MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvneg1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clmvneg1 25054
Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (lmodvneg1 20802 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvneg1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
clmvneg1.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘Š)
clmvneg1.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
clmvneg1.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
clmvneg1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝑋) = (π‘β€˜π‘‹))
Proof of Theorem clmvneg1
StepHypRef Expression
1 clmvneg1.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
31, 2clmzss 25033 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ β„€ βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
4 1zzd 12633 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 1 ∈ β„€)
53, 4sseldd 3983 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
61, 2clmneg 25036 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ -1 = ((invgβ€˜πΉ)β€˜1))
75, 6mpdan 685 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ -1 = ((invgβ€˜πΉ)β€˜1))
81clm1 25028 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 1 = (1rβ€˜πΉ))
98fveq2d 6906 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜1) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)))
107, 9eqtrd 2768 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ -1 = ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)))
1110adantr 479 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ -1 = ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)))
1211oveq1d 7441 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· 𝑋))
13 clmlmod 25022 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ LMod)
14 clmvneg1.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
15 clmvneg1.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜π‘Š)
16 clmvneg1.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
17 eqid 2728 . . . 4 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
18 eqid 2728 . . . 4 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
1914, 15, 1, 16, 17, 18lmodvneg1 20802 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· 𝑋) = (π‘β€˜π‘‹))
2013, 19sylan 578 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· 𝑋) = (π‘β€˜π‘‹))
2112, 20eqtrd 2768 1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝑋) = (π‘β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11149  -cneg 11485  β„€cz 12598  Basecbs 17189  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  invgcminusg 18905  1rcur 20135  LModclmod 20757  β„‚Modcclm 25017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-seq 14009  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-cmn 19751  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-cnfld 21294  df-clm 25018
This theorem is referenced by:  clmpm1dir  25058  clmvsrinv  25062  clmvslinv  25063
  Copyright terms: Public domain W3C validator