Theorem ddemeas 30897

Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddemeas	⊢ δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)

Proof of Theorem ddemeas

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 10436	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		0le1 10898	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
3		pnfge 12275	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ +∞
5		0xr 10423	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6		pnfxr 10430	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		elicc1 12531	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞)))
8	5, 6, 7	mp2an 682	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞))
9	1, 2, 4, 8	mpbir3an 1398	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]+∞)
10		0e0iccpnf 12597	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
11	9, 10	ifcli 4353	. . . 4 ⊢ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
12	11	rgenw 3106	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
13		df-dde 30894	. . . 4 ⊢ δ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0))
14	13	fmpt 6644	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞))
15	12, 14	mpbi 222	. 2 ⊢ δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
16		0ss 4198	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℝ
17		noel 4146	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ∅
18		ddeval0 30896	. . 3 ⊢ ((∅ ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ ∅) → (δ‘∅) = 0)
19	16, 17, 18	mp2an 682	. 2 ⊢ (δ‘∅) = 0
20		rabxm 4189	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 = ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})
21		esumeq1 30694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦)
23		nfv 1957	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ
24		nfcv 2934	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}
25		nfcv 2934	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}
26		rabexg 5048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
27		rabexg 5048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
28		rabnc 4190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅
29	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅)
30		elrabi 3567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦 ∈ 𝑥)
31	30	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝑥)
32		simpl 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
33		elelpwi 4392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
34	31, 32, 33	syl2anc 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
35	15	ffvelrni 6622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
37		elrabi 3567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦 ∈ 𝑥)
38	37	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝑥)
39		simpl 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
40	38, 39, 33	syl2anc 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
41	40, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
42	23, 24, 25, 26, 27, 29, 36, 41	esumsplit 30713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
43	22, 42	syl5eq 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
44	43	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
45		esumeq1 30694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
46	45	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
47		simp-4l 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
48		vex 3401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
49	48	rabsnel 29903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 𝑘 ∈ 𝑥)
50	49	adantl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝑥)
51		eleq2w 2843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑘))
52	48, 51	rabsnt 4498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 0 ∈ 𝑘)
53	52	adantl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 0 ∈ 𝑘)
54		elelpwi 4392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
55	54	ancoms 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
56	55	adantrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
57		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → 𝑦 = 𝑘)
58	57	fveq2d 6450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
59	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑘 ∈ V)
60	15	ffvelrni 6622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
61	58, 59, 60	esumsn 30725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
62	56, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
63	56	elpwid 4391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ⊆ ℝ)
64		simprr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 0 ∈ 𝑘)
65		ddeval1 30895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝑘) → (δ‘𝑘) = 1)
66	63, 64, 65	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → (δ‘𝑘) = 1)
67	62, 66	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
68	47, 50, 53, 67	syl12anc 827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
69	46, 68	eqtrd 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
70		df-disj 4855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑘∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦)
71		c0ex 10370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
72		eleq1 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ 𝑦))
73	72	rmobidv 3319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦 ↔ ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
74	71, 73	spcv 3501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑘∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦 → ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
75	70, 74	sylbi 209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 → ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
76		rmo5 3358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
77	76	biimpi 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
78	77	imp 397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
79	75, 78	sylan 575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
80		reusn 4494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
81	79, 80	sylib 210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
82		eleq2w 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑦))
83	82	cbvrabv 3396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦}
84	83	eqeq1i 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ {𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
85	49	ancri 545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
86	84, 85	sylbir 227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
87	86	eximi 1878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘(𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
88		df-rex 3096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ ∃𝑘(𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
89	87, 88	sylibr 226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
90	81, 89	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
