Theorem cvsi 25300

Description: The properties of a subcomplex vector space, which is an Abelian group (i.e. the vectors, with the operation of vector addition) accompanied by a scalar multiplication operation on the field of complex numbers. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsi.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
cvsi.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
cvsi.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
cvsi.m	⊢ ∙ = ( ·sf ‘𝑊)
cvsi.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cvsi	⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   + (𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝑆(𝑥, 𝑦)   ∙ (𝑥, 𝑦, 𝑧)   · (𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem cvsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cvs 25294	. . 3 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2	1	elin2 4155	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec ↔ (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
3		lveclmod 21238	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4		lmodabl 21041	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
6	5	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝑊 ∈ Abel)
7		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8		cvsi.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9	7, 8	clmsscn 25249	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑆 ⊆ ℂ)
10		clmlmod 25237	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
11		cvsi.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
12		cvsi.m	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·sf ‘𝑊)
13	11, 7, 8, 12	lmodscaf 21016	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋)
14	10, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋)
15	9, 14	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋))
16	15	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋))
17		cvsi.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	11, 17	clmvs1 25263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
19	10	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
20	19	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22		simpllr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
23		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
24		cvsi.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝑊)
25	11, 24, 7, 17, 8	lmodvsdi 21017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
26	20, 21, 22, 23, 25	syl13anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
27	26	ralrimiva 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
28	7	clmadd 25244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
29	28	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
30	29	oveqdr 7440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧))
31	30	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥))
32	19	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
33		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
34		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
35		simpllr 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑋)
36		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
37	11, 24, 7, 17, 8, 36	lmodvsdir 21018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
38	32, 33, 34, 35, 37	syl13anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
39	31, 38	eqtrd 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
40	7	clmmul 25245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
41	40	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
42	41	oveqdr 7440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧))
43	42	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥))
44		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
45	11, 7, 17, 8, 44	lmodvsass 21019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
46	32, 33, 34, 35, 45	syl13anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
47	43, 46	eqtrd 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
48	39, 47	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))
49	48	ralrimiva 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))
50	27, 49	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))
51	50	ralrimiva 3156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))
52	18, 51	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
53	52	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
54	53	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
55	6, 16, 54	3jca 1145	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))
56	2, 55	sylbi 220	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078   ⊆ wss 3904   × cxp 5658  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  ._rcmulr 17317  Scalarcsca 17319   ·_𝑠 cvsca 17320  Abelcabl 19857  LModclmod 20992   ·_sf cscaf 20993  LVecclvec 21234  ℂModcclm 25232  ℂVecccvs 25293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-subg 19195  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-scaf 20995  df-lvec 21235  df-cnfld 21534  df-clm 25233  df-cvs 25294

This theorem is used by: (None)