Theorem cosnop 31917

Description: Composition of two ordered pair singletons with matching domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cosnop.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
cosnop.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
cosnop.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cosnop	⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐶, 𝐴⟩}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})

Proof of Theorem cosnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosnop.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		snnzg 4779	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≠ ∅)
3		xpco 6289	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≠ ∅ → (({𝐴} × {𝐵}) ∘ ({𝐶} × {𝐴})) = ({𝐶} × {𝐵}))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝐴} × {𝐵}) ∘ ({𝐶} × {𝐴})) = ({𝐶} × {𝐵}))
5		cosnop.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		xpsng 7137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
7	1, 5, 6	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
8		cosnop.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
9		xpsng 7137	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({𝐶} × {𝐴}) = {⟨𝐶, 𝐴⟩})
10	8, 1, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} × {𝐴}) = {⟨𝐶, 𝐴⟩})
11	7, 10	coeq12d 5865	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝐴} × {𝐵}) ∘ ({𝐶} × {𝐴})) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐶, 𝐴⟩}))
12		xpsng 7137	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐶} × {𝐵}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})
13	8, 5, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} × {𝐵}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})
14	4, 11, 13	3eqtr3d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐶, 𝐴⟩}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∅c0 4323  {csn 4629  ⟨cop 4635   × cxp 5675   ∘ ccom 5681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551

This theorem is referenced by:  coprprop  31921