Theorem ditgeq2 25800

Description: Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditgeq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5123	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ≤ 𝐴 ↔ 𝐶 ≤ 𝐵))
2		oveq2 7411	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶(,)𝐴) = (𝐶(,)𝐵))
3		itgeq1 25724	. . . 4 ⊢ ((𝐶(,)𝐴) = (𝐶(,)𝐵) → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
5		oveq1 7410	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶))
6		itgeq1 25724	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
8	7	negeqd 11474	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = -∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
9	1, 4, 8	ifbieq12d 4529	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → if(𝐶 ≤ 𝐴, ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = if(𝐶 ≤ 𝐵, ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
10		df-ditg 25798	. 2 ⊢ ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = if(𝐶 ≤ 𝐴, ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
11		df-ditg 25798	. 2 ⊢ ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = if(𝐶 ≤ 𝐵, ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
12	9, 10, 11	3eqtr4g 2795	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  ifcif 4500   class class class wbr 5119  (class class class)co 7403   ≤ cle 11268  -cneg 11465  (,)cioo 13360  ∫citg 25569  ⨜cdit 25797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-xp 5660  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-iota 6483  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-neg 11467  df-seq 14018  df-sum 15701  df-itg 25574  df-ditg 25798

This theorem is referenced by:  ditgneg  25808  itgsubstlem  26005  itgsubst  26006  ditgeq12d  36186