Theorem csbrecsg 37697

Description: Move class substitution in and out of recs. (Contributed by ML, 25-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
csbrecsg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌recs(𝐹) = recs(⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))

Proof of Theorem csbrecsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbwrecsg 8265	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌wrecs( E , On, 𝐹) = wrecs(⦋𝐴 / 𝑥⦌ E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
2		csbconstg 3857	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌ E = E )
3		wrecseq1 8262	. . . 4 ⊢ (⦋𝐴 / 𝑥⦌ E = E → wrecs(⦋𝐴 / 𝑥⦌ E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → wrecs(⦋𝐴 / 𝑥⦌ E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
5		csbconstg 3857	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌On = On)
6		wrecseq2 8263	. . . 4 ⊢ (⦋𝐴 / 𝑥⦌On = On → wrecs( E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → wrecs( E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
8	1, 4, 7	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌wrecs( E , On, 𝐹) = wrecs( E , On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
9		df-recs 8308	. . 3 ⊢ recs(𝐹) = wrecs( E , On, 𝐹)
10	9	csbeq2i 3846	. 2 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌recs(𝐹) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌wrecs( E , On, 𝐹)
11		df-recs 8308	. 2 ⊢ recs(⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹)
12	8, 10, 11	3eqtr4g 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌recs(𝐹) = recs(⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⦋csb 3838   E cep 5524  Oncon0 6317  wrecscwrecs 8258  recscrecs 8307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-xp 5631  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7366  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308

This theorem is referenced by:  csbrdgg  37698