Theorem zlmclm 25045

Description: The ℤ-module operation turns an arbitrary abelian group into a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmclm.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmclm	⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ ℂMod)

Proof of Theorem zlmclm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmclm.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2	1	zlmlmod 21465	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ LMod)
4	1	zlmsca 21463	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤring = (Scalar‘𝑊))
5		df-zring 21390	. . . 4 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
6	4, 5	eqtr3di 2781	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s ℤ))
7		zsubrg 21363	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld))
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10	9	isclmi 25010	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s ℤ) ∧ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
11	3, 6, 8, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ ℂMod)
12		clmlmod 25000	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
13	12, 2	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐺 ∈ Abel)
14	11, 13	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ ℂMod)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℤcz 12474   ↾_s cress 17147  Scalarcsca 17170  Abelcabl 19699  SubRingcsubrg 20490  LModclmod 20799  ℂ_fldccnfld 21297  ℤ_ringczring 21389  ℤModczlm 21443  ℂModcclm 24995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-addf 11091  ax-mulf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-0g 17351  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-mulg 18987  df-subg 19042  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-lmod 20801  df-cnfld 21298  df-zring 21390  df-zlm 21447  df-clm 24996

This theorem is referenced by: (None)