Theorem clm0vs 25145

Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (lmod0vs 20950 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clm0vs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clm0vs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clm0vs.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clm0vs.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clm0vs	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem clm0vs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clm0vs.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	clm0 25122	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘𝐹))
3	2	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 = (0g‘𝐹))
4	3	oveq1d 7406	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (0 · 𝑋) = ((0g‘𝐹) · 𝑋))
5		clmlmod 25117	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
6		clm0vs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		clm0vs.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
9		clm0vs.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10	6, 1, 7, 8, 9	lmod0vs 20950	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = 0 )
11	5, 10	sylan 589	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = 0 )
12	4, 11	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  0cc0 11067  Basecbs 17236  Scalarcsca 17280   ·_𝑠 cvsca 17281  0_gc0g 17459  LModclmod 20915  ℂModcclm 25112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-subg 19156  df-cmn 19813  df-mgp 20178  df-ring 20272  df-cring 20273  df-subrg 20607  df-lmod 20917  df-cnfld 21413  df-clm 25113

This theorem is referenced by:  clmmulg  25151