Theorem crctcshlem3 30149

Description: Lemma for crctcsh 30154. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshlem3	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem crctcshlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
2		crctistrl 30125	. . 3 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
3		trliswlk 30026	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		wlkv 29943	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
5		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐺 ∈ V)
7	1, 2, 6	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
8		crctcsh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
9	8	ovexi 7446	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
11		crctcsh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
12		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ (0...𝑁) ∈ V
13	12	mptex 7223	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) ∈ V
14	11, 13	eqeltri 2859	. . 3 ⊢ 𝑄 ∈ V
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ V)
16	7, 10, 15	3jca 1146	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ifcif 4488   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101   + caddc 11104   ≤ cle 11245   − cmin 11442  ...cfz 13536  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368   cyclShift ccsh 14827  Vtxcvtx 29327  iEdgciedg 29328  Walkscwlks 29927  Trailsctrls 30019  Circuitsccrcts 30114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-wlks 29930  df-trls 30021  df-crcts 30116

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0  30151