Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshtrl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshtrl 27607
 Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a trail ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshtrl (𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem crctcshtrl
StepHypRef Expression
1 crctcsh.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 crctcsh.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 crctcsh.d . . 3 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4 crctcsh.n . . 3 𝑁 = (♯‘𝐹)
5 crctcsh.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 crctcsh.h . . 3 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 crctcsh.q . . 3 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshwlk 27606 . 2 (𝜑𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
9 crctistrl 27582 . . . . 5 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
102trlf1 27486 . . . . . 6 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
11 df-f1 6339 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
12 iswrdi 13861 . . . . . . . 8 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
1312anim1i 617 . . . . . . 7 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
1411, 13sylbi 220 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
1510, 14syl 17 . . . . 5 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
163, 9, 153syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
17 elfzoelz 13033 . . . . 5 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
185, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
19 df-3an 1086 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹𝑆 ∈ ℤ) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑆 ∈ ℤ))
2016, 18, 19sylanbrc 586 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹𝑆 ∈ ℤ))
21 cshinj 14164 . . 3 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹𝑆 ∈ ℤ) → (𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → Fun 𝐻))
2220, 6, 21mpisyl 21 . 2 (𝜑 → Fun 𝐻)
23 istrl 27484 . 2 (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 ∧ Fun 𝐻))
248, 22, 23sylanbrc 586 1 (𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ifcif 4439   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ◡ccnv 5531  dom cdm 5532  Fun wfun 6328  ⟶wf 6330  –1-1→wf1 6331  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526   + caddc 10529   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Word cword 13857   cyclShift ccsh 14141  Vtxcvtx 26787  iEdgciedg 26788  Walkscwlks 27384  Trailsctrls 27478  Circuitsccrcts 27571 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-csh 14142  df-wlks 27387  df-trls 27480  df-crcts 27573 This theorem is referenced by:  crctcsh  27608  eucrctshift  28026
 Copyright terms: Public domain W3C validator