Theorem ditgeq1 25911

Description: Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditgeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5104	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
2		oveq1 7404	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶))
3		itgeq1 25836	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5		oveq2 7405	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶(,)𝐴) = (𝐶(,)𝐵))
6		itgeq1 25836	. . . . 5 ⊢ ((𝐶(,)𝐴) = (𝐶(,)𝐵) → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
8	7	negeqd 11425	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = -∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
9	1, 4, 8	ifbieq12d 4510	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥) = if(𝐵 ≤ 𝐶, ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥))
10		df-ditg 25910	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥)
11		df-ditg 25910	. 2 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐶, ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
12	9, 10, 11	3eqtr4g 2823	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561  ifcif 4481   class class class wbr 5101  (class class class)co 7397   ≤ cle 11218  -cneg 11416  (,)cioo 13350  ∫citg 25681  ⨜cdit 25909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-sb 2092  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-xp 5654  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-iota 6478  df-fv 6530  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-neg 11418  df-seq 14016  df-sum 15715  df-itg 25686  df-ditg 25910

This theorem is referenced by:  itgsubst  26112  ditgeq12d  36583