Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ddemeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ddemeas 32875
Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ddemeas Ξ΄ ∈ (measuresβ€˜π’« ℝ)

Proof of Theorem ddemeas
Dummy variables π‘˜ π‘Ž π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1xr 11221 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
2 0le1 11685 . . . . . 6 0 ≀ 1
3 pnfge 13058 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ* β†’ 1 ≀ +∞)
41, 3ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≀ +∞
5 0xr 11209 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
6 pnfxr 11216 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
7 elicc1 13315 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 1 ∧ 1 ≀ +∞)))
85, 6, 7mp2an 691 . . . . . 6 (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 1 ∧ 1 ≀ +∞))
91, 2, 4, 8mpbir3an 1342 . . . . 5 1 ∈ (0[,]+∞)
10 0e0iccpnf 13383 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
119, 10ifcli 4538 . . . 4 if(0 ∈ π‘Ž, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
1211rgenw 3069 . . 3 βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ π‘Ž, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
13 df-dde 32872 . . . 4 Ξ΄ = (π‘Ž ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ π‘Ž, 1, 0))
1413fmpt 7063 . . 3 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ π‘Ž, 1, 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ Ξ΄:𝒫 β„βŸΆ(0[,]+∞))
1512, 14mpbi 229 . 2 Ξ΄:𝒫 β„βŸΆ(0[,]+∞)
16 0ss 4361 . . 3 βˆ… βŠ† ℝ
17 noel 4295 . . 3 Β¬ 0 ∈ βˆ…
18 ddeval0 32874 . . 3 ((βˆ… βŠ† ℝ ∧ Β¬ 0 ∈ βˆ…) β†’ (Ξ΄β€˜βˆ…) = 0)
1916, 17, 18mp2an 691 . 2 (Ξ΄β€˜βˆ…) = 0
20 rabxm 4351 . . . . . . . . 9 π‘₯ = ({π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} βˆͺ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž})
21 esumeq1 32673 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ({π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} βˆͺ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž}) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(Ξ΄β€˜π‘¦) = Ξ£*𝑦 ∈ ({π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} βˆͺ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž})(Ξ΄β€˜π‘¦))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(Ξ΄β€˜π‘¦) = Ξ£*𝑦 ∈ ({π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} βˆͺ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž})(Ξ΄β€˜π‘¦)
23 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦 π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ
24 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦{π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž}
25 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦{π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž}
26 rabexg 5293 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ β†’ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} ∈ V)
27 rabexg 5293 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ β†’ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž} ∈ V)
28 rabnc 4352 . . . . . . . . . 10 ({π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} ∩ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž}) = βˆ…
2928a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ β†’ ({π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} ∩ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž}) = βˆ…)
30 elrabi 3644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
3130adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž}) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
32 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž}) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
33 elelpwi 4575 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
3431, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž}) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
3515ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ β†’ (Ξ΄β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž}) β†’ (Ξ΄β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
37 elrabi 3644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž} β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
3837adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž}) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
39 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž}) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
4038, 39, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž}) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
4140, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž}) β†’ (Ξ΄β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
4223, 24, 25, 26, 27, 29, 36, 41esumsplit 32692 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ β†’ Ξ£*𝑦 ∈ ({π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} βˆͺ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž})(Ξ΄β€˜π‘¦) = (Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦)))
4322, 42eqtrid 2789 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(Ξ΄β€˜π‘¦) = (Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦)))
4443adantr 482 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(Ξ΄β€˜π‘¦) = (Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦)))
45 esumeq1 32673 . . . . . . . . . . . 12 ({π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜} β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) = Ξ£*𝑦 ∈ {π‘˜} (Ξ΄β€˜π‘¦))
4645adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) ∧ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜}) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) = Ξ£*𝑦 ∈ {π‘˜} (Ξ΄β€˜π‘¦))
47 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) ∧ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
48 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘˜ ∈ V
4948rabsnel 31470 . . . . . . . . . . . . 13 ({π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜} β†’ π‘˜ ∈ π‘₯)
5049adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) ∧ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜}) β†’ π‘˜ ∈ π‘₯)
51 eleq2w 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (0 ∈ π‘Ž ↔ 0 ∈ π‘˜))
5248, 51rabsnt 4697 . . . . . . . . . . . . 13 ({π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜} β†’ 0 ∈ π‘˜)
5352adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) ∧ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜}) β†’ 0 ∈ π‘˜)
54 elelpwi 4575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 ℝ)
5554ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 ℝ)
5655adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (π‘˜ ∈ π‘₯ ∧ 0 ∈ π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 ℝ)
57 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = π‘˜) β†’ 𝑦 = π‘˜)
