Theorem cosnop 33018

Description: Composition of two ordered pair singletons with matching domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cosnop.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
cosnop.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
cosnop.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cosnop	⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐶, 𝐴⟩}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})

Proof of Theorem cosnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosnop.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		snnzg 4741	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≠ ∅)
3		xpco 6292	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≠ ∅ → (({𝐴} × {𝐵}) ∘ ({𝐶} × {𝐴})) = ({𝐶} × {𝐵}))
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝐴} × {𝐵}) ∘ ({𝐶} × {𝐴})) = ({𝐶} × {𝐵}))
5		cosnop.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		xpsng 7137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
7	1, 5, 6	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
8		cosnop.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
9		xpsng 7137	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({𝐶} × {𝐴}) = {⟨𝐶, 𝐴⟩})
10	8, 1, 9	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} × {𝐴}) = {⟨𝐶, 𝐴⟩})
11	7, 10	coeq12d 5852	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝐴} × {𝐵}) ∘ ({𝐶} × {𝐴})) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐶, 𝐴⟩}))
12		xpsng 7137	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐶} × {𝐵}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})
13	8, 5, 12	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} × {𝐵}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})
14	4, 11, 13	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐶, 𝐴⟩}) = {⟨𝐶, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4287  {csn 4590  ⟨cop 4596   × cxp 5661   ∘ ccom 5667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545

This theorem is referenced by:  coprprop  33022