Theorem ditgeq2 26169

Description: Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditgeq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5106	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ≤ 𝐴 ↔ 𝐶 ≤ 𝐵))
2		oveq2 7428	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶(,)𝐴) = (𝐶(,)𝐵))
3		itgeq1 26093	. . . 4 ⊢ ((𝐶(,)𝐴) = (𝐶(,)𝐵) → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
5		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶))
6		itgeq1 26093	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐶) = (𝐵(,)𝐶) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
8	7	negeqd 11551	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = -∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
9	1, 4, 8	ifbieq12d 4510	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → if(𝐶 ≤ 𝐴, ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥) = if(𝐶 ≤ 𝐵, ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
10		df-ditg 26167	. 2 ⊢ ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = if(𝐶 ≤ 𝐴, ∫(𝐶(,)𝐴)𝐷 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
11		df-ditg 26167	. 2 ⊢ ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = if(𝐶 ≤ 𝐵, ∫(𝐶(,)𝐵)𝐷 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
12	9, 10, 11	3eqtr4g 2820	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐶 → 𝐴]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐶 → 𝐵]𝐷 d𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  ifcif 4481   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420   ≤ cle 11344   -cneg 11542  (,)cioo 13476  ∫citg 25939  ⨜cdit 26166

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-neg 11544  df-seq 14145  df-sum 15854  df-itg 25944  df-ditg 26167

This theorem is used by:  ditgneg  26177  itgsubstlem  26368  itgsubst  26369  ditgeq12d  37011