MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvsi 24493
Description: The properties of a subcomplex vector space, which is an Abelian group (i.e. the vectors, with the operation of vector addition) accompanied by a scalar multiplication operation on the field of complex numbers. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsi.x 𝑋 = (Base‘𝑊)
cvsi.a + = (+g𝑊)
cvsi.s 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
cvsi.m = ( ·sf𝑊)
cvsi.t · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
cvsi (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem cvsi
StepHypRef Expression
1 df-cvs 24487 . . 3 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
21elin2 4157 . 2 (𝑊 ∈ ℂVec ↔ (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
3 lveclmod 20567 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4 lmodabl 20369 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
65adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝑊 ∈ Abel)
7 eqid 2736 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8 cvsi.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
97, 8clmsscn 24442 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑆 ⊆ ℂ)
10 clmlmod 24430 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
11 cvsi.x . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝑊)
12 cvsi.m . . . . . . 7 = ( ·sf𝑊)
1311, 7, 8, 12lmodscaf 20344 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋)
1410, 13syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋)
159, 14jca 512 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋))
1615adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋))
17 cvsi.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
1811, 17clmvs1 24456 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
1910adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
2019ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
21 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑦𝑆)
22 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑥𝑋)
23 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
24 cvsi.a . . . . . . . . . . 11 + = (+g𝑊)
2511, 24, 7, 17, 8lmodvsdi 20345 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦𝑆𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
2620, 21, 22, 23, 25syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
2726ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
287clmadd 24437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
3029oveqdr 7385 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧))
3130oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥))
3219ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
33 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑦𝑆)
34 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
35 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥𝑋)
36 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
3711, 24, 7, 17, 8, 36lmodvsdir 20346 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆𝑥𝑋)) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
3832, 33, 34, 35, 37syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
3931, 38eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
407clmmul 24438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
4241oveqdr 7385 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧))
4342oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥))
44 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
4511, 7, 17, 8, 44lmodvsass 20347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆𝑥𝑋)) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
4632, 33, 34, 35, 45syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
4743, 46eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
4839, 47jca 512 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))
4948ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))
5027, 49jca 512 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))
5150ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))
5218, 51jca 512 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥𝑋) → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
5352ralrimiva 3143 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → ∀𝑥𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
5453adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → ∀𝑥𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
556, 16, 543jca 1128 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))
562, 55sylbi 216 1 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wss 3910   × cxp 5631  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  Abelcabl 19563  LModclmod 20322   ·sf cscaf 20323  LVecclvec 20563  ℂModcclm 24425  ℂVecccvs 24486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-scaf 20325  df-lvec 20564  df-cnfld 20797  df-clm 24426  df-cvs 24487
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator