Theorem ddeval0 32182

Description: Value of the delta measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddeval0	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (δ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ddeval0

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10946	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	ssex 5248	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
3		elpwg 4541	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
4	3	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℝ)
5	2, 4	mpancom 684	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ 𝒫 ℝ)
6		eleq2 2828	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝐴))
7	6	ifbid 4487	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → if(0 ∈ 𝑎, 1, 0) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
8		df-dde 32180	. . . 4 ⊢ δ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0))
9		1ex 10955	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
10		c0ex 10953	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
11	9, 10	ifex 4514	. . . 4 ⊢ if(0 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ V
12	7, 8, 11	fvmpt 6869	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝐴) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
13	5, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (δ‘𝐴) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
14		iffalse 4473	. 2 ⊢ (¬ 0 ∈ 𝐴 → if(0 ∈ 𝐴, 1, 0) = 0)
15	13, 14	sylan9eq 2799	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (δ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   ⊆ wss 3891  ifcif 4464  𝒫 cpw 4538  ‘cfv 6430  ℝcr 10854  0cc0 10855  1c1 10856  δcdde 32179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-mulcl 10917  ax-i2m1 10923

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fv 6438  df-dde 32180

This theorem is referenced by:  ddemeas  32183