Theorem csbrecsg 37311

Description: Move class substitution in and out of recs. (Contributed by ML, 25-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
csbrecsg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌recs(𝐹) = recs(⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))

Proof of Theorem csbrecsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbwrecsg 8299	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌wrecs( E , On, 𝐹) = wrecs(⦋𝐴 / 𝑥⦌ E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
2		csbconstg 3883	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌ E = E )
3		wrecseq1 8296	. . . 4 ⊢ (⦋𝐴 / 𝑥⦌ E = E → wrecs(⦋𝐴 / 𝑥⦌ E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → wrecs(⦋𝐴 / 𝑥⦌ E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
5		csbconstg 3883	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌On = On)
6		wrecseq2 8297	. . . 4 ⊢ (⦋𝐴 / 𝑥⦌On = On → wrecs( E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → wrecs( E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
8	1, 4, 7	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌wrecs( E , On, 𝐹) = wrecs( E , On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
9		df-recs 8342	. . 3 ⊢ recs(𝐹) = wrecs( E , On, 𝐹)
10	9	csbeq2i 3872	. 2 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌recs(𝐹) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌wrecs( E , On, 𝐹)
11		df-recs 8342	. 2 ⊢ recs(⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹)
12	8, 10, 11	3eqtr4g 2790	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌recs(𝐹) = recs(⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⦋csb 3864   E cep 5539  Oncon0 6334  wrecscwrecs 8292  recscrecs 8341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-xp 5646  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-iota 6466  df-fv 6521  df-ov 7392  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342

This theorem is referenced by:  csbrdgg  37312