Theorem ddemeas 34915

Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddemeas	⊢ δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)

Proof of Theorem ddemeas

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11371	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		0le1 11842	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
3		pnfge 13262	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ +∞
5		0xr 11359	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6		pnfxr 11366	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		elicc1 13523	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞)))
8	5, 6, 7	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞))
9	1, 2, 4, 8	mpbir3an 1360	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]+∞)
10		0e0iccpnf 13593	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
11	9, 10	ifcli 4529	. . . 4 ⊢ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
12	11	rgenw 3080	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
13		df-dde 34912	. . . 4 ⊢ δ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0))
14	13	fmpt 7110	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞))
15	12, 14	mpbi 233	. 2 ⊢ δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
16		0ss 4349	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℝ
17		noel 4283	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ∅
18		ddeval0 34914	. . 3 ⊢ ((∅ ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ ∅) → (δ‘∅) = 0)
19	16, 17, 18	mp2an 705	. 2 ⊢ (δ‘∅) = 0
20		rabxm 4339	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 = ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})
21		esumeq1 34712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦)
23		nfv 1946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ
24		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}
25		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}
26		rabexg 5298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
27		rabexg 5298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
28		rabnc 4340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅
29	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅)
30		elrabi 3640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦 ∈ 𝑥)
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝑥)
32		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
33		elelpwi 4566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
34	31, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
35	15	ffvelcdmi 7083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
37		elrabi 3640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦 ∈ 𝑥)
38	37	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝑥)
39		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
40	38, 39, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
41	40, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
42	23, 24, 25, 26, 27, 29, 36, 41	esumsplit 34731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +e Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
43	22, 42	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +e Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
44	43	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +e Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
45		esumeq1 34712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
46	45	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
47		simp-4l 795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
48		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
49	48	rabsnel 33143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 𝑘 ∈ 𝑥)
50	49	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝑥)
51		eleq2w 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑘))
52	48, 51	rabsnt 4688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 0 ∈ 𝑘)
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 0 ∈ 𝑘)
54		elelpwi 4566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
55	54	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
56	55	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
57		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → 𝑦 = 𝑘)
58	57	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
59	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑘 ∈ V)
60	15	ffvelcdmi 7083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
61	58, 59, 60	esumsn 34743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
62	56, 61	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
63	56	elpwid 4565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ⊆ ℝ)
64		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 0 ∈ 𝑘)
65		ddeval1 34913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝑘) → (δ‘𝑘) = 1)
66	63, 64, 65	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → (δ‘𝑘) = 1)
67	62, 66	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
68	47, 50, 53, 67	syl12anc 850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
69	46, 68	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
70		df-disj 5070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑘∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦)
71		c0ex 11303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
72		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ 𝑦))
73	72	rmobidv 3380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦 ↔ ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
74	71, 73	spcv 3559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑘∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦 → ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
75	70, 74	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 → ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
76		rmo5 3383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
77	76	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
78	77	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
79	75, 78	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
80		reusn 4684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
81	79, 80	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
82		eleq2w 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑦))
83	82	cbvrabv 3422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦}
84	83	eqeq1i 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ {𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
85	49	ancri 559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
86	84, 85	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
87	86	eximi 1867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘(𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
88		df-rex 3087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ ∃𝑘(𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
89	87, 88	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
90	81, 89	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
91	90	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
92	69, 91	r19.29a 3170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
93		elpwi 4563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ)
94		sspwuni 5059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
95	93, 94	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
96		eluni2 4870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ∪ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
97	96	biimpri 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → 0 ∈ ∪ 𝑥)
98		ddeval1 34913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ ∪ 𝑥) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
99	95, 97, 98	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
100	99	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
101	92, 100	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
102		nfre1 3287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦
103	102	nfn 1889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦
104	82	elrab 3644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
105	104	exbii 1880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
106		neq0 4298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎})
107		df-rex 3087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
108	105, 106, 107	3bitr4i 306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
109	108	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
110	109	con1i 148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅)
111	103, 110	esumeq1d 34713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦))
112		esumnul 34726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦) = 0
113	111, 112	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
114	113	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
115	96	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ∪ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
116	115	con3i 155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ¬ 0 ∈ ∪ 𝑥)
117		ddeval0 34914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ ∪ 𝑥) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
118	95, 116, 117	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
119	118	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
120	114, 119	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
121	101, 120	pm2.61dan 825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
122	40	elpwid 4565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ⊆ ℝ)
123	82	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (¬ 0 ∈ 𝑎 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑦))
124	123	elrab 3644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦))
125	124	simprbi 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → ¬ 0 ∈ 𝑦)
126	125	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → ¬ 0 ∈ 𝑦)
127		ddeval0 34914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦) → (δ‘𝑦) = 0)
128	122, 126, 127	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) = 0)
129	128	esumeq2dv 34716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0)
130		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
131	130	rabex 5299	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V
132	25	esum0 34727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0)
133	131, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0
134	129, 133	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
135	134	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
136	121, 135	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +e Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)) = ((δ‘∪ 𝑥) +e 0))
137		vuniex 7756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
138	137	elpw 4560	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ↔ ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
139	138	biimpri 231	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ⊆ ℝ → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ)
140		iccssxr 13564	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
141	15	ffvelcdmi 7083	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘∪ 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
142	140, 141	sselid 3906	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘∪ 𝑥) ∈ ℝ*)
143		xaddrid 13374	. . . . . . . 8 ⊢ ((δ‘∪ 𝑥) ∈ ℝ* → ((δ‘∪ 𝑥) +e 0) = (δ‘∪ 𝑥))
144	95, 139, 142, 143	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((δ‘∪ 𝑥) +e 0) = (δ‘∪ 𝑥))
145	144	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((δ‘∪ 𝑥) +e 0) = (δ‘∪ 𝑥))
146	44, 136, 145	3eqtrrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
147	146	adantrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
148	147	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦)))
149	148	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
150		reex 11294	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
151		pwsiga 34808	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ))
152	150, 151	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
153		elrnsiga 34804	. . 3 ⊢ (𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝒫 ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
154		ismeas 34878	. . 3 ⊢ (𝒫 ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦)))))
155	152, 153, 154	mp2b 10	. 2 ⊢ (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))))
156	15, 19, 149, 155	mpbir3an 1360	1 ⊢ δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363  ∃*wrmo 3364  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  ∪ cuni 4866  Disj wdisj 5069   class class class wbr 5102  ran crn 5651  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ωcom 7877   ≼ cdom 8974  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204  +∞cpnf 11343  ℝ^*cxr 11345   ≤ cle 11347   +_e cxad 13242  [,]cicc 13482  Σ^*cesum 34705  sigAlgebracsiga 34786  measurescmeas 34874  δcdde 34911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282  ax-mulf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-ordt 17678  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-ps 18745  df-tsr 18746  df-plusf 18820  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-cring 20467  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-abv 21071  df-lmod 21142  df-scaf 21143  df-sra 21453  df-rgmod 21454  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-tmd 24396  df-tgp 24397  df-tsms 24451  df-trg 24484  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-nm 24906  df-ngp 24907  df-nrg 24909  df-nlm 24910  df-ii 25203  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192  df-log 26889  df-esum 34706  df-siga 34787  df-meas 34875  df-dde 34912

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