![]() |
Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 258 of 482) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | ![]() (1-30715) |
![]() (30716-32238) |
![]() (32239-48161) |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | itgvallem 25701* | Substitution lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
โข (iโ๐พ) = ๐ โ โข (๐ = ๐พ โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / ๐))), (โโ(๐ต / ๐)), 0)))) | ||
Theorem | itgvallem3 25702* | Lemma for itgposval 25712 and itgreval 25713. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต = 0) โ โข (๐ โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ๐ต), ๐ต, 0))) = 0) | ||
Theorem | ibl0 25703 | The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 25734, this does not require ๐ด to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
โข (๐ด โ dom vol โ (๐ด ร {0}) โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | iblcnlem1 25704* | Lemma for iblcnlem 25705. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
โข ๐ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ๐ต)), (โโ๐ต), 0))) & โข ๐ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค -(โโ๐ต)), -(โโ๐ต), 0))) & โข ๐ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ๐ต)), (โโ๐ต), 0))) & โข ๐ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค -(โโ๐ต)), -(โโ๐ต), 0))) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1 โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn โง (๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โ โ โง ๐ โ โ)))) | ||
Theorem | iblcnlem 25705* | Expand out the universal quantifier in isibl2 25683. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) |
โข ๐ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ๐ต)), (โโ๐ต), 0))) & โข ๐ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค -(โโ๐ต)), -(โโ๐ต), 0))) & โข ๐ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ๐ต)), (โโ๐ต), 0))) & โข ๐ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค -(โโ๐ต)), -(โโ๐ต), 0))) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) โ โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1 โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn โง (๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โ โ โง ๐ โ โ)))) | ||
Theorem | itgcnlem 25706* | Expand out the sum in dfitg 25686. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
โข ๐ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ๐ต)), (โโ๐ต), 0))) & โข ๐ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค -(โโ๐ต)), -(โโ๐ต), 0))) & โข ๐ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ๐ต)), (โโ๐ต), 0))) & โข ๐ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค -(โโ๐ต)), -(โโ๐ต), 0))) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ = ((๐ โ ๐) + (i ยท (๐ โ ๐)))) | ||
Theorem | iblrelem 25707* | Integrability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1 โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn โง (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ๐ต), ๐ต, 0))) โ โ โง (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค -๐ต), -๐ต, 0))) โ โ))) | ||
Theorem | iblposlem 25708* | Lemma for iblpos 25709. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) โ โข (๐ โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค -๐ต), -๐ต, 0))) = 0) | ||
Theorem | iblpos 25709* | Integrability of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) โ โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1 โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn โง (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0))) โ โ))) | ||
Theorem | iblre 25710* | Integrability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1 โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ if(0 โค ๐ต, ๐ต, 0)) โ ๐ฟ1 โง (๐ฅ โ ๐ด โฆ if(0 โค -๐ต, -๐ต, 0)) โ ๐ฟ1))) | ||
