Theorem clmvneg1 23851

Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (lmodvneg1 19796 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvneg1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvneg1.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
clmvneg1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvneg1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvneg1	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem clmvneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmvneg1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3	1, 2	clmzss 23830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘𝐹))
4		1zzd 12094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ ℤ)
5	3, 4	sseldd 3878	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
6	1, 2	clmneg 23833	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
7	5, 6	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
8	1	clm1 23825	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘𝐹))
9	8	fveq2d 6678	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg‘𝐹)‘1) = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)))
10	7, 9	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)))
11	10	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → -1 = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)))
12	11	oveq1d 7185	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑋))
13		clmlmod 23819	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
14		clmvneg1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15		clmvneg1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
16		clmvneg1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
18		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
19	14, 15, 1, 16, 17, 18	lmodvneg1 19796	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))
20	13, 19	sylan 583	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))
21	12, 20	eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  1c1 10616  -cneg 10949  ℤcz 12062  Basecbs 16586  Scalarcsca 16671   ·_𝑠 cvsca 16672  inv_gcminusg 18220  1_rcur 19370  LModclmod 19753  ℂModcclm 23814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-addf 10694  ax-mulf 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-seq 13461  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-cnfld 20218  df-clm 23815

This theorem is referenced by:  clmpm1dir  23855  clmvsrinv  23859  clmvslinv  23860