Theorem ddeval0 33859

Description: Value of the delta measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddeval0	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (δ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ddeval0

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11235	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	ssex 5323	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
3		elpwg 4607	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
4	3	biimpar 476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℝ)
5	2, 4	mpancom 686	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ 𝒫 ℝ)
6		eleq2 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝐴))
7	6	ifbid 4553	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → if(0 ∈ 𝑎, 1, 0) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
8		df-dde 33857	. . . 4 ⊢ δ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0))
9		1ex 11246	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
10		c0ex 11244	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
11	9, 10	ifex 4580	. . . 4 ⊢ if(0 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ V
12	7, 8, 11	fvmpt 7008	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝐴) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
13	5, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (δ‘𝐴) = if(0 ∈ 𝐴, 1, 0))
14		iffalse 4539	. 2 ⊢ (¬ 0 ∈ 𝐴 → if(0 ∈ 𝐴, 1, 0) = 0)
15	13, 14	sylan9eq 2787	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝐴) → (δ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471   ⊆ wss 3947  ifcif 4530  𝒫 cpw 4604  ‘cfv 6551  ℝcr 11143  0cc0 11144  1c1 11145  δcdde 33856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-mulcl 11206  ax-i2m1 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fv 6559  df-dde 33857

This theorem is referenced by:  ddemeas  33860