Theorem | itgrevallem1 25711* | Lemma for itgposval 25712 and itgreval 25713. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ = ((โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ๐ต), ๐ต, 0))) โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค -๐ต), -๐ต, 0))))) | ||
Theorem | itgposval 25712* | The integral of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) โ โข (๐ โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, ๐ต, 0)))) | ||
Theorem | itgreval 25713* | Decompose the integral of a real function into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ = (โซ๐ดif(0 โค ๐ต, ๐ต, 0) d๐ฅ โ โซ๐ดif(0 โค -๐ต, -๐ต, 0) d๐ฅ)) | ||
Theorem | itgrecl 25714* | Real closure of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ โ โ) | ||
Theorem | iblcn 25715* | Integrability of a complex function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1 โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ (โโ๐ต)) โ ๐ฟ1 โง (๐ฅ โ ๐ด โฆ (โโ๐ต)) โ ๐ฟ1))) | ||
Theorem | itgcnval 25716* | Decompose the integral of a complex function into real and imaginary parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ = (โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ + (i ยท โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ))) | ||
Theorem | itgre 25717* | Real part of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ (โโโซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ) | ||
Theorem | itgim 25718* | Imaginary part of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ (โโโซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(โโ๐ต) d๐ฅ) | ||
Theorem | iblneg 25719* | The negative of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ -๐ต) โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | itgneg 25720* | Negation of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ -โซ๐ด๐ต d๐ฅ = โซ๐ด-๐ต d๐ฅ) | ||
Theorem | iblss 25721* | A subset of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) & โข (๐ โ ๐ด โ dom vol) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ ๐ถ โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | iblss2 25722* | Change the domain of an integrability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) & โข (๐ โ ๐ต โ dom vol) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ ๐) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ต โ ๐ด)) โ ๐ถ = 0) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | itgitg2 25723* | Transfer an integral using โซ2 to an equivalent integral using โซ. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ ๐ด โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ 0 โค ๐ด) & โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ ๐ด) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โซโ๐ด d๐ฅ = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ ๐ด))) | ||
Theorem | i1fibl 25724 | A simple function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) |
โข (๐น โ dom โซ1 โ ๐น โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | itgitg1 25725* | Transfer an integral using โซ1 to an equivalent integral using โซ. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) |
โข (๐น โ dom โซ1 โ โซโ(๐นโ๐ฅ) d๐ฅ = (โซ1โ๐น)) | ||
Theorem | itgle 25726* | Monotonicity of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) |
โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โค ๐ถ) โ โข (๐ โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ โค โซ๐ด๐ถ d๐ฅ) | ||
Theorem | itgge0 25727* | The integral of a positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) โ โข (๐ โ 0 โค โซ๐ด๐ต d๐ฅ) | ||
Theorem | itgss 25728* | Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ต โ ๐ด)) โ ๐ถ = 0) โ โข (๐ โ โซ๐ด๐ถ d๐ฅ = โซ๐ต๐ถ d๐ฅ) | ||
Theorem | itgss2 25729* | Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) |
