MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgeq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgeq1 25897
Description: Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ditgeq1 (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq1
StepHypRef Expression
1 breq1 5150 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
2 oveq1 7437 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶))
3 itgeq1 25822 . . . 4 ((𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
5 oveq2 7438 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐶(,)𝐴) = (𝐶(,)𝐵))
6 itgeq1 25822 . . . . 5 ((𝐶(,)𝐴) = (𝐶(,)𝐵) → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
87negeqd 11499 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = -∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
91, 4, 8ifbieq12d 4558 . 2 (𝐴 = 𝐵 → if(𝐴𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥) = if(𝐵𝐶, ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥))
10 df-ditg 25896 . 2 ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = if(𝐴𝐶, ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥)
11 df-ditg 25896 . 2 ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = if(𝐵𝐶, ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥, -∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
129, 10, 113eqtr4g 2799 1 (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  ifcif 4530   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cle 11293  -cneg 11490  (,)cioo 13383  citg 25666  cdit 25895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-xp 5694  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-iota 6515  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-neg 11492  df-seq 14039  df-sum 15719  df-itg 25671  df-ditg 25896
This theorem is referenced by:  itgsubst  26104  ditgeq12d  36204
  Copyright terms: Public domain W3C validator