Theorem iccioo01 37310

Description: The closed unit interval is equinumerous to the open unit interval. Based on a Mastodon post by Michael Kinyon. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iccioo01	⊢ (0[,]1) ≈ (0(,)1)

Proof of Theorem iccioo01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 12347	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
2		nnrecre 12306	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
4		halfre 12478	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5		2lt4 12439	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6		2re 12338	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12348	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2pos 12367	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		4pos 12371	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
10	6, 7, 8, 9	ltrecii 12182	. . . . 5 ⊢ (2 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 2))
11	5, 10	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (1 / 4) < (1 / 2)
12		iccen 13534	. . . 4 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 4) < (1 / 2)) → (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)))
13	3, 4, 11, 12	mp3an 1460	. . 3 ⊢ (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2))
14		ovex 7464	. . . 4 ⊢ (0(,)1) ∈ V
15		0xr 11306	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
16		1xr 11318	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
17	7, 9	recgt0ii 12172	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 4)
18		halflt1 12482	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
19		iccssioo 13453	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 < (1 / 4) ∧ (1 / 2) < 1)) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1))
20	15, 16, 17, 18, 19	mp4an 693	. . . 4 ⊢ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1)
21		ssdomg 9039	. . . 4 ⊢ ((0(,)1) ∈ V → (((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)))
22	14, 20, 21	mp2 9	. . 3 ⊢ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)
23		endomtr 9051	. . 3 ⊢ (((0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ∧ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)) → (0[,]1) ≼ (0(,)1))
24	13, 22, 23	mp2an 692	. 2 ⊢ (0[,]1) ≼ (0(,)1)
25		ovex 7464	. . 3 ⊢ (0[,]1) ∈ V
26		ioossicc 13470	. . 3 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
27		ssdomg 9039	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ∈ V → ((0(,)1) ⊆ (0[,]1) → (0(,)1) ≼ (0[,]1)))
28	25, 26, 27	mp2 9	. 2 ⊢ (0(,)1) ≼ (0[,]1)
29		sbth 9132	. 2 ⊢ (((0[,]1) ≼ (0(,)1) ∧ (0(,)1) ≼ (0[,]1)) → (0[,]1) ≈ (0(,)1))
30	24, 28, 29	mp2an 692	1 ⊢ (0[,]1) ≈ (0(,)1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319  4c4 12321  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-icc 13391

This theorem is referenced by: (None)