โข (๐ด โ ๐ต โ โซ๐ด๐ถ d๐ฅ = โซ๐ตif(๐ฅ โ ๐ด, ๐ถ, 0) d๐ฅ) | ||
Theorem | itgeqa 25730* | Approximate equality of integrals. If ๐ถ(๐ฅ) = ๐ท(๐ฅ) for almost all ๐ฅ, then โซ๐ต๐ถ(๐ฅ) d๐ฅ = โซ๐ต๐ท(๐ฅ) d๐ฅ and one is integrable iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ (vol*โ๐ด) = 0) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ต โ ๐ด)) โ ๐ถ = ๐ท) โ โข (๐ โ (((๐ฅ โ ๐ต โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1 โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ ๐ท) โ ๐ฟ1) โง โซ๐ต๐ถ d๐ฅ = โซ๐ต๐ท d๐ฅ)) | ||
Theorem | itgss3 25731* | Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ (vol*โ(๐ต โ ๐ด)) = 0) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ ๐ถ โ โ) โ โข (๐ โ (((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1 โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) โง โซ๐ด๐ถ d๐ฅ = โซ๐ต๐ถ d๐ฅ)) | ||
Theorem | itgioo 25732* | Equality of integrals on open and closed intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ด[,]๐ต)) โ ๐ถ โ โ) โ โข (๐ โ โซ(๐ด(,)๐ต)๐ถ d๐ฅ = โซ(๐ด[,]๐ต)๐ถ d๐ฅ) | ||
Theorem | itgless 25733* | Expand the integral of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) & โข (๐ โ ๐ด โ dom vol) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ 0 โค ๐ถ) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โซ๐ด๐ถ d๐ฅ โค โซ๐ต๐ถ d๐ฅ) | ||
Theorem | iblconst 25734 | A constant function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) |
โข ((๐ด โ dom vol โง (volโ๐ด) โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ร {๐ต}) โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | itgconst 25735* | Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) |
โข ((๐ด โ dom vol โง (volโ๐ด) โ โ โง ๐ต โ โ) โ โซ๐ด๐ต d๐ฅ = (๐ต ยท (volโ๐ด))) | ||
Theorem | ibladdlem 25736* | Lemma for ibladd 25737. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ท = (๐ต + ๐ถ)) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ MblFn) & โข (๐ โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ๐ต), ๐ต, 0))) โ โ) & โข (๐ โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ๐ถ), ๐ถ, 0))) โ โ) โ โข (๐ โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ๐ท), ๐ท, 0))) โ โ) | ||
Theorem | ibladd 25737* | Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ต + ๐ถ)) โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | iblsub 25738* | Subtract two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ต โ ๐ถ)) โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | itgaddlem1 25739* | Lemma for itgadd 25741. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ถ) โ โข (๐ โ โซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐ฅ = (โซ๐ด๐ต d๐ฅ + โซ๐ด๐ถ d๐ฅ)) | ||
Theorem | itgaddlem2 25740* | Lemma for itgadd 25741. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) โ โข (๐ โ โซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐ฅ = (โซ๐ด๐ต d๐ฅ + โซ๐ด๐ถ d๐ฅ)) | ||
Theorem | itgadd 25741* | Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โซ๐ด(๐ต + ๐ถ) d๐ฅ = (โซ๐ด๐ต d๐ฅ + โซ๐ด๐ถ d๐ฅ)) | ||
Theorem | itgsub 25742* | Subtract two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ถ โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โซ๐ด(๐ต โ ๐ถ) d๐ฅ = (โซ๐ด๐ต d๐ฅ โ โซ๐ด๐ถ d๐ฅ)) | ||
Theorem | itgfsum 25743* | Take a finite sum of integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โ dom vol) & โข (๐ โ ๐ต โ Fin) & โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ต)) โ ๐ถ โ ๐) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ด โฆ ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ) โ ๐ฟ1 โง โซ๐ดฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ d๐ฅ = ฮฃ๐ โ ๐ต โซ๐ด๐ถ d๐ฅ)) | ||
Theorem | iblabslem 25744* | Lemma for iblabs 25745. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) & โข ๐บ = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, (absโ(๐นโ๐ต)), 0)) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐นโ๐ต)) โ ๐ฟ1) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ (๐นโ๐ต) โ โ) โ โข (๐ โ (๐บ โ MblFn โง (โซ2โ๐บ) โ โ)) | ||
