Proof of Theorem coprprop
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | coundir 6268 | . . . 4
⊢
(({〈𝐴, 𝐵〉} ∪ {〈𝐶, 𝐷〉}) ∘ {〈𝐸, 𝐴〉}) = (({〈𝐴, 𝐵〉} ∘ {〈𝐸, 𝐴〉}) ∪ ({〈𝐶, 𝐷〉} ∘ {〈𝐸, 𝐴〉})) | 
| 2 |  | brprop.a | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉) | 
| 3 |  | brprop.b | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊) | 
| 4 |  | coprprop.e | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑋) | 
| 5 | 2, 3, 4 | cosnop 32704 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ({〈𝐴, 𝐵〉} ∘ {〈𝐸, 𝐴〉}) = {〈𝐸, 𝐵〉}) | 
| 6 |  | brprop.d | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊) | 
| 7 |  | mptprop.1 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶) | 
| 8 | 7 | necomd 2996 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴) | 
| 9 | 6, 4, 8 | cosnopne 32703 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ({〈𝐶, 𝐷〉} ∘ {〈𝐸, 𝐴〉}) = ∅) | 
| 10 | 5, 9 | uneq12d 4169 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (({〈𝐴, 𝐵〉} ∘ {〈𝐸, 𝐴〉}) ∪ ({〈𝐶, 𝐷〉} ∘ {〈𝐸, 𝐴〉})) = ({〈𝐸, 𝐵〉} ∪ ∅)) | 
| 11 |  | un0 4394 | . . . . 5
⊢
({〈𝐸, 𝐵〉} ∪ ∅) =
{〈𝐸, 𝐵〉} | 
| 12 | 10, 11 | eqtrdi 2793 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (({〈𝐴, 𝐵〉} ∘ {〈𝐸, 𝐴〉}) ∪ ({〈𝐶, 𝐷〉} ∘ {〈𝐸, 𝐴〉})) = {〈𝐸, 𝐵〉}) | 
| 13 | 1, 12 | eqtrid 2789 | . . 3
⊢ (𝜑 → (({〈𝐴, 𝐵〉} ∪ {〈𝐶, 𝐷〉}) ∘ {〈𝐸, 𝐴〉}) = {〈𝐸, 𝐵〉}) | 
| 14 |  | coundir 6268 | . . . 4
⊢
(({〈𝐴, 𝐵〉} ∪ {〈𝐶, 𝐷〉}) ∘ {〈𝐹, 𝐶〉}) = (({〈𝐴, 𝐵〉} ∘ {〈𝐹, 𝐶〉}) ∪ ({〈𝐶, 𝐷〉} ∘ {〈𝐹, 𝐶〉})) | 
| 15 |  | coprprop.f | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋) | 
| 16 | 3, 15, 7 | cosnopne 32703 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ({〈𝐴, 𝐵〉} ∘ {〈𝐹, 𝐶〉}) = ∅) | 
| 17 |  | brprop.c | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉) | 
| 18 | 17, 6, 15 | cosnop 32704 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ({〈𝐶, 𝐷〉} ∘ {〈𝐹, 𝐶〉}) = {〈𝐹, 𝐷〉}) | 
| 19 | 16, 18 | uneq12d 4169 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (({〈𝐴, 𝐵〉} ∘ {〈𝐹, 𝐶〉}) ∪ ({〈𝐶, 𝐷〉} ∘ {〈𝐹, 𝐶〉})) = (∅ ∪ {〈𝐹, 𝐷〉})) | 
| 20 |  | 0un 4396 | . . . . 5
⊢ (∅
∪ {〈𝐹, 𝐷〉}) = {〈𝐹, 𝐷〉} | 
| 21 | 19, 20 | eqtrdi 2793 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (({〈𝐴, 𝐵〉} ∘ {〈𝐹, 𝐶〉}) ∪ ({〈𝐶, 𝐷〉} ∘ {〈𝐹, 𝐶〉})) = {〈𝐹, 𝐷〉}) | 
| 22 | 14, 21 | eqtrid 2789 | . . 3
⊢ (𝜑 → (({〈𝐴, 𝐵〉} ∪ {〈𝐶, 𝐷〉}) ∘ {〈𝐹, 𝐶〉}) = {〈𝐹, 𝐷〉}) | 
| 23 | 13, 22 | uneq12d 4169 | . 2
⊢ (𝜑 → ((({〈𝐴, 𝐵〉} ∪ {〈𝐶, 𝐷〉}) ∘ {〈𝐸, 𝐴〉}) ∪ (({〈𝐴, 𝐵〉} ∪ {〈𝐶, 𝐷〉}) ∘ {〈𝐹, 𝐶〉})) = ({〈𝐸, 𝐵〉} ∪ {〈𝐹, 𝐷〉})) | 
| 24 |  | df-pr 4629 | . . . 4
⊢
{〈𝐴, 𝐵〉, 〈𝐶, 𝐷〉} = ({〈𝐴, 𝐵〉} ∪ {〈𝐶, 𝐷〉}) | 
| 25 |  | df-pr 4629 | . . . 4
⊢
{〈𝐸, 𝐴〉, 〈𝐹, 𝐶〉} = ({〈𝐸, 𝐴〉} ∪ {〈𝐹, 𝐶〉}) | 
| 26 | 24, 25 | coeq12i 5874 | . . 3
⊢
({〈𝐴, 𝐵〉, 〈𝐶, 𝐷〉} ∘ {〈𝐸, 𝐴〉, 〈𝐹, 𝐶〉}) = (({〈𝐴, 𝐵〉} ∪ {〈𝐶, 𝐷〉}) ∘ ({〈𝐸, 𝐴〉} ∪ {〈𝐹, 𝐶〉})) | 
| 27 |  | coundi 6267 | . . 3
⊢
(({〈𝐴, 𝐵〉} ∪ {〈𝐶, 𝐷〉}) ∘ ({〈𝐸, 𝐴〉} ∪ {〈𝐹, 𝐶〉})) = ((({〈𝐴, 𝐵〉} ∪ {〈𝐶, 𝐷〉}) ∘ {〈𝐸, 𝐴〉}) ∪ (({〈𝐴, 𝐵〉} ∪ {〈𝐶, 𝐷〉}) ∘ {〈𝐹, 𝐶〉})) | 
| 28 | 26, 27 | eqtri 2765 | . 2
⊢
({〈𝐴, 𝐵〉, 〈𝐶, 𝐷〉} ∘ {〈𝐸, 𝐴〉, 〈𝐹, 𝐶〉}) = ((({〈𝐴, 𝐵〉} ∪ {〈𝐶, 𝐷〉}) ∘ {〈𝐸, 𝐴〉}) ∪ (({〈𝐴, 𝐵〉} ∪ {〈𝐶, 𝐷〉}) ∘ {〈𝐹, 𝐶〉})) | 
| 29 |  | df-pr 4629 | . 2
⊢
{〈𝐸, 𝐵〉, 〈𝐹, 𝐷〉} = ({〈𝐸, 𝐵〉} ∪ {〈𝐹, 𝐷〉}) | 
| 30 | 23, 28, 29 | 3eqtr4g 2802 | 1
⊢ (𝜑 → ({〈𝐴, 𝐵〉, 〈𝐶, 𝐷〉} ∘ {〈𝐸, 𝐴〉, 〈𝐹, 𝐶〉}) = {〈𝐸, 𝐵〉, 〈𝐹, 𝐷〉}) |