Theorem cosnop 32794

Description: Composition of two ordered pair singletons with matching domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cosnop.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
cosnop.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
cosnop.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cosnop	⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐶, 𝐴⟩}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})

Proof of Theorem cosnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosnop.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		snnzg 4713	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≠ ∅)
3		xpco 6247	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≠ ∅ → (({𝐴} × {𝐵}) ∘ ({𝐶} × {𝐴})) = ({𝐶} × {𝐵}))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝐴} × {𝐵}) ∘ ({𝐶} × {𝐴})) = ({𝐶} × {𝐵}))
5		cosnop.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		xpsng 7088	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
7	1, 5, 6	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
8		cosnop.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
9		xpsng 7088	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({𝐶} × {𝐴}) = {⟨𝐶, 𝐴⟩})
10	8, 1, 9	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} × {𝐴}) = {⟨𝐶, 𝐴⟩})
11	7, 10	coeq12d 5813	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝐴} × {𝐵}) ∘ ({𝐶} × {𝐴})) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐶, 𝐴⟩}))
12		xpsng 7088	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐶} × {𝐵}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})
13	8, 5, 12	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} × {𝐵}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})
14	4, 11, 13	3eqtr3d 2783	1 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐶, 𝐴⟩}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∅c0 4268  {csn 4562  ⟨cop 4568   × cxp 5623   ∘ ccom 5629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499

This theorem is referenced by:  coprprop  32798