Theorem cvsi 24199

Description: The properties of a subcomplex vector space, which is an Abelian group (i.e. the vectors, with the operation of vector addition) accompanied by a scalar multiplication operation on the field of complex numbers. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsi.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
cvsi.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
cvsi.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
cvsi.m	⊢ ∙ = ( ·sf ‘𝑊)
cvsi.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cvsi	⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑦)   ∙ (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem cvsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cvs 24193	. . 3 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2	1	elin2 4127	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec ↔ (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
3		lveclmod 20283	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4		lmodabl 20085	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝑊 ∈ Abel)
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8		cvsi.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9	7, 8	clmsscn 24148	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑆 ⊆ ℂ)
10		clmlmod 24136	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
11		cvsi.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
12		cvsi.m	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·sf ‘𝑊)
13	11, 7, 8, 12	lmodscaf 20060	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋)
14	10, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋)
15	9, 14	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋))
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋))
17		cvsi.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	11, 17	clmvs1 24162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
19	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
20	19	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22		simpllr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
23		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
24		cvsi.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝑊)
25	11, 24, 7, 17, 8	lmodvsdi 20061	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
26	20, 21, 22, 23, 25	syl13anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
27	26	ralrimiva 3107	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
28	7	clmadd 24143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
29	28	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
30	29	oveqdr 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧))
31	30	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥))
32	19	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
33		simplr 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
34		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
35		simpllr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑋)
36		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
37	11, 24, 7, 17, 8, 36	lmodvsdir 20062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
38	32, 33, 34, 35, 37	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
39	31, 38	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
40	7	clmmul 24144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
41	40	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
42	41	oveqdr 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧))
43	42	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥))
44		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
45	11, 7, 17, 8, 44	lmodvsass 20063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
46	32, 33, 34, 35, 45	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
47	43, 46	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
48	39, 47	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))
49	48	ralrimiva 3107	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))
50	27, 49	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))
51	50	ralrimiva 3107	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))
52	18, 51	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
53	52	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
54	53	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
55	6, 16, 54	3jca 1126	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))
56	2, 55	sylbi 216	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  Abelcabl 19302  LModclmod 20038   ·_sf cscaf 20039  LVecclvec 20279  ℂModcclm 24131  ℂVecccvs 24192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-scaf 20041  df-lvec 20280  df-cnfld 20511  df-clm 24132  df-cvs 24193

This theorem is referenced by: (None)