Theorem iccioo01 36863

Description: The closed unit interval is equinumerous to the open unit interval. Based on a Mastodon post by Michael Kinyon. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iccioo01	⊢ (0[,]1) ≈ (0(,)1)

Proof of Theorem iccioo01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 12325	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
2		nnrecre 12284	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
4		halfre 12456	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5		2lt4 12417	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6		2re 12316	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12326	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2pos 12345	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		4pos 12349	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
10	6, 7, 8, 9	ltrecii 12160	. . . . 5 ⊢ (2 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 2))
11	5, 10	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (1 / 4) < (1 / 2)
12		iccen 13506	. . . 4 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 4) < (1 / 2)) → (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)))
13	3, 4, 11, 12	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2))
14		ovex 7449	. . . 4 ⊢ (0(,)1) ∈ V
15		0xr 11291	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
16		1xr 11303	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
17	7, 9	recgt0ii 12150	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 4)
18		halflt1 12460	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
19		iccssioo 13425	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 < (1 / 4) ∧ (1 / 2) < 1)) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1))
20	15, 16, 17, 18, 19	mp4an 691	. . . 4 ⊢ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1)
21		ssdomg 9019	. . . 4 ⊢ ((0(,)1) ∈ V → (((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)))
22	14, 20, 21	mp2 9	. . 3 ⊢ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)
23		endomtr 9031	. . 3 ⊢ (((0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ∧ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)) → (0[,]1) ≼ (0(,)1))
24	13, 22, 23	mp2an 690	. 2 ⊢ (0[,]1) ≼ (0(,)1)
25		ovex 7449	. . 3 ⊢ (0[,]1) ∈ V
26		ioossicc 13442	. . 3 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
27		ssdomg 9019	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ∈ V → ((0(,)1) ⊆ (0[,]1) → (0(,)1) ≼ (0[,]1)))
28	25, 26, 27	mp2 9	. 2 ⊢ (0(,)1) ≼ (0[,]1)
29		sbth 9116	. 2 ⊢ (((0[,]1) ≼ (0(,)1) ∧ (0(,)1) ≼ (0[,]1)) → (0[,]1) ≈ (0(,)1))
30	24, 28, 29	mp2an 690	1 ⊢ (0[,]1) ≈ (0(,)1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416   ≈ cen 8959   ≼ cdom 8960  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139  ℝ^*cxr 11277   < clt 11278   / cdiv 11901  ℕcn 12242  2c2 12297  4c4 12299  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-rp 13007  df-ioo 13360  df-icc 13363

This theorem is referenced by: (None)