Theorem ddeval1 31495

Description: Value of the delta measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddeval1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝐴) → (δ‘𝐴) = 1)

Proof of Theorem ddeval1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10630	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	ssex 5227	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
3		elpwg 4544	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
4	3	biimpar 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℝ)
5	2, 4	mpancom 686	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ 𝒫 ℝ)
6		eleq2 2903	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝐴))
7	6	ifbid 4491	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → if(0 ∈ 𝑎, 1, 0) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
8		df-dde 31494	. . . 4 ⊢ δ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0))
9		1ex 10639	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
10		c0ex 10637	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
11	9, 10	ifex 4517	. . . 4 ⊢ if(0 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ V
12	7, 8, 11	fvmpt 6770	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝐴) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
13	5, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (δ‘𝐴) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
14		iftrue 4475	. 2 ⊢ (0 ∈ 𝐴 → if(0 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
15	13, 14	sylan9eq 2878	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝐴) → (δ‘𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  ifcif 4469  𝒫 cpw 4541  ‘cfv 6357  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540  δcdde 31493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-mulcl 10601  ax-i2m1 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365  df-dde 31494

This theorem is referenced by:  ddemeas  31497