Theorem | iblabs 25745* | The absolute value of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (absโ๐ต)) โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | iblabsr 25746* | A measurable function is integrable iff its absolute value is integrable. (See iblabs 25745 for the forward implication.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (absโ๐ต)) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | iblmulc2 25747* | Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ (๐ถ ยท ๐ต)) โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | itgmulc2lem1 25748* | Lemma for itgmulc2 25750: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ 0 โค ๐ถ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ) | ||
Theorem | itgmulc2lem2 25749* | Lemma for itgmulc2 25750: real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ) | ||
Theorem | itgmulc2 25750* | Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ (๐ถ ยท โซ๐ด๐ต d๐ฅ) = โซ๐ด(๐ถ ยท ๐ต) d๐ฅ) | ||
Theorem | itgabs 25751* | The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ (absโโซ๐ด๐ต d๐ฅ) โค โซ๐ด(absโ๐ต) d๐ฅ) | ||
Theorem | itgsplit 25752* | The โซ integral splits under an almost disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) |
โข (๐ โ (vol*โ(๐ด โฉ ๐ต)) = 0) & โข (๐ โ ๐ = (๐ด โช ๐ต)) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐) โ ๐ถ โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โซ๐๐ถ d๐ฅ = (โซ๐ด๐ถ d๐ฅ + โซ๐ต๐ถ d๐ฅ)) | ||
Theorem | itgspliticc 25753* | The โซ integral splits on closed intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ (๐ด[,]๐ถ)) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ด[,]๐ถ)) โ ๐ท โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐ด[,]๐ต) โฆ ๐ท) โ ๐ฟ1) & โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐ต[,]๐ถ) โฆ ๐ท) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โซ(๐ด[,]๐ถ)๐ท d๐ฅ = (โซ(๐ด[,]๐ต)๐ท d๐ฅ + โซ(๐ต[,]๐ถ)๐ท d๐ฅ)) | ||
Theorem | itgsplitioo 25754* | The โซ integral splits on open intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ (๐ด[,]๐ถ)) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ด(,)๐ถ)) โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ ๐ท) โ ๐ฟ1) & โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐ต(,)๐ถ) โฆ ๐ท) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โซ(๐ด(,)๐ถ)๐ท d๐ฅ = (โซ(๐ด(,)๐ต)๐ท d๐ฅ + โซ(๐ต(,)๐ถ)๐ท d๐ฅ)) | ||
Theorem | bddmulibl 25755* | A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) |
โข ((๐น โ MblFn โง ๐บ โ ๐ฟ1 โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ dom ๐น(absโ(๐นโ๐ฆ)) โค ๐ฅ) โ (๐น โf ยท ๐บ) โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | bddibl 25756* | A bounded function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) |
โข ((๐น โ MblFn โง (volโdom ๐น) โ โ โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ dom ๐น(absโ(๐นโ๐ฆ)) โค ๐ฅ) โ ๐น โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | cniccibl 25757 | A continuous function on a closed bounded interval is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐น โ ((๐ด[,]๐ต)โcnโโ)) โ ๐น โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | bddiblnc 25758* | Choice-free proof of bddibl 25756. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 6-Nov-2017.) |
โข ((๐น โ MblFn โง (volโdom ๐น) โ โ โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ dom ๐น(absโ(๐นโ๐ฆ)) โค ๐ฅ) โ ๐น โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | cnicciblnc 25759 | Choice-free proof of cniccibl 25757. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Nov-2017.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐น โ ((๐ด[,]๐ต)โcnโโ)) โ ๐น โ ๐ฟ1) | ||
