MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmvneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmvneg1 24262
Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (lmodvneg1 20166 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clmvneg1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvneg1.n 𝑁 = (invg𝑊)
clmvneg1.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvneg1.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
clmvneg1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝑉) → (-1 · 𝑋) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem clmvneg1
StepHypRef Expression
1 clmvneg1.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2738 . . . . . . . 8 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
31, 2clmzss 24241 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘𝐹))
4 1zzd 12351 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ ℤ)
53, 4sseldd 3922 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
61, 2clmneg 24244 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → -1 = ((invg𝐹)‘1))
75, 6mpdan 684 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg𝐹)‘1))
81clm1 24236 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r𝐹))
98fveq2d 6778 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg𝐹)‘1) = ((invg𝐹)‘(1r𝐹)))
107, 9eqtrd 2778 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg𝐹)‘(1r𝐹)))
1110adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝑉) → -1 = ((invg𝐹)‘(1r𝐹)))
1211oveq1d 7290 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝑉) → (-1 · 𝑋) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑋))
13 clmlmod 24230 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
14 clmvneg1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
15 clmvneg1.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑊)
16 clmvneg1.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
17 eqid 2738 . . . 4 (1r𝐹) = (1r𝐹)
18 eqid 2738 . . . 4 (invg𝐹) = (invg𝐹)
1914, 15, 1, 16, 17, 18lmodvneg1 20166 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑋) = (𝑁𝑋))
2013, 19sylan 580 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝑉) → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑋) = (𝑁𝑋))
2112, 20eqtrd 2778 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝑉) → (-1 · 𝑋) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872  -cneg 11206  cz 12319  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·𝑠 cvsca 16966  invgcminusg 18578  1rcur 19737  LModclmod 20123  ℂModcclm 24225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-cnfld 20598  df-clm 24226
This theorem is referenced by:  clmpm1dir  24266  clmvsrinv  24270  clmvslinv  24271
  Copyright terms: Public domain W3C validator