Theorem cvsi 25090

Description: The properties of a subcomplex vector space, which is an Abelian group (i.e. the vectors, with the operation of vector addition) accompanied by a scalar multiplication operation on the field of complex numbers. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsi.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
cvsi.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
cvsi.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
cvsi.m	⊢ ∙ = ( ·sf ‘𝑊)
cvsi.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cvsi	⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑦)   ∙ (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem cvsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cvs 25084	. . 3 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2	1	elin2 4156	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec ↔ (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
3		lveclmod 21062	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4		lmodabl 20864	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝑊 ∈ Abel)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8		cvsi.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9	7, 8	clmsscn 25039	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑆 ⊆ ℂ)
10		clmlmod 25027	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
11		cvsi.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
12		cvsi.m	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·sf ‘𝑊)
13	11, 7, 8, 12	lmodscaf 20839	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋)
14	10, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋)
15	9, 14	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋))
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋))
17		cvsi.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	11, 17	clmvs1 25053	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
19	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
20	19	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
23		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
24		cvsi.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝑊)
25	11, 24, 7, 17, 8	lmodvsdi 20840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
26	20, 21, 22, 23, 25	syl13anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
27	26	ralrimiva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
28	7	clmadd 25034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
29	28	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
30	29	oveqdr 7388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧))
31	30	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥))
32	19	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
33		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
34		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
35		simpllr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑋)
36		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
37	11, 24, 7, 17, 8, 36	lmodvsdir 20841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
38	32, 33, 34, 35, 37	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
39	31, 38	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
40	7	clmmul 25035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
41	40	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
42	41	oveqdr 7388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧))
43	42	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥))
44		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
45	11, 7, 17, 8, 44	lmodvsass 20842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
46	32, 33, 34, 35, 45	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
47	43, 46	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
48	39, 47	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))
49	48	ralrimiva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))
50	27, 49	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))
51	50	ralrimiva 3129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))
52	18, 51	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
53	52	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
54	53	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
55	6, 16, 54	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))
56	2, 55	sylbi 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3902   × cxp 5623  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  ._rcmulr 17182  Scalarcsca 17184   ·_𝑠 cvsca 17185  Abelcabl 19714  LModclmod 20815   ·_sf cscaf 20816  LVecclvec 21058  ℂModcclm 25022  ℂVecccvs 25083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-subg 19057  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-scaf 20818  df-lvec 21059  df-cnfld 21314  df-clm 25023  df-cvs 25084

This theorem is referenced by: (None)