Theorem | itggt0 25760* | The integral of a strictly positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.) |
โข (๐ โ 0 < (volโ๐ด)) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ+) โ โข (๐ โ 0 < โซ๐ด๐ต d๐ฅ) | ||
Theorem | itgcn 25761* | Transfer itg2cn 25680 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ+) โ โข (๐ โ โ๐ โ โ+ โ๐ข โ dom vol((๐ข โ ๐ด โง (volโ๐ข) < ๐) โ โซ๐ข(absโ๐ต) d๐ฅ < ๐ถ)) | ||
Syntax | cdit 25762 | Extend class notation with the directed integral. |
class โจ[๐ด โ ๐ต]๐ถ d๐ฅ | ||
Definition | df-ditg 25763 | Define the directed integral, which is just a regular integral but with a sign change when the limits are interchanged. The ๐ด and ๐ต here are the lower and upper limits of the integral, usually written as a subscript and superscript next to the integral sign. We define the region of integration to be an open interval instead of closed so that we can use +โ, -โ for limits and also integrate up to a singularity at an endpoint. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) |
โข โจ[๐ด โ ๐ต]๐ถ d๐ฅ = if(๐ด โค ๐ต, โซ(๐ด(,)๐ต)๐ถ d๐ฅ, -โซ(๐ต(,)๐ด)๐ถ d๐ฅ) | ||
Theorem | ditgeq1 25764* | Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) |
โข (๐ด = ๐ต โ โจ[๐ด โ ๐ถ]๐ท d๐ฅ = โจ[๐ต โ ๐ถ]๐ท d๐ฅ) | ||
Theorem | ditgeq2 25765* | Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) |
โข (๐ด = ๐ต โ โจ[๐ถ โ ๐ด]๐ท d๐ฅ = โจ[๐ถ โ ๐ต]๐ท d๐ฅ) | ||
Theorem | ditgeq3 25766* | Equality theorem for the directed integral. (The domain of the equality here is very rough; for more precise bounds one should decompose it with ditgpos 25772 first and use the equality theorems for df-itg 25539.) (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) |
โข (โ๐ฅ โ โ ๐ท = ๐ธ โ โจ[๐ด โ ๐ต]๐ท d๐ฅ = โจ[๐ด โ ๐ต]๐ธ d๐ฅ) | ||
Theorem | ditgeq3dv 25767* | Equality theorem for the directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) |
โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ) โ ๐ท = ๐ธ) โ โข (๐ โ โจ[๐ด โ ๐ต]๐ท d๐ฅ = โจ[๐ด โ ๐ต]๐ธ d๐ฅ) | ||
Theorem | ditgex 25768 | A directed integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) |
โข โจ[๐ด โ ๐ต]๐ถ d๐ฅ โ V | ||
Theorem | ditg0 25769* | Value of the directed integral from a point to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) |
โข โจ[๐ด โ ๐ด]๐ต d๐ฅ = 0 | ||
Theorem | cbvditg 25770* | Change bound variable in a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) |
โข (๐ฅ = ๐ฆ โ ๐ถ = ๐ท) & โข โฒ๐ฆ๐ถ & โข โฒ๐ฅ๐ท โ โข โจ[๐ด โ ๐ต]๐ถ d๐ฅ = โจ[๐ด โ ๐ต]๐ท d๐ฆ | ||
Theorem | cbvditgv 25771* | Change bound variable in a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) |
โข (๐ฅ = ๐ฆ โ ๐ถ = ๐ท) โ โข โจ[๐ด โ ๐ต]๐ถ d๐ฅ = โจ[๐ด โ ๐ต]๐ท d๐ฆ | ||
Theorem | ditgpos 25772* | Value of the directed integral in the forward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) โ โข (๐ โ โจ[๐ด โ ๐ต]๐ถ d๐ฅ = โซ(๐ด(,)๐ต)๐ถ d๐ฅ) | ||
Theorem | ditgneg 25773* | Value of the directed integral in the backward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ โจ[๐ต โ ๐ด]๐ถ d๐ฅ = -โซ(๐ด(,)๐ต)๐ถ d๐ฅ) | ||
Theorem | ditgcl 25774* | Closure of a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ (๐[,]๐)) & โข (๐ โ ๐ต โ (๐[,]๐)) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐(,)๐)) โ ๐ถ โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐(,)๐) โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โจ[๐ด โ ๐ต]๐ถ d๐ฅ โ โ) | ||
Theorem | ditgswap 25775* | Reverse a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ (๐[,]๐)) & โข (๐ โ ๐ต โ (๐[,]๐)) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐(,)๐)) โ ๐ถ โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐(,)๐) โฆ ๐ถ) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โจ[๐ต โ ๐ด]๐ถ d๐ฅ = -โจ[๐ด โ ๐ต]๐ถ d๐ฅ) | ||
