Theorem ddemeas 34413

Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddemeas	⊢ δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)

Proof of Theorem ddemeas

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11203	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		0le1 11672	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
3		pnfge 13056	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ +∞
5		0xr 11191	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6		pnfxr 11198	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		elicc1 13317	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞)))
8	5, 6, 7	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞))
9	1, 2, 4, 8	mpbir3an 1343	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]+∞)
10		0e0iccpnf 13387	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
11	9, 10	ifcli 4529	. . . 4 ⊢ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
12	11	rgenw 3056	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
13		df-dde 34410	. . . 4 ⊢ δ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0))
14	13	fmpt 7064	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞))
15	12, 14	mpbi 230	. 2 ⊢ δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
16		0ss 4354	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℝ
17		noel 4292	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ∅
18		ddeval0 34412	. . 3 ⊢ ((∅ ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ ∅) → (δ‘∅) = 0)
19	16, 17, 18	mp2an 693	. 2 ⊢ (δ‘∅) = 0
20		rabxm 4344	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 = ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})
21		esumeq1 34211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦)
23		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ
24		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}
25		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}
26		rabexg 5284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
27		rabexg 5284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
28		rabnc 4345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅
29	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅)
30		elrabi 3644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦 ∈ 𝑥)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝑥)
32		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
33		elelpwi 4566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
34	31, 32, 33	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
35	15	ffvelcdmi 7037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
37		elrabi 3644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦 ∈ 𝑥)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝑥)
39		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
40	38, 39, 33	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
41	40, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
42	23, 24, 25, 26, 27, 29, 36, 41	esumsplit 34230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
43	22, 42	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
44	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
45		esumeq1 34211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
47		simp-4l 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
48		vex 3446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
49	48	rabsnel 32586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 𝑘 ∈ 𝑥)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝑥)
51		eleq2w 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑘))
52	48, 51	rabsnt 4690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 0 ∈ 𝑘)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 0 ∈ 𝑘)
54		elelpwi 4566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
55	54	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
56	55	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → 𝑦 = 𝑘)
58	57	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
59	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑘 ∈ V)
60	15	ffvelcdmi 7037	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
61	58, 59, 60	esumsn 34242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
62	56, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
63	56	elpwid 4565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ⊆ ℝ)
64		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 0 ∈ 𝑘)
65		ddeval1 34411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝑘) → (δ‘𝑘) = 1)
66	63, 64, 65	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → (δ‘𝑘) = 1)
67	62, 66	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
68	47, 50, 53, 67	syl12anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
69	46, 68	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
70		df-disj 5068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑘∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦)
71		c0ex 11138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
72		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ 𝑦))
73	72	rmobidv 3367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦 ↔ ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
74	71, 73	spcv 3561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑘∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦 → ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
75	70, 74	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 → ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
76		rmo5 3370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
77	76	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
78	77	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
79	75, 78	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
80		reusn 4686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
81	79, 80	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
82		eleq2w 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑦))
83	82	cbvrabv 3411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦}
84	83	eqeq1i 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ {𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
85	49	ancri 549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
86	84, 85	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
87	86	eximi 1837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘(𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
88		df-rex 3063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ ∃𝑘(𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
89	87, 88	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
90	81, 89	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
91	90	adantll 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
92	69, 91	r19.29a 3146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
93		elpwi 4563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ)
94		sspwuni 5057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
95	93, 94	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
96		eluni2 4869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ∪ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
97	96	biimpri 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → 0 ∈ ∪ 𝑥)
98		ddeval1 34411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ ∪ 𝑥) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
99	95, 97, 98	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
100	99	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
101	92, 100	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
102		nfre1 3263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦
103	102	nfn 1859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦
104	82	elrab 3648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
105	104	exbii 1850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
106		neq0 4306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎})
107		df-rex 3063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
108	105, 106, 107	3bitr4i 303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
109	108	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
110	109	con1i 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅)
111	103, 110	esumeq1d 34212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦))
112		esumnul 34225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦) = 0
113	111, 112	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
114	113	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
115	96	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ∪ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
116	115	con3i 154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ¬ 0 ∈ ∪ 𝑥)
117		ddeval0 34412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ ∪ 𝑥) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
118	95, 116, 117	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
119	118	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
120	114, 119	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
121	101, 120	pm2.61dan 813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
122	40	elpwid 4565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ⊆ ℝ)
123	82	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (¬ 0 ∈ 𝑎 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑦))
124	123	elrab 3648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦))
125	124	simprbi 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → ¬ 0 ∈ 𝑦)
126	125	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → ¬ 0 ∈ 𝑦)
127		ddeval0 34412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦) → (δ‘𝑦) = 0)
128	122, 126, 127	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) = 0)
129	128	esumeq2dv 34215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0)
130		vex 3446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
131	130	rabex 5286	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V
132	25	esum0 34226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0)
133	131, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0
134	129, 133	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
135	134	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
136	121, 135	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)) = ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0))
137		vuniex 7694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
138	137	elpw 4560	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ↔ ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
139	138	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ⊆ ℝ → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ)
140		iccssxr 13358	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
141	15	ffvelcdmi 7037	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘∪ 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
142	140, 141	sselid 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘∪ 𝑥) ∈ ℝ*)
143		xaddrid 13168	. . . . . . . 8 ⊢ ((δ‘∪ 𝑥) ∈ ℝ* → ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘∪ 𝑥))
144	95, 139, 142, 143	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘∪ 𝑥))
145	144	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘∪ 𝑥))
146	44, 136, 145	3eqtrrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
147	146	adantrl 717	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
148	147	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦)))
149	148	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
150		reex 11129	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
151		pwsiga 34307	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ))
152	150, 151	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
153		elrnsiga 34303	. . 3 ⊢ (𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝒫 ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
154		ismeas 34376	. . 3 ⊢ (𝒫 ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦)))))
155	152, 153, 154	mp2b 10	. 2 ⊢ (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))))
156	15, 19, 149, 155	mpbir3an 1343	1 ⊢ δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3350  ∃*wrmo 3351  {crab 3401  Vcvv 3442   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  ∪ cuni 4865  Disj wdisj 5067   class class class wbr 5100  ran crn 5633  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ωcom 7818   ≼ cdom 8893  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179   +_𝑒 cxad 13036  [,]cicc 13276  Σ^*cesum 34204  sigAlgebracsiga 34285  measurescmeas 34372  δcdde 34409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-ordt 17434  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-plusf 18576  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-abv 20754  df-lmod 20825  df-scaf 20826  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-tmd 24028  df-tgp 24029  df-tsms 24083  df-trg 24116  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-nm 24538  df-ngp 24539  df-nrg 24541  df-nlm 24542  df-ii 24838  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-esum 34205  df-siga 34286  df-meas 34373  df-dde 34410

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