Theorem clmvneg1 25085

Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (lmodvneg1 20896 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvneg1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvneg1.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
clmvneg1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvneg1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvneg1	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem clmvneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmvneg1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3	1, 2	clmzss 25064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘𝐹))
4		1zzd 12550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ ℤ)
5	3, 4	sseldd 3916	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
6	1, 2	clmneg 25067	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
7	5, 6	mpdan 693	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
8	1	clm1 25059	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘𝐹))
9	8	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg‘𝐹)‘1) = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)))
10	7, 9	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)))
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → -1 = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)))
12	11	oveq1d 7372	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑋))
13		clmlmod 25053	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
14		clmvneg1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15		clmvneg1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
16		clmvneg1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
18		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
19	14, 15, 1, 16, 17, 18	lmodvneg1 20896	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))
20	13, 19	sylan 586	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))
21	12, 20	eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  1c1 11031  -cneg 11370  ℤcz 12516  Basecbs 17171  Scalarcsca 17215   ·_𝑠 cvsca 17216  inv_gcminusg 18902  1_rcur 20154  LModclmod 20851  ℂModcclm 25048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-seq 13956  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-cmn 19749  df-mgp 20114  df-ur 20155  df-ring 20208  df-cring 20209  df-subrg 20543  df-lmod 20853  df-cnfld 21349  df-clm 25049

This theorem is referenced by:  clmpm1dir  25089  clmvsrinv  25093  clmvslinv  25094