Theorem crctcshtrl 27595

Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a trail ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshtrl	⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem crctcshtrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		crctcsh.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		crctcsh.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		crctcsh.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		crctcsh.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		crctcsh.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		crctcsh.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshwlk 27594	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
9		crctistrl 27570	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10	2	trlf1 27474	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
11		df-f1 6355	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
12		iswrdi 13859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
13	12	anim1i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
14	11, 13	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
15	10, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
16	3, 9, 15	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
17		elfzoelz 13032	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
18	5, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
19		df-3an 1085	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑆 ∈ ℤ))
20	16, 18, 19	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ))
21		cshinj 14167	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → Fun ◡𝐻))
22	20, 6, 21	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐻)
23		istrl 27472	. 2 ⊢ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 ∧ Fun ◡𝐻))
24	8, 22, 23	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ifcif 4467   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139  ^◡ccnv 5549  dom cdm 5550  Fun wfun 6344  ⟶wf 6346  –1-1→wf1 6347  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  0cc0 10531   + caddc 10534   ≤ cle 10670   − cmin 10864  ℤcz 11975  ...cfz 12886  ..^cfzo 13027  ♯chash 13684  Word cword 13855   cyclShift ccsh 14144  Vtxcvtx 26775  iEdgciedg 26776  Walkscwlks 27372  Trailsctrls 27466  Circuitsccrcts 27559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13917  df-substr 13997  df-pfx 14027  df-csh 14145  df-wlks 27375  df-trls 27468  df-crcts 27561

This theorem is referenced by:  crctcsh  27596  eucrctshift  28016