Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccioo01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccioo01 34736
 Description: The closed unit interval is equinumerous to the open unit interval. Based on a Mastodon post by Michael Kinyon. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
iccioo01 (0[,]1) ≈ (0(,)1)

Proof of Theorem iccioo01
StepHypRef Expression
1 4nn 11712 . . . . 5 4 ∈ ℕ
2 nnrecre 11671 . . . . 5 (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1 / 4) ∈ ℝ
4 halfre 11843 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ
5 2lt4 11804 . . . . 5 2 < 4
6 2re 11703 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 4re 11713 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8 2pos 11732 . . . . . 6 0 < 2
9 4pos 11736 . . . . . 6 0 < 4
106, 7, 8, 9ltrecii 11549 . . . . 5 (2 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 2))
115, 10mpbi 233 . . . 4 (1 / 4) < (1 / 2)
12 iccen 12879 . . . 4 (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 4) < (1 / 2)) → (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)))
133, 4, 11, 12mp3an 1458 . . 3 (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2))
14 ovex 7172 . . . 4 (0(,)1) ∈ V
15 0xr 10681 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
16 1xr 10693 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
177, 9recgt0ii 11539 . . . . 5 0 < (1 / 4)
18 halflt1 11847 . . . . 5 (1 / 2) < 1
19 iccssioo 12798 . . . . 5 (((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 < (1 / 4) ∧ (1 / 2) < 1)) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1))
2015, 16, 17, 18, 19mp4an 692 . . . 4 ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1)
21 ssdomg 8542 . . . 4 ((0(,)1) ∈ V → (((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)))
2214, 20, 21mp2 9 . . 3 ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)
23 endomtr 8554 . . 3 (((0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ∧ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)) → (0[,]1) ≼ (0(,)1))
2413, 22, 23mp2an 691 . 2 (0[,]1) ≼ (0(,)1)
25 ovex 7172 . . 3 (0[,]1) ∈ V
26 ioossicc 12815 . . 3 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
27 ssdomg 8542 . . 3 ((0[,]1) ∈ V → ((0(,)1) ⊆ (0[,]1) → (0(,)1) ≼ (0[,]1)))
2825, 26, 27mp2 9 . 2 (0(,)1) ≼ (0[,]1)
29 sbth 8625 . 2 (((0[,]1) ≼ (0(,)1) ∧ (0(,)1) ≼ (0[,]1)) → (0[,]1) ≈ (0(,)1))
3024, 28, 29mp2an 691 1 (0[,]1) ≈ (0(,)1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139   ≈ cen 8493   ≼ cdom 8494  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   / cdiv 11290  ℕcn 11629  2c2 11684  4c4 11686  (,)cioo 12730  [,]cicc 12733 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-rp 12382  df-ioo 12734  df-icc 12737 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator