Theorem coprprop 31715

Description: Composition of two pairs of ordered pairs with matching domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
brprop.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
brprop.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
brprop.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
brprop.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
mptprop.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
coprprop.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑋)
coprprop.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
coprprop.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coprprop	⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩}) = {⟨𝐸, 𝐵⟩, ⟨𝐹, 𝐷⟩})

Proof of Theorem coprprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coundir 6220	. . . 4 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}))
2		brprop.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		brprop.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		coprprop.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑋)
5	2, 3, 4	cosnop 31711	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) = {⟨𝐸, 𝐵⟩})
6		brprop.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
7		mptprop.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
8	7	necomd 2995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
9	6, 4, 8	cosnopne 31710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) = ∅)
10	5, 9	uneq12d 4144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩})) = ({⟨𝐸, 𝐵⟩} ∪ ∅))
11		un0 4370	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐸, 𝐵⟩} ∪ ∅) = {⟨𝐸, 𝐵⟩}
12	10, 11	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩})) = {⟨𝐸, 𝐵⟩})
13	1, 12	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) = {⟨𝐸, 𝐵⟩})
14		coundir 6220	. . . 4 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}))
15		coprprop.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
16	3, 15, 7	cosnopne 31710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) = ∅)
17		brprop.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
18	17, 6, 15	cosnop 31711	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) = {⟨𝐹, 𝐷⟩})
19	16, 18	uneq12d 4144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩})) = (∅ ∪ {⟨𝐹, 𝐷⟩}))
20		0un 4372	. . . . 5 ⊢ (∅ ∪ {⟨𝐹, 𝐷⟩}) = {⟨𝐹, 𝐷⟩}
21	19, 20	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) ∪ ({⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩})) = {⟨𝐹, 𝐷⟩})
22	14, 21	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}) = {⟨𝐹, 𝐷⟩})
23	13, 22	uneq12d 4144	. 2 ⊢ (𝜑 → ((({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩})) = ({⟨𝐸, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐷⟩}))
24		df-pr 4609	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩})
25		df-pr 4609	. . . 4 ⊢ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩} = ({⟨𝐸, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐶⟩})
26	24, 25	coeq12i 5839	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩}) = (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ ({⟨𝐸, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐶⟩}))
27		coundi 6219	. . 3 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ ({⟨𝐸, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐶⟩})) = ((({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}))
28	26, 27	eqtri 2759	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩}) = ((({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩}) ∪ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) ∘ {⟨𝐹, 𝐶⟩}))
29		df-pr 4609	. 2 ⊢ {⟨𝐸, 𝐵⟩, ⟨𝐹, 𝐷⟩} = ({⟨𝐸, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐹, 𝐷⟩})
30	23, 28, 29	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∘ {⟨𝐸, 𝐴⟩, ⟨𝐹, 𝐶⟩}) = {⟨𝐸, 𝐵⟩, ⟨𝐹, 𝐷⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∪ cun 3926  ∅c0 4302  {csn 4606  {cpr 4608  ⟨cop 4612   ∘ ccom 5657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523

This theorem is referenced by:  cycpm2tr  32072