MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmvneg1 23268
Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (lmodvneg1 19262 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvneg1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvneg1.n 𝑁 = (invg𝑊)
clmvneg1.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvneg1.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
clmvneg1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝑉) → (-1 · 𝑋) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem clmvneg1
StepHypRef Expression
1 clmvneg1.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2825 . . . . . . . 8 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
31, 2clmzss 23247 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘𝐹))
4 1zzd 11736 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ ℤ)
53, 4sseldd 3828 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
61, 2clmneg 23250 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → -1 = ((invg𝐹)‘1))
75, 6mpdan 680 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg𝐹)‘1))
81clm1 23242 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r𝐹))
98fveq2d 6437 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg𝐹)‘1) = ((invg𝐹)‘(1r𝐹)))
107, 9eqtrd 2861 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg𝐹)‘(1r𝐹)))
1110adantr 474 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝑉) → -1 = ((invg𝐹)‘(1r𝐹)))
1211oveq1d 6920 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝑉) → (-1 · 𝑋) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑋))
13 clmlmod 23236 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
14 clmvneg1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
15 clmvneg1.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑊)
16 clmvneg1.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
17 eqid 2825 . . . 4 (1r𝐹) = (1r𝐹)
18 eqid 2825 . . . 4 (invg𝐹) = (invg𝐹)
1914, 15, 1, 16, 17, 18lmodvneg1 19262 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑋) = (𝑁𝑋))
2013, 19sylan 577 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝑉) → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑋) = (𝑁𝑋))
2112, 20eqtrd 2861 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝑉) → (-1 · 𝑋) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  cfv 6123  (class class class)co 6905  1c1 10253  -cneg 10586  cz 11704  Basecbs 16222  Scalarcsca 16308   ·𝑠 cvsca 16309  invgcminusg 17777  1rcur 18855  LModclmod 19219  ℂModcclm 23231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-addf 10331  ax-mulf 10332
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-seq 13096  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-mulg 17895  df-subg 17942  df-cmn 18548  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-cring 18904  df-subrg 19134  df-lmod 19221  df-cnfld 20107  df-clm 23232
This theorem is referenced by:  clmpm1dir  23272  clmvsrinv  23276  clmvslinv  23277
  Copyright terms: Public domain W3C validator