Theorem clm0vs 25129

Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (lmod0vs 20894 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clm0vs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clm0vs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clm0vs.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clm0vs.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clm0vs	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem clm0vs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clm0vs.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	clm0 25106	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘𝐹))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 = (0g‘𝐹))
4	3	oveq1d 7447	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (0 · 𝑋) = ((0g‘𝐹) · 𝑋))
5		clmlmod 25101	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
6		clm0vs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		clm0vs.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
9		clm0vs.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10	6, 1, 7, 8, 9	lmod0vs 20894	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = 0 )
11	5, 10	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = 0 )
12	4, 11	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17485  LModclmod 20859  ℂModcclm 25096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-mgp 20139  df-ring 20233  df-cring 20234  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-cnfld 21366  df-clm 25097

This theorem is referenced by:  clmmulg  25135