Theorem clmopfne 25073

Description: The (functionalized) operations of addition and multiplication by a scalar of a subcomplex module cannot be identical. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 3-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmopfne.t	⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
clmopfne.a	⊢ + = (+𝑓‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmopfne	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → + ≠ · )

Proof of Theorem clmopfne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmlmod 25044	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
2		ax-1ne0 11098	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 ≠ 0)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5	4	clm1 25050	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
6	4	clm0 25049	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	3, 5, 6	3netr3d 3009	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8		clmopfne.t	. . 3 ⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
9		clmopfne.a	. . 3 ⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
10		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
12		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
14	8, 9, 10, 4, 11, 12, 13	lmodfopne 20886	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) → + ≠ · )
15	1, 7, 14	syl2anc 585	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → + ≠ · )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6492  0cc0 11029  1c1 11030  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214  0_gc0g 17393  +_𝑓cplusf 18596  1_rcur 20153  LModclmod 20846   ·_sf cscaf 20847  ℂModcclm 25039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-0g 17395  df-plusf 18598  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-scaf 20849  df-cnfld 21345  df-clm 25040

This theorem is referenced by: (None)