Theorem cvsi 25164

Description: The properties of a subcomplex vector space, which is an Abelian group (i.e. the vectors, with the operation of vector addition) accompanied by a scalar multiplication operation on the field of complex numbers. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsi.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
cvsi.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
cvsi.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
cvsi.m	⊢ ∙ = ( ·sf ‘𝑊)
cvsi.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cvsi	⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑦)   ∙ (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem cvsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cvs 25158	. . 3 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2	1	elin2 4202	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec ↔ (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
3		lveclmod 21106	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4		lmodabl 20908	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝑊 ∈ Abel)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8		cvsi.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9	7, 8	clmsscn 25113	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑆 ⊆ ℂ)
10		clmlmod 25101	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
11		cvsi.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
12		cvsi.m	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·sf ‘𝑊)
13	11, 7, 8, 12	lmodscaf 20883	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋)
14	10, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋)
15	9, 14	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋))
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋))
17		cvsi.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	11, 17	clmvs1 25127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
19	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
23		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
24		cvsi.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝑊)
25	11, 24, 7, 17, 8	lmodvsdi 20884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
26	20, 21, 22, 23, 25	syl13anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
27	26	ralrimiva 3145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
28	7	clmadd 25108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
30	29	oveqdr 7460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧))
31	30	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥))
32	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
33		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
34		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
35		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑋)
36		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
37	11, 24, 7, 17, 8, 36	lmodvsdir 20885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
38	32, 33, 34, 35, 37	syl13anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
39	31, 38	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
40	7	clmmul 25109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
42	41	oveqdr 7460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧))
43	42	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥))
44		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
45	11, 7, 17, 8, 44	lmodvsass 20886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
46	32, 33, 34, 35, 45	syl13anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
47	43, 46	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
48	39, 47	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))
49	48	ralrimiva 3145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))
50	27, 49	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))
51	50	ralrimiva 3145	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))
52	18, 51	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
53	52	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
54	53	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
55	6, 16, 54	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))
56	2, 55	sylbi 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060   ⊆ wss 3950   × cxp 5682  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  Abelcabl 19800  LModclmod 20859   ·_sf cscaf 20860  LVecclvec 21102  ℂModcclm 25096  ℂVecccvs 25157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-addf 11235  ax-mulf 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-scaf 20862  df-lvec 21103  df-cnfld 21366  df-clm 25097  df-cvs 25158

This theorem is referenced by: (None)