Theorem iccioo01 37660

Description: The closed unit interval is equinumerous to the open unit interval. Based on a Mastodon post by Michael Kinyon. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iccioo01	⊢ (0[,]1) ≈ (0(,)1)

Proof of Theorem iccioo01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 12258	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
2		nnrecre 12213	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
4		halfre 12384	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5		2lt4 12345	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6		2re 12249	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12259	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2pos 12278	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		4pos 12282	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
10	6, 7, 8, 9	ltrecii 12066	. . . . 5 ⊢ (2 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 2))
11	5, 10	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (1 / 4) < (1 / 2)
12		iccen 13444	. . . 4 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 4) < (1 / 2)) → (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)))
13	3, 4, 11, 12	mp3an 1464	. . 3 ⊢ (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2))
14		ovex 7394	. . . 4 ⊢ (0(,)1) ∈ V
15		0xr 11186	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
16		1xr 11198	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
17	7, 9	recgt0ii 12056	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 4)
18		halflt1 12388	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
19		iccssioo 13362	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 < (1 / 4) ∧ (1 / 2) < 1)) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1))
20	15, 16, 17, 18, 19	mp4an 694	. . . 4 ⊢ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1)
21		ssdomg 8941	. . . 4 ⊢ ((0(,)1) ∈ V → (((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)))
22	14, 20, 21	mp2 9	. . 3 ⊢ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)
23		endomtr 8953	. . 3 ⊢ (((0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ∧ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)) → (0[,]1) ≼ (0(,)1))
24	13, 22, 23	mp2an 693	. 2 ⊢ (0[,]1) ≼ (0(,)1)
25		ovex 7394	. . 3 ⊢ (0[,]1) ∈ V
26		ioossicc 13380	. . 3 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
27		ssdomg 8941	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ∈ V → ((0(,)1) ⊆ (0[,]1) → (0(,)1) ≼ (0[,]1)))
28	25, 26, 27	mp2 9	. 2 ⊢ (0(,)1) ≼ (0[,]1)
29		sbth 9029	. 2 ⊢ (((0[,]1) ≼ (0(,)1) ∧ (0(,)1) ≼ (0[,]1)) → (0[,]1) ≈ (0(,)1))
30	24, 28, 29	mp2an 693	1 ⊢ (0[,]1) ≈ (0(,)1)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361   ≈ cen 8884   ≼ cdom 8885  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   / cdiv 11801  ℕcn 12168  2c2 12230  4c4 12232  (,)cioo 13292  [,]cicc 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-rp 12937  df-ioo 13296  df-icc 13299

This theorem is referenced by: (None)