Theorem coprprop 32778

Description: Composition of two pairs of ordered pairs with matching domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
brprop.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
brprop.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
brprop.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
brprop.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
mptprop.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
coprprop.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑋)
coprprop.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
coprprop.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coprprop	⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩}) = {⟨𝐸, 𝐵⟩, ⟨𝐹, 𝐷⟩})

Proof of Theorem coprprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coundir 6206	. . . 4 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}))
2		brprop.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		brprop.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		coprprop.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑋)
5	2, 3, 4	cosnop 32774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) = {⟨𝐸, 𝐵⟩})
6		brprop.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
7		mptprop.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
8	7	necomd 2987	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
9	6, 4, 8	cosnopne 32773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) = ∅)
10	5, 9	uneq12d 4121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩})) = ({⟨𝐸, 𝐵⟩} ∪ ∅))
11		un0 4346	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐸, 𝐵⟩} ∪ ∅) = {⟨𝐸, 𝐵⟩}
12	10, 11	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩})) = {⟨𝐸, 𝐵⟩})
13	1, 12	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) = {⟨𝐸, 𝐵⟩})
14		coundir 6206	. . . 4 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}))
15		coprprop.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
16	3, 15, 7	cosnopne 32773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) = ∅)
17		brprop.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
18	17, 6, 15	cosnop 32774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) = {⟨𝐹, 𝐷⟩})
19	16, 18	uneq12d 4121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩})) = (∅ ∪ {⟨𝐹, 𝐷⟩}))
20		0un 4348	. . . . 5 ⊢ (∅ ∪ {⟨𝐹, 𝐷⟩}) = {⟨𝐹, 𝐷⟩}
21	19, 20	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩})) = {⟨𝐹, 𝐷⟩})
22	14, 21	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) = {⟨𝐹, 𝐷⟩})
23	13, 22	uneq12d 4121	. 2 ⊢ (𝜑 → ((({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩})) = ({⟨𝐸, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐷⟩}))
24		df-pr 4583	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩})
25		df-pr 4583	. . . 4 ⊢ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩} = ({⟨𝐸, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐶⟩})
26	24, 25	coeq12i 5812	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ ({⟨𝐸, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐶⟩}))
27		coundi 6205	. . 3 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ ({⟨𝐸, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐶⟩})) = ((({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}))
28	26, 27	eqtri 2759	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩}) = ((({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}))
29		df-pr 4583	. 2 ⊢ {⟨𝐸, 𝐵⟩, ⟨𝐹, 𝐷⟩} = ({⟨𝐸, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐷⟩})
30	23, 28, 29	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩}) = {⟨𝐸, 𝐵⟩, ⟨𝐹, 𝐷⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∪ cun 3899  ∅c0 4285  {csn 4580  {cpr 4582  ⟨cop 4586   ∘ ccom 5628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499

This theorem is referenced by:  cycpm2tr  33201