5857fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = π‘˜) β†’ (Ξ΄β€˜π‘¦) = (Ξ΄β€˜π‘˜))
5948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝒫 ℝ β†’ π‘˜ ∈ V)
6015ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝒫 ℝ β†’ (Ξ΄β€˜π‘˜) ∈ (0[,]+∞))
6158, 59, 60esumsn 32704 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝒫 ℝ β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘˜} (Ξ΄β€˜π‘¦) = (Ξ΄β€˜π‘˜))
6256, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (π‘˜ ∈ π‘₯ ∧ 0 ∈ π‘˜)) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘˜} (Ξ΄β€˜π‘¦) = (Ξ΄β€˜π‘˜))
6356elpwid 4574 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (π‘˜ ∈ π‘₯ ∧ 0 ∈ π‘˜)) β†’ π‘˜ βŠ† ℝ)
64 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (π‘˜ ∈ π‘₯ ∧ 0 ∈ π‘˜)) β†’ 0 ∈ π‘˜)
65 ddeval1 32873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ βŠ† ℝ ∧ 0 ∈ π‘˜) β†’ (Ξ΄β€˜π‘˜) = 1)
6663, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (π‘˜ ∈ π‘₯ ∧ 0 ∈ π‘˜)) β†’ (Ξ΄β€˜π‘˜) = 1)
6762, 66eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (π‘˜ ∈ π‘₯ ∧ 0 ∈ π‘˜)) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘˜} (Ξ΄β€˜π‘¦) = 1)
6847, 50, 53, 67syl12anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) ∧ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜}) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘˜} (Ξ΄β€˜π‘¦) = 1)
6946, 68eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) ∧ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜}) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) = 1)
70 df-disj 5076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜βˆƒ*𝑦 ∈ π‘₯ π‘˜ ∈ 𝑦)
71 c0ex 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
72 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ 𝑦))
7372rmobidv 3373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 0 β†’ (βˆƒ*𝑦 ∈ π‘₯ π‘˜ ∈ 𝑦 ↔ βˆƒ*𝑦 ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦))
7471, 73spcv 3567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘˜βˆƒ*𝑦 ∈ π‘₯ π‘˜ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒ*𝑦 ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦)
7570, 74sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦 β†’ βˆƒ*𝑦 ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦)
76 rmo5 3376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒ*𝑦 ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦 ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦 β†’ βˆƒ!𝑦 ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦))
7776biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒ*𝑦 ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦 β†’ βˆƒ!𝑦 ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦))
7877imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆƒ*𝑦 ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒ!𝑦 ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦)
7975, 78sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒ!𝑦 ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦)
80 reusn 4693 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒ!𝑦 ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘˜{𝑦 ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ 𝑦} = {π‘˜})
8179, 80sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘˜{𝑦 ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ 𝑦} = {π‘˜})
82 eleq2w 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (0 ∈ π‘Ž ↔ 0 ∈ 𝑦))
8382cbvrabv 3420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {𝑦 ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ 𝑦}
8483eqeq1i 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜} ↔ {𝑦 ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ 𝑦} = {π‘˜})
8549ancri 551 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜} β†’ (π‘˜ ∈ π‘₯ ∧ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜}))
8684, 85sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑦 ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ 𝑦} = {π‘˜} β†’ (π‘˜ ∈ π‘₯ ∧ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜}))
8786eximi 1838 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘˜{𝑦 ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ 𝑦} = {π‘˜} β†’ βˆƒπ‘˜(π‘˜ ∈ π‘₯ ∧ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜}))
88 df-rex 3075 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘˜ ∈ π‘₯ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜} ↔ βˆƒπ‘˜(π‘˜ ∈ π‘₯ ∧ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜}))
8987, 88sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘˜{𝑦 ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ 𝑦} = {π‘˜} β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘₯ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜})
9081, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘₯ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜})
9190adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ π‘₯ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = {π‘˜})
9269, 91r19.29a 3160 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) = 1)
93 elpwi 4572 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ β†’ π‘₯ βŠ† 𝒫 ℝ)
94 sspwuni 5065 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ βŠ† 𝒫 ℝ ↔ βˆͺ π‘₯ βŠ† ℝ)
9593, 94sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ β†’ βˆͺ π‘₯ βŠ† ℝ)
96 eluni2 4874 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ βˆͺ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦)
9796biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦 β†’ 0 ∈ βˆͺ π‘₯)
98 ddeval1 32873 . . . . . . . . . . 11 ((βˆͺ π‘₯ βŠ† ℝ ∧ 0 ∈ βˆͺ π‘₯) β†’ (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) = 1)
9995, 97, 98syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) β†’ (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) = 1)
10099adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) β†’ (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) = 1)
10192, 100eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) = (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯))
102 nfre1 3271 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘¦βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦
103102nfn 1861 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦 Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦
10482elrab 3650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} ↔ (𝑦 ∈ π‘₯ ∧ 0 ∈ 𝑦))
105104exbii 1851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ π‘₯ ∧ 0 ∈ 𝑦))
106 neq0 4310 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž})
107 df-rex 3075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ π‘₯ ∧ 0 ∈ 𝑦))
108105, 106, 1073bitr4i 303 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦)
109108biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = βˆ… β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦)
