Theorem ditgeq1 25820

Description: Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditgeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5103	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
2		oveq1 7375	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶))
3		itgeq1 25745	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶(,)𝐴) = (𝐶(,)𝐵))
6		itgeq1 25745	. . . . 5 ⊢ ((𝐶(,)𝐴) = (𝐶(,)𝐵) → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
8	7	negeqd 11386	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = -∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
9	1, 4, 8	ifbieq12d 4510	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥) = if(𝐵 ≤ 𝐶, ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥))
10		df-ditg 25819	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥)
11		df-ditg 25819	. 2 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐶, ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
12	9, 10, 11	3eqtr4g 2797	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ifcif 4481   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368   ≤ cle 11179  -cneg 11377  (,)cioo 13273  ∫citg 25590  ⨜cdit 25818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-xp 5638  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-neg 11379  df-seq 13937  df-sum 15622  df-itg 25595  df-ditg 25819

This theorem is referenced by:  itgsubst  26027  ditgeq12d  36442