91	90	adantll 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
92	69, 91	r19.29a 3264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
93		elpwi 4389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ)
94		sspwuni 4845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
95	93, 94	sylib 210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
96		eluni2 4675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ∪ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
97	96	biimpri 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → 0 ∈ ∪ 𝑥)
98		ddeval1 30895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ ∪ 𝑥) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
99	95, 97, 98	syl2an 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
100	99	adantlr 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
101	92, 100	eqtr4d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
102		nfre1 3186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦
103	102	nfn 1902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦
104	82	elrab 3572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
105	104	exbii 1892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
106		neq0 4158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎})
107		df-rex 3096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
108	105, 106, 107	3bitr4i 295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
109	108	biimpi 208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
110	109	con1i 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅)
111	103, 110	esumeq1d 30695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦))
112		esumnul 30708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦) = 0
113	111, 112	syl6eq 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
114	113	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
115	96	biimpi 208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ∪ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
116	115	con3i 152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ¬ 0 ∈ ∪ 𝑥)
117		ddeval0 30896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ ∪ 𝑥) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
118	95, 116, 117	syl2an 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
119	118	adantlr 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
120	114, 119	eqtr4d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
121	101, 120	pm2.61dan 803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
122	40	elpwid 4391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ⊆ ℝ)
123	82	notbid 310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (¬ 0 ∈ 𝑎 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑦))
124	123	elrab 3572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦))
125	124	simprbi 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → ¬ 0 ∈ 𝑦)
126	125	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → ¬ 0 ∈ 𝑦)
127		ddeval0 30896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦) → (δ‘𝑦) = 0)
128	122, 126, 127	syl2anc 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) = 0)
129	128	esumeq2dv 30698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0)
130		vex 3401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
131	130	rabex 5049	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V
132	25	esum0 30709	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0)
133	131, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0
134	129, 133	syl6eq 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
135	134	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
136	121, 135	oveq12d 6940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)) = ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0))
137		vuniex 7231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
138	137	elpw 4385	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ↔ ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
139	138	biimpri 220	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ⊆ ℝ → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ)
140		iccssxr 12568	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
141	15	ffvelrni 6622	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘∪ 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
142	140, 141	sseldi 3819	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘∪ 𝑥) ∈ ℝ*)
143		xaddid1 12384	. . . . . . . 8 ⊢ ((δ‘∪ 𝑥) ∈ ℝ* → ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘∪ 𝑥))
144	95, 139, 142, 143	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘∪ 𝑥))
145	144	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘∪ 𝑥))
146	44, 136, 145	3eqtrrd 2819	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
147	146	adantrl 706	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
148	147	ex 403	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦)))
149	148	rgen 3104	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
150		reex 10363	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
151		pwsiga 30791	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ))
152	150, 151	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
153		elrnsiga 30787	. . 3 ⊢ (𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝒫 ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
154		ismeas 30860	. . 3 ⊢ (𝒫 ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦)))))
155	152, 153, 154	mp2b 10	. 2 ⊢ (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))))
156	15, 19, 149, 155	mpbir3an 1398	1 ⊢ δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071  ∀wal 1599   = wceq 1601  ∃wex 1823   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  ∃!wreu 3092  ∃*wrmo 3093  {crab 3094  Vcvv 3398   ∪ cun 3790   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  ifcif 4307  𝒫 cpw 4379  {csn 4398  ∪ cuni 4671  Disj wdisj 4854   class class class wbr 4886  ran crn 5356  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ωcom 7343   ≼ cdom 8239  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273  +∞cpnf 10408  ℝ^*cxr 10410   ≤ cle 10412   +_𝑒 cxad 12255  [,]cicc 12490  Σ^*cesum 30687  sigAlgebracsiga 30768  measurescmeas 30856  δcdde 30893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-disj 4855  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-ordt 16547  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-ps 17586  df-tsr 17587  df-plusf 17627  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-subrg 19170  df-abv 19209  df-lmod 19257  df-scaf 19258  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-tmd 22284  df-tgp 22285  df-tsms 22338  df-trg 22371  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-nm 22795  df-ngp 22796  df-nrg 22798  df-nlm 22799  df-ii 23088  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-esum 30688  df-siga 30769  df-meas 30857  df-dde 30894

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