Theorem clmvneg1 25046

Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (lmodvneg1 20795 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvneg1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvneg1.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
clmvneg1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvneg1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvneg1	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem clmvneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmvneg1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3	1, 2	clmzss 25025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘𝐹))
4		1zzd 12631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ ℤ)
5	3, 4	sseldd 3983	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
6	1, 2	clmneg 25028	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
7	5, 6	mpdan 685	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
8	1	clm1 25020	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘𝐹))
9	8	fveq2d 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg‘𝐹)‘1) = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)))
10	7, 9	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)))
11	10	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → -1 = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)))
12	11	oveq1d 7441	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑋))
13		clmlmod 25014	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
14		clmvneg1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15		clmvneg1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
16		clmvneg1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
18		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
19	14, 15, 1, 16, 17, 18	lmodvneg1 20795	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))
20	13, 19	sylan 578	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))
21	12, 20	eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147  -cneg 11483  ℤcz 12596  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·_𝑠 cvsca 17244  inv_gcminusg 18898  1_rcur 20128  LModclmod 20750  ℂModcclm 25009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-cnfld 21287  df-clm 25010

This theorem is referenced by:  clmpm1dir  25050  clmvsrinv  25054  clmvslinv  25055