Theorem crctistrl 30261

Description: A circuit is a trail. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
crctistrl	⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem crctistrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctprop 30258	. 2 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2	1	simpld 500	1 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  0cc0 11124  ♯chash 14394  Trailsctrls 30152  Circuitsccrcts 30250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-trls 30154  df-crcts 30252

This theorem is used by:  crctiswlk  30262  crctcshlem3  30287  crctcshwlk  30290  crctcshtrl  30291