Theorem ddeval0 32203

Description: Value of the delta measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddeval0	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (δ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ddeval0

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10962	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	ssex 5245	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
3		elpwg 4536	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
4	3	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℝ)
5	2, 4	mpancom 685	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ 𝒫 ℝ)
6		eleq2 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝐴))
7	6	ifbid 4482	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → if(0 ∈ 𝑎, 1, 0) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
8		df-dde 32201	. . . 4 ⊢ δ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0))
9		1ex 10971	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
10		c0ex 10969	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
11	9, 10	ifex 4509	. . . 4 ⊢ if(0 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ V
12	7, 8, 11	fvmpt 6875	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝐴) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
13	5, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (δ‘𝐴) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
14		iffalse 4468	. 2 ⊢ (¬ 0 ∈ 𝐴 → if(0 ∈ 𝐴, 1, 0) = 0)
15	13, 14	sylan9eq 2798	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (δ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ifcif 4459  𝒫 cpw 4533  ‘cfv 6433  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872  δcdde 32200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-mulcl 10933  ax-i2m1 10939

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-dde 32201

This theorem is referenced by:  ddemeas  32204