Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshwlk 27611
 Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a walk ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshwlk (𝜑𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlk
StepHypRef Expression
1 crctcsh.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 crctcsh.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 crctcsh.d . . . 4 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4 crctcsh.n . . . 4 𝑁 = (♯‘𝐹)
5 crctcsh.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 crctcsh.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 crctcsh.q . . . 4 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshlem4 27609 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃))
9 crctistrl 27587 . . . . . 6 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10 trliswlk 27490 . . . . . 6 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
113, 9, 103syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
12 breq12 5038 . . . . 5 ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
1311, 12syl5ibrcom 250 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄))
1413adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄))
158, 14mpd 15 . 2 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshwlkn0 27610 . 2 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
1715, 16pm2.61dane 3077 1 (𝜑𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530   + caddc 10533   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  ♯chash 13690   cyclShift ccsh 14145  Vtxcvtx 26792  iEdgciedg 26793  Walkscwlks 27389  Trailsctrls 27483  Circuitsccrcts 27576 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-csh 14146  df-wlks 27392  df-trls 27485  df-crcts 27578 This theorem is referenced by:  crctcshtrl  27612
 Copyright terms: Public domain W3C validator