Theorem iccioo01 35425

Description: The closed unit interval is equinumerous to the open unit interval. Based on a Mastodon post by Michael Kinyon. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iccioo01	⊢ (0[,]1) ≈ (0(,)1)

Proof of Theorem iccioo01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 11986	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
2		nnrecre 11945	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
4		halfre 12117	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5		2lt4 12078	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6		2re 11977	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 11987	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2pos 12006	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		4pos 12010	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
10	6, 7, 8, 9	ltrecii 11821	. . . . 5 ⊢ (2 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 2))
11	5, 10	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (1 / 4) < (1 / 2)
12		iccen 13158	. . . 4 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 4) < (1 / 2)) → (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)))
13	3, 4, 11, 12	mp3an 1459	. . 3 ⊢ (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2))
14		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (0(,)1) ∈ V
15		0xr 10953	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
16		1xr 10965	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
17	7, 9	recgt0ii 11811	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 4)
18		halflt1 12121	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
19		iccssioo 13077	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 < (1 / 4) ∧ (1 / 2) < 1)) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1))
20	15, 16, 17, 18, 19	mp4an 689	. . . 4 ⊢ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1)
21		ssdomg 8741	. . . 4 ⊢ ((0(,)1) ∈ V → (((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)))
22	14, 20, 21	mp2 9	. . 3 ⊢ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)
23		endomtr 8753	. . 3 ⊢ (((0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ∧ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)) → (0[,]1) ≼ (0(,)1))
24	13, 22, 23	mp2an 688	. 2 ⊢ (0[,]1) ≼ (0(,)1)
25		ovex 7288	. . 3 ⊢ (0[,]1) ∈ V
26		ioossicc 13094	. . 3 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
27		ssdomg 8741	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ∈ V → ((0(,)1) ⊆ (0[,]1) → (0(,)1) ≼ (0[,]1)))
28	25, 26, 27	mp2 9	. 2 ⊢ (0(,)1) ≼ (0[,]1)
29		sbth 8833	. 2 ⊢ (((0[,]1) ≼ (0(,)1) ∧ (0(,)1) ≼ (0[,]1)) → (0[,]1) ≈ (0(,)1))
30	24, 28, 29	mp2an 688	1 ⊢ (0[,]1) ≈ (0(,)1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  4c4 11960  (,)cioo 13008  [,]cicc 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-rp 12660  df-ioo 13012  df-icc 13015

This theorem is referenced by: (None)