MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshtrl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshtrl 29853
Description: Cyclically shifting the indices of a circuit 𝐹, 𝑃 results in a trail 𝐻, 𝑄. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshtrl (𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem crctcshtrl
StepHypRef Expression
1 crctcsh.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 crctcsh.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 crctcsh.d . . 3 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4 crctcsh.n . . 3 𝑁 = (♯‘𝐹)
5 crctcsh.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 crctcsh.h . . 3 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 crctcsh.q . . 3 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshwlk 29852 . 2 (𝜑𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
9 crctistrl 29828 . . . . 5 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
102trlf1 29731 . . . . 5 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
11 df-f1 6568 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
12 iswrdi 14553 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
1312anim1i 615 . . . . . 6 ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
1411, 13sylbi 217 . . . . 5 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
153, 9, 10, 144syl 19 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
16 elfzoelz 13696 . . . . 5 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
175, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
18 df-3an 1088 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹𝑆 ∈ ℤ) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑆 ∈ ℤ))
1915, 17, 18sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹𝑆 ∈ ℤ))
20 cshinj 14846 . . 3 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹𝑆 ∈ ℤ) → (𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → Fun 𝐻))
2119, 6, 20mpisyl 21 . 2 (𝜑 → Fun 𝐻)
22 istrl 29729 . 2 (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 ∧ Fun 𝐻))
238, 21, 22sylanbrc 583 1 (𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  dom cdm 5689  Fun wfun 6557  wf 6559  1-1wf1 6560  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153   + caddc 11156  cle 11294  cmin 11490  cz 12611  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   cyclShift ccsh 14823  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Walkscwlks 29629  Trailsctrls 29723  Circuitsccrcts 29817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-csh 14824  df-wlks 29632  df-trls 29725  df-crcts 29819
This theorem is referenced by:  crctcsh  29854  eucrctshift  30272
  Copyright terms: Public domain W3C validator