Theorem crctcshtrl 30181

Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a trail ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshtrl	⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem crctcshtrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		crctcsh.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		crctcsh.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		crctcsh.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		crctcsh.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		crctcsh.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		crctcsh.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshwlk 30180	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
9		crctistrl 30153	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10	2	trlf1 30055	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
11		df-f1 6541	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
12		iswrdi 14559	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
13	12	anim1i 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
14	11, 13	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
15	3, 9, 10, 14	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
16		elfzoelz 13692	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
17	5, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
18		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑆 ∈ ℤ))
19	15, 17, 18	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ))
20		cshinj 14853	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → Fun ◡𝐻))
21	19, 6, 20	mpisyl 22	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐻)
22		istrl 30053	. 2 ⊢ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 ∧ Fun ◡𝐻))
23	8, 21, 22	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ifcif 4487   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104   + caddc 11107   ≤ cle 11248   − cmin 11445  ℤcz 12595  ...cfz 13539  ..^cfzo 13687  ♯chash 14371  Word cword 14555   cyclShift ccsh 14830  Vtxcvtx 29355  iEdgciedg 29356  Walkscwlks 29955  Trailsctrls 30047  Circuitsccrcts 30142

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-mod 13908  df-hash 14372  df-word 14556  df-concat 14613  df-substr 14684  df-pfx 14714  df-csh 14831  df-wlks 29958  df-trls 30049  df-crcts 30144

This theorem is used by:  crctcsh  30182  eucrctshift  30603