MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshlem3 27299
Description: Lemma for crctcsh 27304. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshlem3 (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem crctcshlem3
StepHypRef Expression
1 crctcsh.d . . 3 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
2 crctistrl 27278 . . 3 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
3 trliswlk 27179 . . . 4 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4 wlkv 27091 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
5 simp1 1116 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
63, 4, 53syl 18 . . 3 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐺 ∈ V)
71, 2, 63syl 18 . 2 (𝜑𝐺 ∈ V)
8 crctcsh.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
98ovexi 7003 . . 3 𝐻 ∈ V
109a1i 11 . 2 (𝜑𝐻 ∈ V)
11 crctcsh.q . . . 4 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
12 ovex 7002 . . . . 5 (0...𝑁) ∈ V
1312mptex 6806 . . . 4 (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) ∈ V
1411, 13eqeltri 2856 . . 3 𝑄 ∈ V
1514a1i 11 . 2 (𝜑𝑄 ∈ V)
167, 10, 153jca 1108 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3409  ifcif 4344   class class class wbr 4923  cmpt 5002  cfv 6182  (class class class)co 6970  0cc0 10329   + caddc 10332  cle 10469  cmin 10664  ...cfz 12702  ..^cfzo 12843  chash 13499   cyclShift ccsh 14001  Vtxcvtx 26478  iEdgciedg 26479  Walkscwlks 27075  Trailsctrls 27172  Circuitsccrcts 27267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-ifp 1044  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-card 9156  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-hash 13500  df-word 13667  df-wlks 27078  df-trls 27174  df-crcts 27269
This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0  27301
  Copyright terms: Public domain W3C validator