Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccioo01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccioo01 36863
Description: The closed unit interval is equinumerous to the open unit interval. Based on a Mastodon post by Michael Kinyon. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
iccioo01 (0[,]1) ≈ (0(,)1)

Proof of Theorem iccioo01
StepHypRef Expression
1 4nn 12325 . . . . 5 4 ∈ ℕ
2 nnrecre 12284 . . . . 5 (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1 / 4) ∈ ℝ
4 halfre 12456 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ
5 2lt4 12417 . . . . 5 2 < 4
6 2re 12316 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 4re 12326 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8 2pos 12345 . . . . . 6 0 < 2
9 4pos 12349 . . . . . 6 0 < 4
106, 7, 8, 9ltrecii 12160 . . . . 5 (2 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 2))
115, 10mpbi 229 . . . 4 (1 / 4) < (1 / 2)
12 iccen 13506 . . . 4 (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 4) < (1 / 2)) → (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)))
133, 4, 11, 12mp3an 1457 . . 3 (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2))
14 ovex 7449 . . . 4 (0(,)1) ∈ V
15 0xr 11291 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
16 1xr 11303 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
177, 9recgt0ii 12150 . . . . 5 0 < (1 / 4)
18 halflt1 12460 . . . . 5 (1 / 2) < 1
19 iccssioo 13425 . . . . 5 (((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 < (1 / 4) ∧ (1 / 2) < 1)) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1))
2015, 16, 17, 18, 19mp4an 691 . . . 4 ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1)
21 ssdomg 9019 . . . 4 ((0(,)1) ∈ V → (((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)))
2214, 20, 21mp2 9 . . 3 ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)
23 endomtr 9031 . . 3 (((0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ∧ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)) → (0[,]1) ≼ (0(,)1))
2413, 22, 23mp2an 690 . 2 (0[,]1) ≼ (0(,)1)
25 ovex 7449 . . 3 (0[,]1) ∈ V
26 ioossicc 13442 . . 3 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
27 ssdomg 9019 . . 3 ((0[,]1) ∈ V → ((0(,)1) ⊆ (0[,]1) → (0(,)1) ≼ (0[,]1)))
2825, 26, 27mp2 9 . 2 (0(,)1) ≼ (0[,]1)
29 sbth 9116 . 2 (((0[,]1) ≼ (0(,)1) ∧ (0(,)1) ≼ (0[,]1)) → (0[,]1) ≈ (0(,)1))
3024, 28, 29mp2an 690 1 (0[,]1) ≈ (0(,)1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2098  Vcvv 3463  wss 3939   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  cen 8959  cdom 8960  cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139  *cxr 11277   < clt 11278   / cdiv 11901  cn 12242  2c2 12297  4c4 12299  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-rp 13007  df-ioo 13360  df-icc 13363
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator