Theorem zlmclm 25047

Description: The ℤ-module operation turns an arbitrary abelian group into a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmclm.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmclm	⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ ℂMod)

Proof of Theorem zlmclm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmclm.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2	1	zlmlmod 21466	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ LMod)
4	1	zlmsca 21464	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤring = (Scalar‘𝑊))
5		df-zring 21391	. . . 4 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
6	4, 5	eqtr3di 2779	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s ℤ))
7		zsubrg 21364	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld))
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10	9	isclmi 25012	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s ℤ) ∧ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
11	3, 6, 8, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ ℂMod)
12		clmlmod 25002	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
13	12, 2	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐺 ∈ Abel)
14	11, 13	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ ℂMod)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6500  (class class class)co 7370  ℤcz 12508   ↾_s cress 17178  Scalarcsca 17201  Abelcabl 19697  SubRingcsubrg 20491  LModclmod 20800  ℂ_fldccnfld 21298  ℤ_ringczring 21390  ℤModczlm 21444  ℂModcclm 24997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-addf 11126  ax-mulf 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8649  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-4 12230  df-5 12231  df-6 12232  df-7 12233  df-8 12234  df-9 12235  df-n0 12422  df-z 12509  df-dec 12629  df-uz 12773  df-fz 13448  df-fzo 13595  df-seq 13946  df-struct 17095  df-sets 17112  df-slot 17130  df-ndx 17142  df-base 17158  df-ress 17179  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-0g 17382  df-mgm 18551  df-sgrp 18630  df-mnd 18646  df-grp 18852  df-minusg 18853  df-mulg 18984  df-subg 19039  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-cring 20158  df-subrng 20468  df-subrg 20492  df-lmod 20802  df-cnfld 21299  df-zring 21391  df-zlm 21448  df-clm 24998

This theorem is referenced by: (None)