Theorem crctcshtrl 30439

Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a trail ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshtrl	⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem crctcshtrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		crctcsh.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		crctcsh.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		crctcsh.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		crctcsh.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		crctcsh.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		crctcsh.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshwlk 30438	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
9		crctistrl 30409	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10	2	trlf1 30308	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1dom 𝐼)
11		df-f1 6560	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
12		iswrdi 14686	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
13	12	anim1i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
14	11, 13	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶1-1dom 𝐼 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
15	3, 9, 10, 14	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
16		elfzoelz 13817	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
17	5, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
18		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑆 ∈ ℤ))
19	15, 17, 18	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ))
20		cshinj 14987	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → Fun ◡𝐻))
21	19, 6, 20	mpisyl 22	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐻)
22		istrl 30306	. 2 ⊢ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 ∧ Fun ◡𝐻))
23	8, 21, 22	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  Fun wfun 6549  ⟶wf 6551  ⟶1-1wf1 6552  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224   + caddc 11227   ≤ cle 11368   − cmin 11565  ℤcz 12717  ...cfz 13663  ..^cfzo 13812  ♯chash 14498  Word cword 14682   cyclShift ccsh 14964  Vtxcvtx 29601  iEdgciedg 29602  Walkscwlks 30204  Trailsctrls 30300  Circuitsccrcts 30398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-substr 14814  df-pfx 14846  df-csh 14965  df-wlks 30207  df-trls 30302  df-crcts 30400

This theorem is used by:  crctcsh  30440  eucrctshift  30871