Theorem ddemeas 34427

Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddemeas	⊢ δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)

Proof of Theorem ddemeas

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11202	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		0le1 11671	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
3		pnfge 13079	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ +∞
5		0xr 11190	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6		pnfxr 11197	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		elicc1 13340	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞)))
8	5, 6, 7	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞))
9	1, 2, 4, 8	mpbir3an 1348	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]+∞)
10		0e0iccpnf 13410	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
11	9, 10	ifcli 4509	. . . 4 ⊢ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
12	11	rgenw 3058	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
13		df-dde 34424	. . . 4 ⊢ δ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0))
14	13	fmpt 7058	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞))
15	12, 14	mpbi 231	. 2 ⊢ δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
16		0ss 4335	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℝ
17		noel 4273	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ∅
18		ddeval0 34426	. . 3 ⊢ ((∅ ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ ∅) → (δ‘∅) = 0)
19	16, 17, 18	mp2an 698	. 2 ⊢ (δ‘∅) = 0
20		rabxm 4325	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 = ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})
21		esumeq1 34225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦)
23		nfv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ
24		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}
25		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}
26		rabexg 5272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
27		rabexg 5272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
28		rabnc 4326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅
29	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅)
30		elrabi 3632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦 ∈ 𝑥)
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝑥)
32		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
33		elelpwi 4546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
34	31, 32, 33	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
35	15	ffvelcdmi 7031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
37		elrabi 3632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦 ∈ 𝑥)
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝑥)
39		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
40	38, 39, 33	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
41	40, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
42	23, 24, 25, 26, 27, 29, 36, 41	esumsplit 34244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
43	22, 42	eqtrid 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
44	43	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
45		esumeq1 34225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
47		simp-4l 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
48		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
49	48	rabsnel 32595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 𝑘 ∈ 𝑥)
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝑥)
51		eleq2w 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑘))
52	48, 51	rabsnt 4670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 0 ∈ 𝑘)
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 0 ∈ 𝑘)
54		elelpwi 4546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
55	54	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
56	55	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
57		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → 𝑦 = 𝑘)
58	57	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
59	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑘 ∈ V)
60	15	ffvelcdmi 7031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
61	58, 59, 60	esumsn 34256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
62	56, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
63	56	elpwid 4545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ⊆ ℝ)
64		simprr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 0 ∈ 𝑘)
65		ddeval1 34425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝑘) → (δ‘𝑘) = 1)
66	63, 64, 65	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → (δ‘𝑘) = 1)
67	62, 66	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
68	47, 50, 53, 67	syl12anc 842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
69	46, 68	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
70		df-disj 5047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑘∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦)
71		c0ex 11136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
72		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ 𝑦))
73	72	rmobidv 3360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦 ↔ ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
74	71, 73	spcv 3550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑘∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦 → ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
75	70, 74	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 → ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
76		rmo5 3363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
77	76	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
78	77	imp 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
79	75, 78	sylan 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
80		reusn 4666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
81	79, 80	sylib 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
82		eleq2w 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑦))
83	82	cbvrabv 3402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦}
84	83	eqeq1i 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ {𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
85	49	ancri 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
86	84, 85	sylbir 236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
87	86	eximi 1842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘(𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
88		df-rex 3065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ ∃𝑘(𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
89	87, 88	sylibr 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
90	81, 89	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
91	90	adantll 720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
92	69, 91	r19.29a 3148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
93		elpwi 4543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ)
94		sspwuni 5036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
95	93, 94	sylib 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
96		eluni2 4849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ∪ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
97	96	biimpri 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → 0 ∈ ∪ 𝑥)
98		ddeval1 34425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ ∪ 𝑥) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
99	95, 97, 98	syl2an 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
100	99	adantlr 721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
101	92, 100	eqtr4d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
102		nfre1 3265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦
103	102	nfn 1864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦
104	82	elrab 3636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
105	104	exbii 1855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
106		neq0 4287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎})
107		df-rex 3065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
108	105, 106, 107	3bitr4i 304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
109	108	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
110	109	con1i 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅)
111	103, 110	esumeq1d 34226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦))
112		esumnul 34239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦) = 0
113	111, 112	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
114	113	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
115	96	biimpi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ∪ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
116	115	con3i 154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ¬ 0 ∈ ∪ 𝑥)
117		ddeval0 34426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ ∪ 𝑥) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
118	95, 116, 117	syl2an 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
119	118	adantlr 721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
120	114, 119	eqtr4d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
121	101, 120	pm2.61dan 818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
122	40	elpwid 4545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ⊆ ℝ)
123	82	notbid 319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (¬ 0 ∈ 𝑎 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑦))
124	123	elrab 3636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦))
125	124	simprbi 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → ¬ 0 ∈ 𝑦)
126	125	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → ¬ 0 ∈ 𝑦)
127		ddeval0 34426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦) → (δ‘𝑦) = 0)
128	122, 126, 127	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) = 0)
129	128	esumeq2dv 34229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0)
130		vex 3436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
131	130	rabex 5274	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V
132	25	esum0 34240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0)
133	131, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0
134	129, 133	eqtrdi 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
135	134	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
136	121, 135	oveq12d 7381	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)) = ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0))
137		vuniex 7689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
138	137	elpw 4540	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ↔ ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
139	138	biimpri 229	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ⊆ ℝ → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ)
140		iccssxr 13381	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
141	15	ffvelcdmi 7031	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘∪ 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
142	140, 141	sselid 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘∪ 𝑥) ∈ ℝ*)
143		xaddrid 13191	. . . . . . . 8 ⊢ ((δ‘∪ 𝑥) ∈ ℝ* → ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘∪ 𝑥))
144	95, 139, 142, 143	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘∪ 𝑥))
145	144	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘∪ 𝑥))
146	44, 136, 145	3eqtrrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
147	146	adantrl 722	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
148	147	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦)))
149	148	rgen 3056	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
150		reex 11127	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
151		pwsiga 34321	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ))
152	150, 151	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
153		elrnsiga 34317	. . 3 ⊢ (𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝒫 ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
154		ismeas 34390	. . 3 ⊢ (𝒫 ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦)))))
155	152, 153, 154	mp2b 10	. 2 ⊢ (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))))
156	15, 19, 149, 155	mpbir3an 1348	1 ⊢ δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092  ∀wal 1545   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3343  ∃*wrmo 3344  {crab 3392  Vcvv 3432   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  ifcif 4461  𝒫 cpw 4536  {csn 4562  ∪ cuni 4845  Disj wdisj 5046   class class class wbr 5079  ran crn 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ωcom 7813   ≼ cdom 8888  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037  +∞cpnf 11174  ℝ^*cxr 11176   ≤ cle 11178   +_𝑒 cxad 13059  [,]cicc 13299  Σ^*cesum 34218  sigAlgebracsiga 34299  measurescmeas 34386  δcdde 34423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-disj 5047  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-ordt 17463  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-ps 18530  df-tsr 18531  df-plusf 18605  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-abv 20788  df-lmod 20859  df-scaf 20860  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-tmd 24062  df-tgp 24063  df-tsms 24117  df-trg 24150  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-nm 24572  df-ngp 24573  df-nrg 24575  df-nlm 24576  df-ii 24869  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-esum 34219  df-siga 34300  df-meas 34387  df-dde 34424

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