Theorem | ditgsplitlem 25776* | Lemma for ditgsplit 25777. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ (๐[,]๐)) & โข (๐ โ ๐ต โ (๐[,]๐)) & โข (๐ โ ๐ถ โ (๐[,]๐)) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐(,)๐)) โ ๐ท โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐(,)๐) โฆ ๐ท) โ ๐ฟ1) & โข ((๐ โง ๐) โ (๐ด โค ๐ต โง ๐ต โค ๐ถ)) โ โข (((๐ โง ๐) โง ๐) โ โจ[๐ด โ ๐ถ]๐ท d๐ฅ = (โจ[๐ด โ ๐ต]๐ท d๐ฅ + โจ[๐ต โ ๐ถ]๐ท d๐ฅ)) | ||
Theorem | ditgsplit 25777* | This theorem is the raison d'รชtre for the directed integral, because unlike itgspliticc 25753, there is no constraint on the ordering of the points ๐ด, ๐ต, ๐ถ in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โ (๐[,]๐)) & โข (๐ โ ๐ต โ (๐[,]๐)) & โข (๐ โ ๐ถ โ (๐[,]๐)) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐(,)๐)) โ ๐ท โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐(,)๐) โฆ ๐ท) โ ๐ฟ1) โ โข (๐ โ โจ[๐ด โ ๐ถ]๐ท d๐ฅ = (โจ[๐ด โ ๐ต]๐ท d๐ฅ + โจ[๐ต โ ๐ถ]๐ท d๐ฅ)) | ||
Syntax | climc 25778 | The limit operator. |
class limโ | ||
Syntax | cdv 25779 | The derivative operator. |
class D | ||
Syntax | cdvn 25780 | The ๐-th derivative operator. |
class D๐ | ||
Syntax | ccpn 25781 | The set of ๐-times continuously differentiable functions. |
class ๐C๐ | ||
Definition | df-limc 25782* | Define the set of limits of a complex function at a point. Under normal circumstances, this will be a singleton or empty, depending on whether the limit exists. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) |
โข limโ = (๐ โ (โ โpm โ), ๐ฅ โ โ โฆ {๐ฆ โฃ [(TopOpenโโfld) / ๐](๐ง โ (dom ๐ โช {๐ฅ}) โฆ if(๐ง = ๐ฅ, ๐ฆ, (๐โ๐ง))) โ (((๐ โพt (dom ๐ โช {๐ฅ})) CnP ๐)โ๐ฅ)}) | ||
Definition | df-dv 25783* | Define the derivative operator. This acts on functions to produce a function that is defined where the original function is differentiable, with value the derivative of the function at these points. The set ๐ here is the ambient topological space under which we are evaluating the continuity of the difference quotient. Although the definition is valid for any subset of โ and is well-behaved when ๐ contains no isolated points, we will restrict our attention to the cases ๐ = โ or ๐ = โ for the majority of the development, these corresponding respectively to real and complex differentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) |
โข D = (๐ โ ๐ซ โ, ๐ โ (โ โpm ๐ ) โฆ โช ๐ฅ โ ((intโ((TopOpenโโfld) โพt ๐ ))โdom ๐)({๐ฅ} ร ((๐ง โ (dom ๐ โ {๐ฅ}) โฆ (((๐โ๐ง) โ (๐โ๐ฅ)) / (๐ง โ ๐ฅ))) limโ ๐ฅ))) | ||
Definition | df-dvn 25784* | Define the ๐-th derivative operator on functions on the complex numbers. This just iterates the derivative operation according to the last argument. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) |
โข D๐ = (๐ โ ๐ซ โ, ๐ โ (โ โpm ๐ ) โฆ seq0(((๐ฅ โ V โฆ (๐ D ๐ฅ)) โ 1st ), (โ0 ร {๐}))) | ||
Definition | df-cpn 25785* | Define the set of ๐-times continuously differentiable functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.) |
โข ๐C๐ = (๐ โ ๐ซ โ โฆ (๐ฅ โ โ0 โฆ {๐ โ (โ โpm ๐ ) โฃ ((๐ D๐ ๐)โ๐ฅ) โ (dom ๐โcnโโ)})) | ||
Theorem | reldv 25786 | The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) |
โข Rel (๐ D ๐น) | ||
Theorem | limcvallem 25787* | Lemma for ellimc 25789. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) |
โข ๐ฝ = (๐พ โพt (๐ด โช {๐ต})) & โข ๐พ = (TopOpenโโfld) & โข ๐บ = (๐ง โ (๐ด โช {๐ต}) โฆ if(๐ง = ๐ต, ๐ถ, (๐นโ๐ง))) โ โข ((๐น:๐ดโถโ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐บ โ ((๐ฝ CnP ๐พ)โ๐ต) โ ๐ถ โ โ)) | ||
Theorem | limcfval 25788* | Value and set bounds on the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) |
โข ๐ฝ = (๐พ โพt (๐ด โช {๐ต})) & โข ๐พ = (TopOpenโโfld) โ โข ((๐น:๐ดโถโ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐น limโ ๐ต) = {๐ฆ โฃ (๐ง โ (๐ด โช {๐ต}) โฆ if(๐ง = ๐ต, ๐ฆ, (๐นโ๐ง))) โ ((๐ฝ CnP ๐พ)โ๐ต)} โง (๐น limโ ๐ต) โ โ)) | ||
