Theorem ddemeas 34635

Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddemeas	⊢ δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)

Proof of Theorem ddemeas

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11274	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		0le1 11743	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
3		pnfge 13161	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ +∞
5		0xr 11262	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6		pnfxr 11269	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		elicc1 13422	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞)))
8	5, 6, 7	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞))
9	1, 2, 4, 8	mpbir3an 1359	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]+∞)
10		0e0iccpnf 13492	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
11	9, 10	ifcli 4534	. . . 4 ⊢ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
12	11	rgenw 3082	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞)
13		df-dde 34632	. . . 4 ⊢ δ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℝ ↦ if(0 ∈ 𝑎, 1, 0))
14	13	fmpt 7105	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝒫 ℝif(0 ∈ 𝑎, 1, 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞))
15	12, 14	mpbi 233	. 2 ⊢ δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
16		0ss 4356	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℝ
17		noel 4290	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ∅
18		ddeval0 34634	. . 3 ⊢ ((∅ ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ ∅) → (δ‘∅) = 0)
19	16, 17, 18	mp2an 704	. 2 ⊢ (δ‘∅) = 0
20		rabxm 4346	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 = ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})
21		esumeq1 34433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦)
23		nfv 1943	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ
24		nfcv 2924	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}
25		nfcv 2924	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}
26		rabexg 5307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
27		rabexg 5307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V)
28		rabnc 4347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅
29	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∩ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) = ∅)
30		elrabi 3645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦 ∈ 𝑥)
31	30	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝑥)
32		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
33		elelpwi 4571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
34	31, 32, 33	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
35	15	ffvelcdmi 7078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
37		elrabi 3645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → 𝑦 ∈ 𝑥)
38	37	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝑥)
39		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
40	38, 39, 33	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ)
41	40, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
42	23, 24, 25, 26, 27, 29, 36, 41	esumsplit 34452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ∪ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎})(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
43	22, 42	eqtrid 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
44	43	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦) = (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)))
45		esumeq1 34433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
46	45	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦))
47		simp-4l 794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ)
48		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
49	48	rabsnel 32857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 𝑘 ∈ 𝑥)
50	49	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝑥)
51		eleq2w 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑘))
52	48, 51	rabsnt 4696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → 0 ∈ 𝑘)
53	52	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → 0 ∈ 𝑘)
54		elelpwi 4571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
55	54	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
56	55	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ∈ 𝒫 ℝ)
57		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → 𝑦 = 𝑘)
58	57	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 = 𝑘) → (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
59	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑘 ∈ V)
60	15	ffvelcdmi 7078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
61	58, 59, 60	esumsn 34464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
62	56, 61	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = (δ‘𝑘))
63	56	elpwid 4570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 𝑘 ⊆ ℝ)
64		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → 0 ∈ 𝑘)
65		ddeval1 34633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ 𝑘) → (δ‘𝑘) = 1)
66	63, 64, 65	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → (δ‘𝑘) = 1)
67	62, 66	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑘)) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
68	47, 50, 53, 67	syl12anc 849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑘} (δ‘𝑦) = 1)
69	46, 68	eqtrd 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
70		df-disj 5076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑘∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦)
71		c0ex 11206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
72		eleq1 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ 𝑦 ↔ 0 ∈ 𝑦))
73	72	rmobidv 3383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦 ↔ ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
74	71, 73	spcv 3563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑘∃*𝑦 ∈ 𝑥 𝑘 ∈ 𝑦 → ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
75	70, 74	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 → ∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
76		rmo5 3386	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
77	76	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦))
78	77	imp 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∃*𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
79	75, 78	sylan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
80		reusn 4692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
81	79, 80	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
82		eleq2w 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (0 ∈ 𝑎 ↔ 0 ∈ 𝑦))
83	82	cbvrabv 3425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦}
84	83	eqeq1i 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ {𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘})
85	49	ancri 558	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} → (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
86	84, 85	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → (𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
87	86	eximi 1864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘(𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
88		df-rex 3089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘} ↔ ∃𝑘(𝑘 ∈ 𝑥 ∧ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘}))
