Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ddeval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ddeval1 32897
Description: Value of the delta measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ddeval1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝐴) → (δ‘𝐴) = 1)

Proof of Theorem ddeval1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11150 . . . . 5 ℝ ∈ V
21ssex 5282 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
3 elpwg 4567 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
43biimpar 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℝ)
52, 4mpancom 687 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ 𝒫 ℝ)
6 eleq2 2823 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝐴))
76ifbid 4513 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → if(0 ∈ 𝑎, 1, 0) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
8 df-dde 32896 . . . 4 δ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0))
9 1ex 11159 . . . . 5 1 ∈ V
10 c0ex 11157 . . . . 5 0 ∈ V
119, 10ifex 4540 . . . 4 if(0 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ V
127, 8, 11fvmpt 6952 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝐴) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
135, 12syl 17 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (δ‘𝐴) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
14 iftrue 4496 . 2 (0 ∈ 𝐴 → if(0 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
1513, 14sylan9eq 2793 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝐴) → (δ‘𝐴) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  wss 3914  ifcif 4490  𝒫 cpw 4564  cfv 6500  cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  δcdde 32895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-mulcl 11121  ax-i2m1 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-dde 32896
This theorem is referenced by:  ddemeas  32899
  Copyright terms: Public domain W3C validator