Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccioo01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccioo01 35827
Description: The closed unit interval is equinumerous to the open unit interval. Based on a Mastodon post by Michael Kinyon. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
iccioo01 (0[,]1) ≈ (0(,)1)

Proof of Theorem iccioo01
StepHypRef Expression
1 4nn 12243 . . . . 5 4 ∈ ℕ
2 nnrecre 12202 . . . . 5 (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1 / 4) ∈ ℝ
4 halfre 12374 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ
5 2lt4 12335 . . . . 5 2 < 4
6 2re 12234 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 4re 12244 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8 2pos 12263 . . . . . 6 0 < 2
9 4pos 12267 . . . . . 6 0 < 4
106, 7, 8, 9ltrecii 12078 . . . . 5 (2 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 2))
115, 10mpbi 229 . . . 4 (1 / 4) < (1 / 2)
12 iccen 13421 . . . 4 (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / 4) < (1 / 2)) → (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)))
133, 4, 11, 12mp3an 1462 . . 3 (0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2))
14 ovex 7395 . . . 4 (0(,)1) ∈ V
15 0xr 11209 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
16 1xr 11221 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
177, 9recgt0ii 12068 . . . . 5 0 < (1 / 4)
18 halflt1 12378 . . . . 5 (1 / 2) < 1
19 iccssioo 13340 . . . . 5 (((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 < (1 / 4) ∧ (1 / 2) < 1)) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1))
2015, 16, 17, 18, 19mp4an 692 . . . 4 ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1)
21 ssdomg 8947 . . . 4 ((0(,)1) ∈ V → (((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ (0(,)1) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)))
2214, 20, 21mp2 9 . . 3 ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)
23 endomtr 8959 . . 3 (((0[,]1) ≈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ∧ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ≼ (0(,)1)) → (0[,]1) ≼ (0(,)1))
2413, 22, 23mp2an 691 . 2 (0[,]1) ≼ (0(,)1)
25 ovex 7395 . . 3 (0[,]1) ∈ V
26 ioossicc 13357 . . 3 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
27 ssdomg 8947 . . 3 ((0[,]1) ∈ V → ((0(,)1) ⊆ (0[,]1) → (0(,)1) ≼ (0[,]1)))
2825, 26, 27mp2 9 . 2 (0(,)1) ≼ (0[,]1)
29 sbth 9044 . 2 (((0[,]1) ≼ (0(,)1) ∧ (0(,)1) ≼ (0[,]1)) → (0[,]1) ≈ (0(,)1))
3024, 28, 29mp2an 691 1 (0[,]1) ≈ (0(,)1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  Vcvv 3448  wss 3915   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cen 8887  cdom 8888  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  *cxr 11195   < clt 11196   / cdiv 11819  cn 12160  2c2 12215  4c4 12217  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-rp 12923  df-ioo 13275  df-icc 13278
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator