Theorem ditgeq1 25776

Description: Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditgeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5092	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
2		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶))
3		itgeq1 25701	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶(,)𝐴) = (𝐶(,)𝐵))
6		itgeq1 25701	. . . . 5 ⊢ ((𝐶(,)𝐴) = (𝐶(,)𝐵) → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
8	7	negeqd 11354	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = -∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
9	1, 4, 8	ifbieq12d 4501	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥) = if(𝐵 ≤ 𝐶, ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥))
10		df-ditg 25775	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥)
11		df-ditg 25775	. 2 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐶, ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
12	9, 10, 11	3eqtr4g 2791	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ifcif 4472   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346   ≤ cle 11147  -cneg 11345  (,)cioo 13245  ∫citg 25546  ⨜cdit 25774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-xp 5620  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-neg 11347  df-seq 13909  df-sum 15594  df-itg 25551  df-ditg 25775

This theorem is referenced by:  itgsubst  25983  ditgeq12d  36266