110109con1i 147 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦 β†’ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} = βˆ…)
111103, 110esumeq1d 32674 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦 β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) = Ξ£*𝑦 ∈ βˆ…(Ξ΄β€˜π‘¦))
112 esumnul 32687 . . . . . . . . . . 11 Ξ£*𝑦 ∈ βˆ…(Ξ΄β€˜π‘¦) = 0
113111, 112eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦 β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) = 0)
114113adantl 483 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ∧ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) = 0)
11596biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ βˆͺ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦)
116115con3i 154 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦 β†’ Β¬ 0 ∈ βˆͺ π‘₯)
117 ddeval0 32874 . . . . . . . . . . 11 ((βˆͺ π‘₯ βŠ† ℝ ∧ Β¬ 0 ∈ βˆͺ π‘₯) β†’ (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) = 0)
11895, 116, 117syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) β†’ (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) = 0)
119118adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ∧ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) β†’ (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) = 0)
120114, 119eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) ∧ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘₯ 0 ∈ 𝑦) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) = (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯))
121101, 120pm2.61dan 812 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) = (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯))
12240elpwid 4574 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž}) β†’ 𝑦 βŠ† ℝ)
12382notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (Β¬ 0 ∈ π‘Ž ↔ Β¬ 0 ∈ 𝑦))
124123elrab 3650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž} ↔ (𝑦 ∈ π‘₯ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦))
125124simprbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž} β†’ Β¬ 0 ∈ 𝑦)
126125adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž}) β†’ Β¬ 0 ∈ 𝑦)
127 ddeval0 32874 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 βŠ† ℝ ∧ Β¬ 0 ∈ 𝑦) β†’ (Ξ΄β€˜π‘¦) = 0)
128122, 126, 127syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž}) β†’ (Ξ΄β€˜π‘¦) = 0)
129128esumeq2dv 32677 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) = Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž}0)
130 vex 3452 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
131130rabex 5294 . . . . . . . . . 10 {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž} ∈ V
13225esum0 32688 . . . . . . . . . 10 ({π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž} ∈ V β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž}0 = 0)
133131, 132ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž}0 = 0
134129, 133eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) = 0)
135134adantr 482 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) = 0)
136121, 135oveq12d 7380 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦) +𝑒 Ξ£*𝑦 ∈ {π‘Ž ∈ π‘₯ ∣ Β¬ 0 ∈ π‘Ž} (Ξ΄β€˜π‘¦)) = ((Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) +𝑒 0))
137 vuniex 7681 . . . . . . . . . 10 βˆͺ π‘₯ ∈ V
138137elpw 4569 . . . . . . . . 9 (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝒫 ℝ ↔ βˆͺ π‘₯ βŠ† ℝ)
139138biimpri 227 . . . . . . . 8 (βˆͺ π‘₯ βŠ† ℝ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝒫 ℝ)
140 iccssxr 13354 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
14115ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . 9 (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝒫 ℝ β†’ (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
142140, 141sselid 3947 . . . . . . . 8 (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝒫 ℝ β†’ (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) ∈ ℝ*)
143 xaddid1 13167 . . . . . . . 8 ((Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) ∈ ℝ* β†’ ((Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) +𝑒 0) = (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯))
14495, 139, 142, 1434syl 19 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ β†’ ((Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) +𝑒 0) = (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯))
145144adantr 482 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ ((Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) +𝑒 0) = (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯))
14644, 136, 1453eqtrrd 2782 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(Ξ΄β€˜π‘¦))
147146adantrl 715 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(Ξ΄β€˜π‘¦))
148147ex 414 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(Ξ΄β€˜π‘¦)))
149148rgen 3067 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(Ξ΄β€˜π‘¦))
150 reex 11149 . . . 4 ℝ ∈ V
151 pwsiga 32769 . . . 4 (ℝ ∈ V β†’ 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„))
152150, 151ax-mp 5 . . 3 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)
153 elrnsiga 32765 . . 3 (𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„) β†’ 𝒫 ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
154 ismeas 32838 . . 3 (𝒫 ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (Ξ΄ ∈ (measuresβ€˜π’« ℝ) ↔ (Ξ΄:𝒫 β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (Ξ΄β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(Ξ΄β€˜π‘¦)))))
155152, 153, 154mp2b 10 . 2 (Ξ΄ ∈ (measuresβ€˜π’« ℝ) ↔ (Ξ΄:𝒫 β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (Ξ΄β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ (Ξ΄β€˜βˆͺ π‘₯) = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(Ξ΄β€˜π‘¦))))
15615, 19, 149, 155mpbir3an 1342 1 Ξ΄ ∈ (measuresβ€˜π’« ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  βˆƒ!wreu 3354  βˆƒ*wrmo 3355  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  π’« cpw 4565  {csn 4591  βˆͺ cuni 4870  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5110  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807   β‰Ό cdom 8888  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197   +𝑒 cxad 13038  [,]cicc 13274  Ξ£*cesum 32666  sigAlgebracsiga 32747  measurescmeas 32834  Ξ΄cdde 32871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-ordt 17390  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-plusf 18503  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-abv 20292  df-lmod 20340  df-scaf 20341  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-tsms 23494  df-trg 23527  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-ii 24256  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-esum 32667  df-siga 32748  df-meas 32835  df-dde 32872
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator