MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvsi 24509
Description: The properties of a subcomplex vector space, which is an Abelian group (i.e. the vectors, with the operation of vector addition) accompanied by a scalar multiplication operation on the field of complex numbers. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsi.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
cvsi.a + = (+gβ€˜π‘Š)
cvsi.s 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
cvsi.m βˆ™ = ( Β·sf β€˜π‘Š)
cvsi.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cvsi (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ Abel ∧ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆ™ :(𝑆 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Š,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   + (π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑦)   βˆ™ (π‘₯,𝑦,𝑧)   Β· (π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem cvsi
StepHypRef Expression
1 df-cvs 24503 . . 3 β„‚Vec = (β„‚Mod ∩ LVec)
21elin2 4158 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Vec ↔ (π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘Š ∈ LVec))
3 lveclmod 20582 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lmodabl 20384 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
53, 4syl 17 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ Abel)
65adantl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘Š ∈ LVec) β†’ π‘Š ∈ Abel)
7 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 cvsi.s . . . . . 6 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
97, 8clmsscn 24458 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
10 clmlmod 24446 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ LMod)
11 cvsi.x . . . . . . 7 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
12 cvsi.m . . . . . . 7 βˆ™ = ( Β·sf β€˜π‘Š)
1311, 7, 8, 12lmodscaf 20359 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ βˆ™ :(𝑆 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
1410, 13syl 17 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ™ :(𝑆 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
159, 14jca 513 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆ™ :(𝑆 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹))
1615adantr 482 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘Š ∈ LVec) β†’ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆ™ :(𝑆 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹))
17 cvsi.t . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
1811, 17clmvs1 24472 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
1910adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ LMod)
21 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
22 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
23 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
24 cvsi.a . . . . . . . . . . 11 + = (+gβ€˜π‘Š)
2511, 24, 7, 17, 8lmodvsdi 20360 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
2620, 21, 22, 23, 25syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
2726ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
287clmadd 24453 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ + = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ + = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3029oveqdr 7386 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧))
3130oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧) Β· π‘₯))
3219ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ LMod)
33 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
34 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
35 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
36 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3711, 24, 7, 17, 8, 36lmodvsdir 20361 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)))
3832, 33, 34, 35, 37syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)))
3931, 38eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)))
407clmmul 24454 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ Β· = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Β· = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4241oveqdr 7386 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) = (𝑦(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧))
4342oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧) Β· π‘₯))
44 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
4511, 7, 17, 8, 44lmodvsass 20362 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))
4632, 33, 34, 35, 45syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))
4743, 46eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))
4839, 47jca 513 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯))))
4948ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯))))
5027, 49jca 513 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))))
5150ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))))
5218, 51jca 513 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯))))))
5352ralrimiva 3140 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯))))))
5453adantr 482 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘Š ∈ LVec) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯))))))
556, 16, 543jca 1129 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘Š ∈ LVec) β†’ (π‘Š ∈ Abel ∧ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆ™ :(𝑆 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))))))
562, 55sylbi 216 1 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ Abel ∧ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆ™ :(𝑆 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911   Γ— cxp 5632  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  Abelcabl 19568  LModclmod 20336   Β·sf cscaf 20337  LVecclvec 20578  β„‚Modcclm 24441  β„‚Vecccvs 24502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-subg 18930  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-scaf 20339  df-lvec 20579  df-cnfld 20813  df-clm 24442  df-cvs 24503
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator