MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshwlk 28088
Description: Cyclically shifting the indices of a circuit 𝐹, 𝑃 results in a walk 𝐻, 𝑄. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshwlk (𝜑𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlk
StepHypRef Expression
1 crctcsh.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 crctcsh.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 crctcsh.d . . . 4 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4 crctcsh.n . . . 4 𝑁 = (♯‘𝐹)
5 crctcsh.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 crctcsh.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 crctcsh.q . . . 4 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshlem4 28086 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃))
9 crctistrl 28064 . . . . . 6 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10 trliswlk 27967 . . . . . 6 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
113, 9, 103syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
12 breq12 5075 . . . . 5 ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
1311, 12syl5ibrcom 246 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄))
1413adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄))
158, 14mpd 15 . 2 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshwlkn0 28087 . 2 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
1715, 16pm2.61dane 3031 1 (𝜑𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2108  ifcif 4456   class class class wbr 5070  cmpt 5153  cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802   + caddc 10805  cle 10941  cmin 11135  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  chash 13972   cyclShift ccsh 14429  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  Walkscwlks 27866  Trailsctrls 27960  Circuitsccrcts 28053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-csh 14430  df-wlks 27869  df-trls 27962  df-crcts 28055
This theorem is referenced by:  crctcshtrl  28089
  Copyright terms: Public domain W3C validator