Theorem iccioo01 38326

Description: The closed unit interval is equinumerous to the open unit interval. Based on a Mastodon post by Michael Kinyon. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iccioo01	⊢ (0[,]1) ≈ (0(,)1)

Proof of Theorem iccioo01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 12427	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
2		nnrecre 12381	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
4		halfre 12560	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5		2lt4 12521	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6		2re 12418	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12428	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2pos 12448	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		4pos 12454	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
10	6, 7, 8, 9	ltrecii 12234	. . . . 5 ⊢ (2 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 2))
11	5, 10	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (1 / 4) < (1 / 2)
12		iccen 13629	. . . 4 ⊢ (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 4) < (1 / 2)) → (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)))
13	3, 4, 11, 12	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2))
14		ovex 7453	. . . 4 ⊢ (0(,)1) ∈ V
15		0xr 11357	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
16		1xr 11369	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
17	7, 9	recgt0ii 12224	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 4)
18		halflt1 12564	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
19		iccssioo 13547	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 < (1 / 4) ∧ (1 / 2) < 1)) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1))
20	15, 16, 17, 18, 19	mp4an 706	. . . 4 ⊢ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1)
21		ssdomg 9028	. . . 4 ⊢ ((0(,)1) ∈ V → (((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)))
22	14, 20, 21	mp2 9	. . 3 ⊢ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)
23		endomtr 9040	. . 3 ⊢ (((0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ∧ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)) → (0[,]1) ≼ (0(,)1))
24	13, 22, 23	mp2an 705	. 2 ⊢ (0[,]1) ≼ (0(,)1)
25		ovex 7453	. . 3 ⊢ (0[,]1) ∈ V
26		ioossicc 13565	. . 3 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
27		ssdomg 9028	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ∈ V → ((0(,)1) ⊆ (0[,]1) → (0(,)1) ≼ (0[,]1)))
28	25, 26, 27	mp2 9	. 2 ⊢ (0(,)1) ≼ (0[,]1)
29		sbth 9117	. 2 ⊢ (((0[,]1) ≼ (0(,)1) ∧ (0(,)1) ≼ (0[,]1)) → (0[,]1) ≈ (0(,)1))
30	24, 28, 29	mp2an 705	1 ⊢ (0[,]1) ≈ (0(,)1)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420   ≈ cen 8971   ≼ cdom 8972  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202  ℝ^*cxr 11343   < clt 11344   / cdiv 11974  ℕcn 12336  2c2 12398  4c4 12400  (,)cioo 13477  [,]cicc 13480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-rp 13122  df-ioo 13481  df-icc 13484

This theorem is used by: (None)