Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ddemeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ddemeas 30897
Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ddemeas δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)

Proof of Theorem ddemeas
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1xr 10436 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
2 0le1 10898 . . . . . 6 0 ≤ 1
3 pnfge 12275 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
41, 3ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ +∞
5 0xr 10423 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
6 pnfxr 10430 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
7 elicc1 12531 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞)))
85, 6, 7mp2an 682 . . . . . 6 (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞))
91, 2, 4, 8mpbir3an 1398 . . . . 5 1 ∈ (0[,]+∞)
10 0e0iccpnf 12597 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
119, 10ifcli 4353 . . . 4 if(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
1211rgenw 3106 . . 3 𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
13 df-dde 30894 . . . 4 δ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0))
1413fmpt 6644 . . 3 (∀𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞))
1512, 14mpbi 222 . 2 δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
16 0ss 4198 . . 3 ∅ ⊆ ℝ
17 noel 4146 . . 3 ¬ 0 ∈ ∅
18 ddeval0 30896 . . 3 ((∅ ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ ∅) → (δ‘∅) = 0)
1916, 17, 18mp2an 682 . 2 (δ‘∅) = 0
20 rabxm 4189 . . . . . . . . 9 𝑥 = ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})
21 esumeq1 30694 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦)
23 nfv 1957 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ
24 nfcv 2934 . . . . . . . . 9 𝑦{𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}
25 nfcv 2934 . . . . . . . . 9 𝑦{𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}
26 rabexg 5048 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
27 rabexg 5048 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
28 rabnc 4190 . . . . . . . . . 10 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅
2928a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅)
30 elrabi 3567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦𝑥)
3130adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦𝑥)
32 simpl 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
33 elelpwi 4392 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
3431, 32, 33syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
3515ffvelrni 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
37 elrabi 3567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦𝑥)
3837adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦𝑥)
39 simpl 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
4038, 39, 33syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
4140, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
4223, 24, 25, 26, 27, 29, 36, 41esumsplit 30713 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
4322, 42syl5eq 2826 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
4443adantr 474 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
45 esumeq1 30694 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
4645adantl 475 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
47 simp-4l 773 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
48 vex 3401 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ V
4948rabsnel 29903 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 𝑘𝑥)
5049adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑘𝑥)
51 eleq2w 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑘 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑘))
5248, 51rabsnt 4498 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 0 ∈ 𝑘)
5352adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 0 ∈ 𝑘)
54 elelpwi 4392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝑥𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
5554ancoms 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
5655adantrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
57 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → 𝑦 = 𝑘)
5857fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
5948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑘 ∈ V)
6015ffvelrni 6622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
6158, 59, 60esumsn 30725 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
6256, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
6356elpwid 4391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ⊆ ℝ)
64 simprr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 0 ∈ 𝑘)
65 ddeval1 30895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝑘) → (δ‘𝑘) = 1)
6663, 64, 65syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → (δ‘𝑘) = 1)
6762, 66eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
6847, 50, 53, 67syl12anc 827 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
6946, 68eqtrd 2814 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘𝑥) ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
70 df-disj 4855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Disj 𝑦𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑘∃*𝑦𝑥 𝑘𝑦)
71 c0ex 10370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
72 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (𝑘𝑦 ↔ 0 ∈ 𝑦))
7372rmobidv 3319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (∃*𝑦𝑥 𝑘𝑦 ↔ ∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦))
7471, 73spcv 3501 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑘∃*𝑦𝑥 𝑘𝑦 → ∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
7570, 74sylbi 209 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝑥 𝑦 → ∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
76 rmo5 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ (∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦))
7776biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → (∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦))
7877imp 397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∃*𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
7975, 78sylan 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((Disj 𝑦𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
80 reusn 4494 . . . . . . . . . . . . 13 (∃!𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑘{𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
8179, 80sylib 210 . . . . . . . . . . . 12 ((Disj 𝑦𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘{𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
82 eleq2w 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑦 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑦))
8382cbvrabv 3396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦}
8483eqeq1i 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ {𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
8549ancri 545 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → (𝑘𝑥 ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
8684, 85sylbir 227 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → (𝑘𝑥 ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
8786eximi 1878 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘{𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘(𝑘𝑥 ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
88 df-rex 3096 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘𝑥 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ ∃𝑘(𝑘𝑥 ∧ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
