MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvsi 24646
Description: The properties of a subcomplex vector space, which is an Abelian group (i.e. the vectors, with the operation of vector addition) accompanied by a scalar multiplication operation on the field of complex numbers. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsi.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
cvsi.a + = (+gβ€˜π‘Š)
cvsi.s 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
cvsi.m βˆ™ = ( Β·sf β€˜π‘Š)
cvsi.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cvsi (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ Abel ∧ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆ™ :(𝑆 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Š,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   + (π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑦)   βˆ™ (π‘₯,𝑦,𝑧)   Β· (π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑋(π‘₯)
Proof of Theorem cvsi
StepHypRef Expression
1 df-cvs 24640 . . 3 β„‚Vec = (β„‚Mod ∩ LVec)
21elin2 4198 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Vec ↔ (π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘Š ∈ LVec))
3 lveclmod 20717 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lmodabl 20519 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
53, 4syl 17 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ Abel)
65adantl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘Š ∈ LVec) β†’ π‘Š ∈ Abel)
7 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 cvsi.s . . . . . 6 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
97, 8clmsscn 24595 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
10 clmlmod 24583 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ LMod)
11 cvsi.x . . . . . . 7 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
12 cvsi.m . . . . . . 7 βˆ™ = ( Β·sf β€˜π‘Š)
1311, 7, 8, 12lmodscaf 20494 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ βˆ™ :(𝑆 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
1410, 13syl 17 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ™ :(𝑆 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
159, 14jca 513 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆ™ :(𝑆 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹))
1615adantr 482 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘Š ∈ LVec) β†’ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆ™ :(𝑆 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹))
17 cvsi.t . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
1811, 17clmvs1 24609 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
1910adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ LMod)
21 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
22 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
23 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
24 cvsi.a . . . . . . . . . . 11 + = (+gβ€˜π‘Š)
2511, 24, 7, 17, 8lmodvsdi 20495 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
2620, 21, 22, 23, 25syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
2726ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))
287clmadd 24590 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ + = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ + = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3029oveqdr 7437 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧))
3130oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧) Β· π‘₯))
3219ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ LMod)
33 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
34 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
35 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
36 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3711, 24, 7, 17, 8, 36lmodvsdir 20496 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)))
3832, 33, 34, 35, 37syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)))
3931, 38eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)))
407clmmul 24591 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ Β· = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Β· = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4241oveqdr 7437 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) = (𝑦(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧))
4342oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧) Β· π‘₯))
44 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
4511, 7, 17, 8, 44lmodvsass 20497 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))
4632, 33, 34, 35, 45syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))
4743, 46eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))
4839, 47jca 513 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯))))
4948ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯))))
5027, 49jca 513 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))))
5150ralrimiva 3147 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))))
5218, 51jca 513 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯))))))
5352ralrimiva 3147 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯))))))
5453adantr 482 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘Š ∈ LVec) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯))))))
556, 16, 543jca 1129 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ π‘Š ∈ LVec) β†’ (π‘Š ∈ Abel ∧ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆ™ :(𝑆 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))))))
562, 55sylbi 216 1 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (π‘Š ∈ Abel ∧ (𝑆 βŠ† β„‚ ∧ βˆ™ :(𝑆 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) Β· π‘₯) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑧 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑦 Β· 𝑧) Β· π‘₯) = (𝑦 Β· (𝑧 Β· π‘₯)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  Abelcabl 19649  LModclmod 20471   Β·sf cscaf 20472  LVecclvec 20713  β„‚Modcclm 24578  β„‚Vecccvs 24639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-scaf 20474  df-lvec 20714  df-cnfld 20945  df-clm 24579  df-cvs 24640
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator