Theorem csbrecsg 37644

Description: Move class substitution in and out of recs. (Contributed by ML, 25-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
csbrecsg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌recs(𝐹) = recs(⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))

Proof of Theorem csbrecsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbwrecsg 8268	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌wrecs( E , On, 𝐹) = wrecs(⦋𝐴 / 𝑥⦌ E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
2		csbconstg 3856	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌ E = E )
3		wrecseq1 8265	. . . 4 ⊢ (⦋𝐴 / 𝑥⦌ E = E → wrecs(⦋𝐴 / 𝑥⦌ E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → wrecs(⦋𝐴 / 𝑥⦌ E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
5		csbconstg 3856	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌On = On)
6		wrecseq2 8266	. . . 4 ⊢ (⦋𝐴 / 𝑥⦌On = On → wrecs( E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → wrecs( E , ⦋𝐴 / 𝑥⦌On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
8	1, 4, 7	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌wrecs( E , On, 𝐹) = wrecs( E , On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))
9		df-recs 8311	. . 3 ⊢ recs(𝐹) = wrecs( E , On, 𝐹)
10	9	csbeq2i 3845	. 2 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌recs(𝐹) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌wrecs( E , On, 𝐹)
11		df-recs 8311	. 2 ⊢ recs(⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹) = wrecs( E , On, ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹)
12	8, 10, 11	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌recs(𝐹) = recs(⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⦋csb 3837   E cep 5530  Oncon0 6323  wrecscwrecs 8261  recscrecs 8310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311

This theorem is referenced by:  csbrdgg  37645