Theorem ddeval1 34913

Description: Value of the delta measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddeval1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝐴) → (δ‘𝐴) = 1)

Proof of Theorem ddeval1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11294	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	ssex 5281	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
3		elpwg 4559	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
4	3	biimpar 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℝ)
5	2, 4	mpancom 701	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ 𝒫 ℝ)
6		eleq2 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝐴))
7	6	ifbid 4505	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → if(0 ∈ 𝑎, 1, 0) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
8		df-dde 34912	. . . 4 ⊢ δ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0))
9		1ex 11306	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
10		c0ex 11303	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
11	9, 10	ifex 4532	. . . 4 ⊢ if(0 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ V
12	7, 8, 11	fvmpt 6993	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝐴) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
13	5, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (δ‘𝐴) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
14		iftrue 4487	. 2 ⊢ (0 ∈ 𝐴 → if(0 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
15	13, 14	sylan9eq 2815	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝐴) → (δ‘𝐴) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  ‘cfv 6538  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204  δcdde 34911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-mulcl 11265  ax-i2m1 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-dde 34912

This theorem is used by:  ddemeas  34915