89	87, 88	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑘{𝑦 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑦} = {𝑘} → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
90	81, 89	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
91	90	adantll 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → ∃𝑘 ∈ 𝑥 {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = {𝑘})
92	69, 91	r19.29a 3172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 1)
93		elpwi 4568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ)
94		sspwuni 5065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
95	93, 94	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
96		eluni2 4875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ∪ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
97	96	biimpri 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → 0 ∈ ∪ 𝑥)
98		ddeval1 34633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ ∪ 𝑥) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
99	95, 97, 98	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
100	99	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 1)
101	92, 100	eqtr4d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
102		nfre1 3289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦
103	102	nfn 1886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦
104	82	elrab 3649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
105	104	exbii 1877	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
106		neq0 4305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎})
107		df-rex 3089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 0 ∈ 𝑦))
108	105, 106, 107	3bitr4i 306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
109	108	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
110	109	con1i 148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} = ∅)
111	103, 110	esumeq1d 34434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦))
112		esumnul 34447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ*𝑦 ∈ ∅(δ‘𝑦) = 0
113	111, 112	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
114	113	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
115	96	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ∪ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦)
116	115	con3i 155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦 → ¬ 0 ∈ ∪ 𝑥)
117		ddeval0 34634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ ∪ 𝑥) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
118	95, 116, 117	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
119	118	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = 0)
120	114, 119	eqtr4d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑥 0 ∈ 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
121	101, 120	pm2.61dan 824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = (δ‘∪ 𝑥))
122	40	elpwid 4570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → 𝑦 ⊆ ℝ)
123	82	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (¬ 0 ∈ 𝑎 ↔ ¬ 0 ∈ 𝑦))
124	123	elrab 3649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦))
125	124	simprbi 502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} → ¬ 0 ∈ 𝑦)
126	125	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → ¬ 0 ∈ 𝑦)
127		ddeval0 34634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ ℝ ∧ ¬ 0 ∈ 𝑦) → (δ‘𝑦) = 0)
128	122, 126, 127	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}) → (δ‘𝑦) = 0)
129	128	esumeq2dv 34437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0)
130		vex 3458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
131	130	rabex 5308	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V
132	25	esum0 34448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} ∈ V → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0)
133	131, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎}0 = 0
134	129, 133	eqtrdi 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
135	134	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) = 0)
136	121, 135	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝑥 ∣ ¬ 0 ∈ 𝑎} (δ‘𝑦)) = ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0))
137		vuniex 7739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
138	137	elpw 4565	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ↔ ∪ 𝑥 ⊆ ℝ)
139	138	biimpri 231	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ⊆ ℝ → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ)
140		iccssxr 13463	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
141	15	ffvelcdmi 7078	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘∪ 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
142	140, 141	sselid 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (δ‘∪ 𝑥) ∈ ℝ*)
143		xaddrid 13273	. . . . . . . 8 ⊢ ((δ‘∪ 𝑥) ∈ ℝ* → ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘∪ 𝑥))
144	95, 139, 142, 143	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘∪ 𝑥))
145	144	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ((δ‘∪ 𝑥) +𝑒 0) = (δ‘∪ 𝑥))
146	44, 136, 145	3eqtrrd 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
147	146	adantrl 728	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
148	147	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦)))
149	148	rgen 3080	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))
150		reex 11197	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
151		pwsiga 34529	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ))
152	150, 151	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
153		elrnsiga 34525	. . 3 ⊢ (𝒫 ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝒫 ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
154		ismeas 34598	. . 3 ⊢ (𝒫 ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦)))))
155	152, 153, 154	mp2b 10	. 2 ⊢ (δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ) ↔ (δ:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (δ‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (δ‘∪ 𝑥) = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(δ‘𝑦))))
156	15, 19, 149, 155	mpbir3an 1359	1 ⊢ δ ∈ (measures‘𝒫 ℝ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  ∃!wreu 3366  ∃*wrmo 3367  {crab 3415  Vcvv 3454   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4486  𝒫 cpw 4561  {csn 4588  ∪ cuni 4871  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5108  ran crn 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ωcom 7860   ≼ cdom 8939  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  +∞cpnf 11246  ℝ^*cxr 11248   ≤ cle 11250   +_𝑒 cxad 13141  [,]cicc 13381  Σ^*cesum 34426  sigAlgebracsiga 34507  measurescmeas 34594  δcdde 34631

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130  df-pi 16132  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-ordt 17561  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-ps 18628  df-tsr 18629  df-plusf 18703  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-abv 20923  df-lmod 20994  df-scaf 20995  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-tmd 24240  df-tgp 24241  df-tsms 24295  df-trg 24328  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-nm 24750  df-ngp 24751  df-nrg 24753  df-nlm 24754  df-ii 25047  df-cncf 25048  df-limc 26036  df-dv 26037  df-log 26732  df-esum 34427  df-siga 34508  df-meas 34595  df-dde 34632

This theorem is used by: (None)