Theorem cosnop 33077

Description: Composition of two ordered pair singletons with matching domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cosnop.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
cosnop.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
cosnop.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cosnop	⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐶, 𝐴⟩}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})

Proof of Theorem cosnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosnop.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		snnzg 4745	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≠ ∅)
3		xpco 6297	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≠ ∅ → (({𝐴} × {𝐵}) ∘ ({𝐶} × {𝐴})) = ({𝐶} × {𝐵}))
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝐴} × {𝐵}) ∘ ({𝐶} × {𝐴})) = ({𝐶} × {𝐵}))
5		cosnop.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		xpsng 7142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
7	1, 5, 6	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
8		cosnop.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
9		xpsng 7142	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({𝐶} × {𝐴}) = {⟨𝐶, 𝐴⟩})
10	8, 1, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} × {𝐴}) = {⟨𝐶, 𝐴⟩})
11	7, 10	coeq12d 5855	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝐴} × {𝐵}) ∘ ({𝐶} × {𝐴})) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐶, 𝐴⟩}))
12		xpsng 7142	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐶} × {𝐵}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})
13	8, 5, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} × {𝐵}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})
14	4, 11, 13	3eqtr3d 2809	1 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐶, 𝐴⟩}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∅c0 4289  {csn 4594  ⟨cop 4600   × cxp 5664   ∘ ccom 5670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550

This theorem is used by:  coprprop  33081