Theorem zlmclm 25057

Description: The ℤ-module operation turns an arbitrary abelian group into a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmclm.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmclm	⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ ℂMod)

Proof of Theorem zlmclm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmclm.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2	1	zlmlmod 21479	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ LMod)
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ LMod)
4	1	zlmsca 21477	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤring = (Scalar‘𝑊))
5		df-zring 21404	. . . 4 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
6	4, 5	eqtr3di 2787	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s ℤ))
7		zsubrg 21377	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10	9	isclmi 25022	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s ℤ) ∧ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
11	3, 6, 8, 10	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝑊 ∈ ℂMod)
12		clmlmod 25012	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
13	12, 2	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐺 ∈ Abel)
14	11, 13	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝑊 ∈ ℂMod)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℤcz 12489   ↾_s cress 17158  Scalarcsca 17181  Abelcabl 19714  SubRingcsubrg 20504  LModclmod 20813  ℂ_fldccnfld 21311  ℤ_ringczring 21403  ℤModczlm 21457  ℂModcclm 25007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-0g 17362  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-lmod 20815  df-cnfld 21312  df-zring 21404  df-zlm 21461  df-clm 25008

This theorem is referenced by: (None)