8987, 88sylibr 226 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑘{𝑦𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘𝑥 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
9081, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((Disj 𝑦𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘𝑥 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
9190adantll 704 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘𝑥 {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
9269, 91r19.29a 3264 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
93 elpwi 4389 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ)
94 sspwuni 4845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ 𝑥 ⊆ ℝ)
9593, 94sylib 210 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
96 eluni2 4675 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
9796biimpri 220 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → 0 ∈ 𝑥)
98 ddeval1 30895 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑥 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝑥) → (δ‘ 𝑥) = 1)
9995, 97, 98syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = 1)
10099adantlr 705 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = 1)
10192, 100eqtr4d 2817 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘ 𝑥))
102 nfre1 3186 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦
103102nfn 1902 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦
10482elrab 3572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
105104exbii 1892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ ∃𝑦(𝑦𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
106 neq0 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎})
107 df-rex 3096 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
108105, 106, 1073bitr4i 295 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
109108biimpi 208 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ → ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
110109con1i 147 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅)
111103, 110esumeq1d 30695 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦))
112 esumnul 30708 . . . . . . . . . . 11 Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦) = 0
113111, 112syl6eq 2830 . . . . . . . . . 10 (¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
114113adantl 475 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
11596biimpi 208 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦)
116115con3i 152 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦 → ¬ 0 ∈ 𝑥)
117 ddeval0 30896 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝑥) → (δ‘ 𝑥) = 0)
11895, 116, 117syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = 0)
119118adantlr 705 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = 0)
120114, 119eqtr4d 2817 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘ 𝑥))
121101, 120pm2.61dan 803 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘ 𝑥))
12240elpwid 4391 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ⊆ ℝ)
12382notbid 310 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑦 → (¬ 0 ∈ 𝑎 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑦))
124123elrab 3572 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦𝑥 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦))
125124simprbi 492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → ¬ 0 ∈ 𝑦)
126125adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → ¬ 0 ∈ 𝑦)
127 ddeval0 30896 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦) → (δ‘𝑦) = 0)
128122, 126, 127syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) = 0)
129128esumeq2dv 30698 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0)
130 vex 3401 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
131130rabex 5049 . . . . . . . . . 10 {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V
13225esum0 30709 . . . . . . . . . 10 ({𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0)
133131, 132ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0
134129, 133syl6eq 2830 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
135134adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
136121, 135oveq12d 6940 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)) = ((δ‘ 𝑥) +𝑒 0))
137 vuniex 7231 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
138137elpw 4385 . . . . . . . . 9 ( 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝑥 ⊆ ℝ)
139138biimpri 220 . . . . . . . 8 ( 𝑥 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ)
140 iccssxr 12568 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
14115ffvelrni 6622 . . . . . . . . 9 ( 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘ 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
142140, 141sseldi 3819 . . . . . . . 8 ( 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘ 𝑥) ∈ ℝ*)
143 xaddid1 12384 . . . . . . . 8 ((δ‘ 𝑥) ∈ ℝ* → ((δ‘ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘ 𝑥))
14495, 139, 142, 1434syl 19 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((δ‘ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘ 𝑥))
145144adantr 474 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((δ‘ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘ 𝑥))
14644, 136, 1453eqtrrd 2819 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦))
147146adantrl 706 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦))
148147ex 403 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦)))
149148rgen 3104 . 2 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦))
150 reex 10363 . . . 4 ℝ ∈ V
151 pwsiga 30791 . . . 4 (ℝ ∈ V → 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ))
152150, 151ax-mp 5 . . 3 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
153 elrnsiga 30787 . . 3 (𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝒫 ℝ ∈ ran sigAlgebra)
154 ismeas 30860 . . 3 (𝒫 ℝ ∈ ran sigAlgebra → (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦)))))
155152, 153, 154mp2b 10 . 2 (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (δ‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(δ‘𝑦))))
15615, 19, 149, 155mpbir3an 1398 1 δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071  wal 1599   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  wral 3090  wrex 3091  ∃!wreu 3092  ∃*wrmo 3093  {crab 3094  Vcvv 3398  cun 3790  cin 3791  wss 3792  c0 4141  ifcif 4307  𝒫 cpw 4379  {csn 4398   cuni 4671  Disj wdisj 4854   class class class wbr 4886  ran crn 5356  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  ωcom 7343  cdom 8239  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273  +∞cpnf 10408  *cxr 10410  cle 10412   +𝑒 cxad 12255  [,]cicc 12490  Σ*cesum 30687  sigAlgebracsiga 30768  measurescmeas 30856  δcdde 30893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-disj 4855  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-ordt 16547  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-ps 17586  df-tsr 17587  df-plusf 17627  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-subrg 19170  df-abv 19209  df-lmod 19257  df-scaf 19258  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-tmd 22284  df-tgp 22285  df-tsms 22338  df-trg 22371  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-nm 22795  df-ngp 22796  df-nrg 22798  df-nlm 22799  df-ii 23088  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-esum 30688  df-siga 30769  df-meas 30857  df-dde 30894
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator