Theorem clmvneg1 25227

Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (lmodvneg1 21004 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmvneg1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmvneg1.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
clmvneg1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmvneg1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvneg1	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem clmvneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmvneg1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3	1, 2	clmzss 25206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘𝐹))
4		1zzd 12625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ ℤ)
5	3, 4	sseldd 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
6	1, 2	clmneg 25209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
7	5, 6	mpdan 699	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg‘𝐹)‘1))
8	1	clm1 25201	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘𝐹))
9	8	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ((invg‘𝐹)‘1) = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)))
10	7, 9	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)))
11	10	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → -1 = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)))
12	11	oveq1d 7426	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑋))
13		clmlmod 25195	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
14		clmvneg1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15		clmvneg1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
16		clmvneg1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
18		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
19	14, 15, 1, 16, 17, 18	lmodvneg1 21004	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))
20	13, 19	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))
21	12, 20	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101  -cneg 11442  ℤcz 12591  Basecbs 17269  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314  inv_gcminusg 19001  1_rcur 20263  LModclmod 20959  ℂModcclm 25190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-seq 14038  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-cmn 19852  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-cnfld 21492  df-clm 25191

This theorem is referenced by:  clmpm1dir  25231  clmvsrinv  25235  clmvslinv  25236