MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvneg1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clmvneg1 24614
Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (lmodvneg1 20514 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvneg1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
clmvneg1.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘Š)
clmvneg1.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
clmvneg1.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
clmvneg1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝑋) = (π‘β€˜π‘‹))
Proof of Theorem clmvneg1
StepHypRef Expression
1 clmvneg1.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
31, 2clmzss 24593 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ β„€ βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
4 1zzd 12592 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 1 ∈ β„€)
53, 4sseldd 3983 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
61, 2clmneg 24596 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ -1 = ((invgβ€˜πΉ)β€˜1))
75, 6mpdan 685 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ -1 = ((invgβ€˜πΉ)β€˜1))
81clm1 24588 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 1 = (1rβ€˜πΉ))
98fveq2d 6895 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜1) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)))
107, 9eqtrd 2772 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ -1 = ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)))
1110adantr 481 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ -1 = ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)))
1211oveq1d 7423 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· 𝑋))
13 clmlmod 24582 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ LMod)
14 clmvneg1.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
15 clmvneg1.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜π‘Š)
16 clmvneg1.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
17 eqid 2732 . . . 4 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
18 eqid 2732 . . . 4 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
1914, 15, 1, 16, 17, 18lmodvneg1 20514 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· 𝑋) = (π‘β€˜π‘‹))
2013, 19sylan 580 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· 𝑋) = (π‘β€˜π‘‹))
2112, 20eqtrd 2772 1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝑋) = (π‘β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110  -cneg 11444  β„€cz 12557  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  invgcminusg 18819  1rcur 20003  LModclmod 20470  β„‚Modcclm 24577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-cnfld 20944  df-clm 24578
This theorem is referenced by:  clmpm1dir  24618  clmvsrinv  24622  clmvslinv  24623
  Copyright terms: Public domain W3C validator