Theorem crctcshtrl 29678

Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a trail ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshtrl	⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem crctcshtrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		crctcsh.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		crctcsh.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		crctcsh.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		crctcsh.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		crctcsh.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		crctcsh.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshwlk 29677	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
9		crctistrl 29653	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10	2	trlf1 29556	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
11		df-f1 6548	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
12		iswrdi 14500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
13	12	anim1i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
14	11, 13	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
15	10, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
16	3, 9, 15	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
17		elfzoelz 13664	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
18	5, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
19		df-3an 1086	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑆 ∈ ℤ))
20	16, 18, 19	sylanbrc 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ))
21		cshinj 14793	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → Fun ◡𝐻))
22	20, 6, 21	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐻)
23		istrl 29554	. 2 ⊢ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 ∧ Fun ◡𝐻))
24	8, 22, 23	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4524   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ^◡ccnv 5671  dom cdm 5672  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138   + caddc 11141   ≤ cle 11279   − cmin 11474  ℤcz 12588  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  ♯chash 14321  Word cword 14496   cyclShift ccsh 14770  Vtxcvtx 28853  iEdgciedg 28854  Walkscwlks 29454  Trailsctrls 29548  Circuitsccrcts 29642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-csh 14771  df-wlks 29457  df-trls 29550  df-crcts 29644

This theorem is referenced by:  crctcsh  29679  eucrctshift  30097