MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshlem3 29672
Description: Lemma for crctcsh 29677. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
crctcsh.d (πœ‘ β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
crctcsh.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshlem3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝑄(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem crctcshlem3
StepHypRef Expression
1 crctcsh.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
2 crctistrl 29651 . . 3 (𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
3 trliswlk 29553 . . . 4 (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
4 wlkv 29468 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
5 simp1 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ 𝐺 ∈ V)
63, 4, 53syl 18 . . 3 (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐺 ∈ V)
71, 2, 63syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ V)
8 crctcsh.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
98ovexi 7449 . . 3 𝐻 ∈ V
109a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
11 crctcsh.q . . . 4 𝑄 = (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))))
12 ovex 7448 . . . . 5 (0...𝑁) ∈ V
1312mptex 7230 . . . 4 (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁)))) ∈ V
1411, 13eqeltri 2821 . . 3 𝑄 ∈ V
1514a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ V)
167, 10, 153jca 1125 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  ifcif 4524   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136   + caddc 11139   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  ...cfz 13514  ..^cfzo 13657  β™―chash 14319   cyclShift ccsh 14768  Vtxcvtx 28851  iEdgciedg 28852  Walkscwlks 29452  Trailsctrls 29546  Circuitsccrcts 29640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-hash 14320  df-word 14495  df-wlks 29455  df-trls 29548  df-crcts 29642
This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0  29674
  Copyright terms: Public domain W3C validator