Theorem coprprop 33055

Description: Composition of two pairs of ordered pairs with matching domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
brprop.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
brprop.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
brprop.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
brprop.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
mptprop.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
coprprop.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑋)
coprprop.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
coprprop.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coprprop	⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩}) = {⟨𝐸, 𝐵⟩, ⟨𝐹, 𝐷⟩})

Proof of Theorem coprprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coundir 6248	. . . 4 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}))
2		brprop.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		brprop.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		coprprop.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑋)
5	2, 3, 4	cosnop 33051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) = {⟨𝐸, 𝐵⟩})
6		brprop.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
7		mptprop.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
8	7	necomd 3012	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
9	6, 4, 8	cosnopne 33050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) = ∅)
10	5, 9	uneq12d 4122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩})) = ({⟨𝐸, 𝐵⟩} ∪ ∅))
11		un0 4350	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐸, 𝐵⟩} ∪ ∅) = {⟨𝐸, 𝐵⟩}
12	10, 11	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩})) = {⟨𝐸, 𝐵⟩})
13	1, 12	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) = {⟨𝐸, 𝐵⟩})
14		coundir 6248	. . . 4 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}))
15		coprprop.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
16	3, 15, 7	cosnopne 33050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) = ∅)
17		brprop.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
18	17, 6, 15	cosnop 33051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) = {⟨𝐹, 𝐷⟩})
19	16, 18	uneq12d 4122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩})) = (∅ ∪ {⟨𝐹, 𝐷⟩}))
20		0un 4352	. . . . 5 ⊢ (∅ ∪ {⟨𝐹, 𝐷⟩}) = {⟨𝐹, 𝐷⟩}
21	19, 20	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩})) = {⟨𝐹, 𝐷⟩})
22	14, 21	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) = {⟨𝐹, 𝐷⟩})
23	13, 22	uneq12d 4122	. 2 ⊢ (𝜑 → ((({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩})) = ({⟨𝐸, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐷⟩}))
24		df-pr 4591	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩})
25		df-pr 4591	. . . 4 ⊢ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩} = ({⟨𝐸, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐶⟩})
26	24, 25	coeq12i 5848	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ ({⟨𝐸, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐶⟩}))
27		coundi 6247	. . 3 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ ({⟨𝐸, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐶⟩})) = ((({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}))
28	26, 27	eqtri 2785	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩}) = ((({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}))
29		df-pr 4591	. 2 ⊢ {⟨𝐸, 𝐵⟩, ⟨𝐹, 𝐷⟩} = ({⟨𝐸, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐷⟩})
30	23, 28, 29	3eqtr4g 2822	1 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩}) = {⟨𝐸, 𝐵⟩, ⟨𝐹, 𝐷⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∪ cun 3902  ∅c0 4285  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4594   ∘ ccom 5664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543

This theorem is used by:  cycpm2tr  33448