1))
145clmring 25015 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
15 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
1615, 8ringidcl 20206 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
1811, 17eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
195, 15clmneg 25026 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ -1 = ((invgβ€˜πΉ)β€˜1))
2018, 19mpdan 685 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ -1 = ((invgβ€˜πΉ)β€˜1))
2113, 20eqtr4d 2768 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = -1)
22213ad2ant1 1130 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) = -1)
2322oveq1d 7431 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· 𝐡) = (-1 Β· 𝐡))
2423oveq2d 7432 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· 𝐡)) = (𝐴 + (-1 Β· 𝐡)))
2510, 24eqtrd 2765 1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴 + (-1 Β· 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  1c1 11139  -cneg 11475  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  invgcminusg 18895  -gcsg 18896  1rcur 20125  Ringcrg 20177  LModclmod 20747  β„‚Modcclm 25007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-cnfld 21284  df-clm 25008
This theorem is referenced by:  clmvsubval2  25055  ncvsdif  25101  ncvspds  25107  cphipval  25189
  Copyright terms: Public domain W3C validator