Theorem ditgeq2 24746

Description: Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditgeq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5057	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ≤ 𝐴 ↔ 𝐶 ≤ 𝐵))
2		oveq2 7221	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶(,)𝐴) = (𝐶(,)𝐵))
3		itgeq1 24670	. . . 4 ⊢ ((𝐶(,)𝐴) = (𝐶(,)𝐵) → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
5		oveq1 7220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶))
6		itgeq1 24670	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
8	7	negeqd 11072	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = -∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
9	1, 4, 8	ifbieq12d 4467	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → if(𝐶 ≤ 𝐴, ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = if(𝐶 ≤ 𝐵, ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
10		df-ditg 24744	. 2 ⊢ ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = if(𝐶 ≤ 𝐴, ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
11		df-ditg 24744	. 2 ⊢ ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = if(𝐶 ≤ 𝐵, ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
12	9, 10, 11	3eqtr4g 2803	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543  ifcif 4439   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213   ≤ cle 10868  -cneg 11063  (,)cioo 12935  ∫citg 24515  ⨜cdit 24743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-seq 13575  df-sum 15250  df-itg 24520  df-ditg 24744

This theorem is referenced by:  ditgneg  24754  itgsubstlem  24945  itgsubst  24946