Theorem crctcshwlk 30441

Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a walk ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlk	⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		crctcsh.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		crctcsh.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		crctcsh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		crctcsh.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		crctcsh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		crctcsh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshlem4 30439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))
9		crctistrl 30412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10		trliswlk 30310	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
11	3, 9, 10	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
12		breq12 5111	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 ↔ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
13	11, 12	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄))
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄))
15	8, 14	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshwlkn0 30440	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
17	15, 16	pm2.61dane 3046	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227   + caddc 11230   ≤ cle 11371   − cmin 11568  ...cfz 13666  ..^cfzo 13815  ♯chash 14501   cyclShift ccsh 14967  Vtxcvtx 29604  iEdgciedg 29605  Walkscwlks 30207  Trailsctrls 30303  Circuitsccrcts 30401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-substr 14817  df-pfx 14849  df-csh 14968  df-wlks 30210  df-trls 30305  df-crcts 30403

This theorem is used by:  crctcshtrl  30442