Theorem | ellimc 25789* | Value of the limit predicate. ๐ถ is the limit of the function ๐น at ๐ต if the function ๐บ, formed by adding ๐ต to the domain of ๐น and setting it to ๐ถ, is continuous at ๐ต. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) |
โข ๐ฝ = (๐พ โพt (๐ด โช {๐ต})) & โข ๐พ = (TopOpenโโfld) & โข ๐บ = (๐ง โ (๐ด โช {๐ต}) โฆ if(๐ง = ๐ต, ๐ถ, (๐นโ๐ง))) & โข (๐ โ ๐น:๐ดโถโ) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ (๐ถ โ (๐น limโ ๐ต) โ ๐บ โ ((๐ฝ CnP ๐พ)โ๐ต))) | ||
Theorem | limcrcl 25790 | Reverse closure for the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) |
โข (๐ถ โ (๐น limโ ๐ต) โ (๐น:dom ๐นโถโ โง dom ๐น โ โ โง ๐ต โ โ)) | ||
Theorem | limccl 25791 | Closure of the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) |
โข (๐น limโ ๐ต) โ โ | ||
Theorem | limcdif 25792 | It suffices to consider functions which are not defined at ๐ต to define the limit of a function. In particular, the value of the original function ๐น at ๐ต does not affect the limit of ๐น. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) |
โข (๐ โ ๐น:๐ดโถโ) โ โข (๐ โ (๐น limโ ๐ต) = ((๐น โพ (๐ด โ {๐ต})) limโ ๐ต)) | ||
Theorem | ellimc2 25793* | Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) |
โข (๐ โ ๐น:๐ดโถโ) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข ๐พ = (TopOpenโโfld) โ โข (๐ โ (๐ถ โ (๐น limโ ๐ต) โ (๐ถ โ โ โง โ๐ข โ ๐พ (๐ถ โ ๐ข โ โ๐ค โ ๐พ (๐ต โ ๐ค โง (๐น โ (๐ค โฉ (๐ด โ {๐ต}))) โ ๐ข))))) | ||
Theorem | limcnlp 25794 | If ๐ต is not a limit point of the domain of the function ๐น, then every point is a limit of ๐น at ๐ต. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) |
โข (๐ โ ๐น:๐ดโถโ) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข ๐พ = (TopOpenโโfld) & โข (๐ โ ยฌ ๐ต โ ((limPtโ๐พ)โ๐ด)) โ โข (๐ โ (๐น limโ ๐ต) = โ) | ||
Theorem | ellimc3 25795* | Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) |
โข (๐ โ ๐น:๐ดโถโ) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ (๐ถ โ (๐น limโ ๐ต) โ (๐ถ โ โ โง โ๐ฅ โ โ+ โ๐ฆ โ โ+ โ๐ง โ ๐ด ((๐ง โ ๐ต โง (absโ(๐ง โ ๐ต)) < ๐ฆ) โ (absโ((๐นโ๐ง) โ ๐ถ)) < ๐ฅ)))) | ||
Theorem | limcflflem 25796 | Lemma for limcflf 25797. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) |
โข (๐ โ ๐น:๐ดโถโ) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ ((limPtโ๐พ)โ๐ด)) & โข ๐พ = (TopOpenโโfld) & โข ๐ถ = (๐ด โ {๐ต}) & โข ๐ฟ = (((neiโ๐พ)โ{๐ต}) โพt ๐ถ) โ โข (๐ โ ๐ฟ โ (Filโ๐ถ)) | ||
Theorem | limcflf 25797 | The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of ๐ต restricted to ๐ด โ {๐ต}, to the topology of the complex numbers. (If ๐ต is not a limit point of ๐ด, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) |
โข (๐ โ ๐น:๐ดโถโ) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ ((limPtโ๐พ)โ๐ด)) & โข ๐พ = (TopOpenโโfld) & โข ๐ถ = (๐ด โ {๐ต}) & โข ๐ฟ = (((neiโ๐พ)โ{๐ต}) โพt ๐ถ) โ โข (๐ โ (๐น limโ ๐ต) = ((๐พ fLimf ๐ฟ)โ(๐น โพ ๐ถ))) | ||
Theorem | limcmo 25798* | If ๐ต is a limit point of the domain of the function ๐น, then there is at most one limit value of ๐น at ๐ต. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) |
โข (๐ โ ๐น:๐ดโถโ) & โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ ((limPtโ๐พ)โ๐ด)) & โข ๐พ = (TopOpenโโfld) โ โข (๐ โ โ*๐ฅ ๐ฅ โ (๐น limโ ๐ต)) | ||
Theorem | limcmpt 25799* | Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข ((๐ โง ๐ง โ ๐ด) โ ๐ท โ โ) & โข ๐ฝ = (๐พ โพt (๐ด โช {๐ต})) & โข ๐พ = (TopOpenโโfld) โ โข (๐ โ (๐ถ โ ((๐ง โ ๐ด โฆ ๐ท) limโ ๐ต) โ (๐ง โ (๐ด โช {๐ต}) โฆ if(๐ง = ๐ต, ๐ถ, ๐ท)) โ ((๐ฝ CnP ๐พ)โ๐ต))) | ||
Theorem | limcmpt2 25800* | Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ ๐ด) & โข ((๐ โง (๐ง โ ๐ด โง ๐ง โ ๐ต)) โ ๐ท โ โ) & โข ๐ฝ = (๐พ โพt ๐ด) & โข ๐พ = (TopOpenโโfld) โ โข (๐ โ (๐ถ โ ((๐ง โ (๐ด โ {๐ต}) โฆ ๐ท) limโ ๐ต) โ (๐ง โ ๐ด โฆ if(๐ง = ๐ต, ๐ถ, ๐ท)) โ ((๐ฝ CnP ๐พ)โ๐ต))) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |