MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsubst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsubst 25802
Description: Integration by ๐‘ข-substitution. If ๐ด(๐‘ฅ) is a continuous, differentiable function from [๐‘‹, ๐‘Œ] to (๐‘, ๐‘Š), whose derivative is continuous and integrable, and ๐ถ(๐‘ข) is a continuous function on (๐‘, ๐‘Š), then the integral of ๐ถ(๐‘ข) from ๐พ = ๐ด(๐‘‹) to ๐ฟ = ๐ด(๐‘Œ) is equal to the integral of ๐ถ(๐ด(๐‘ฅ)) D ๐ด(๐‘ฅ) from ๐‘‹ to ๐‘Œ. In this part of the proof we discharge the assumptions in itgsubstlem 25801, which use the fact that (๐‘, ๐‘Š) is open to shrink the interval a little to (๐‘€, ๐‘) where ๐‘ < ๐‘€ < ๐‘ < ๐‘Š- this is possible because ๐ด(๐‘ฅ) is a continuous function on a closed interval, so its range is in fact a closed interval, and we have some wiggle room on the edges. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
itgsubst.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
itgsubst.le (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
itgsubst.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„*)
itgsubst.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„*)
itgsubst.a (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐‘(,)๐‘Š)))
itgsubst.b (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ต) โˆˆ (((๐‘‹(,)๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„‚) โˆฉ ๐ฟ1))
itgsubst.c (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ((๐‘(,)๐‘Š)โ€“cnโ†’โ„‚))
itgsubst.da (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ต))
itgsubst.e (๐‘ข = ๐ด โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
itgsubst.k (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐ด = ๐พ)
itgsubst.l (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ด = ๐ฟ)
Assertion
Ref Expression
itgsubst (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ข,๐ธ   ๐‘ฅ,๐‘ข,๐พ   ๐œ‘,๐‘ข,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐‘‹,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐‘Œ,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ข,๐‘Š,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐ฟ,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ข)   ๐ถ(๐‘ข)   ๐ธ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgsubst
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2 itgsubst.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
3 itgsubst.le . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
4 ioossre 13390 . . . . 5 (๐‘(,)๐‘Š) โІ โ„
5 ax-resscn 11170 . . . . 5 โ„ โІ โ„‚
6 cncfss 24640 . . . . 5 (((๐‘(,)๐‘Š) โІ โ„ โˆง โ„ โІ โ„‚) โ†’ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐‘(,)๐‘Š)) โІ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„))
74, 5, 6mp2an 689 . . . 4 ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐‘(,)๐‘Š)) โІ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„)
8 itgsubst.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐‘(,)๐‘Š)))
97, 8sselid 3980 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„))
101, 2, 3, 9evthicc 25209 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)))
11 ressxr 11263 . . . . . . . 8 โ„ โІ โ„*
124, 11sstri 3991 . . . . . . 7 (๐‘(,)๐‘Š) โІ โ„*
13 cncff 24634 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐‘(,)๐‘Š)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐‘(,)๐‘Š))
148, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐‘(,)๐‘Š))
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐‘(,)๐‘Š))
16 simprl 768 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
1715, 16ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
1812, 17sselid 3980 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
19 itgsubst.w . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„*)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„*)
21 eliooord 13388 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†’ (๐‘ < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘Š))
2217, 21syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘Š))
2322simprd 495 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘Š)
24 qbtwnxr 13184 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„* โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„* โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘Š) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„š (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))
2518, 20, 23, 24syl3anc 1370 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„š (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))
26 qre 12942 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
2726ad2antrl 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
28 itgsubst.z . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„*)
2928ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„*)
3018adantr 480 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
3127rexrd 11269 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„*)
3222simpld 494 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))
3332adantr 480 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘ < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))
34 simprrl 778 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘›)
3529, 30, 31, 33, 34xrlttrd 13143 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘ < ๐‘›)
36 simprrr 779 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘› < ๐‘Š)
3719ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„*)
38 elioo2 13370 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š)))
3929, 37, 38syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ (๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š)))
4027, 35, 36, 39mpbir3and 1341 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
41 anass 468 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))))
42 simprrl 778 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘›)
4342adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘›)
4414ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐‘(,)๐‘Š))
4544ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
4612, 45sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„*)
47 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
4844, 47ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
4912, 48sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
5049adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
5126ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
5251adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
5352rexrd 11269 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„*)
54 xrlelttr 13140 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„* โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„* โˆง ๐‘› โˆˆ โ„*) โ†’ ((((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘›) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
5546, 50, 53, 54syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘›) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
5643, 55mpan2d 691 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
5756ralimdva 3166 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
5857imp 406 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›)
5958an32s 649 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›)
6041, 59sylanbr 581 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›)
6125, 40, 60reximssdv 3171 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›)
6261rexlimdvaa 3155 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
6328adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„*)
6414adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐‘(,)๐‘Š))
65 simprl 768 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
6664, 65ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
6712, 66sselid 3980 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
6866, 21syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ (๐‘ < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘Š))
6968simpld 494 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ ๐‘ < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))
70 qbtwnxr 13184 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„* โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„š (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))
7163, 67, 69, 70syl3anc 1370 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„š (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))
72 qre 12942 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
7372ad2antrl 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
74 simprrl 778 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ < ๐‘š)
7573rexrd 11269 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„*)
7667adantr 480 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
7719ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„*)
78 simprrr 779 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))
7968simprd 495 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘Š)
8079adantr 480 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘Š)
8175, 76, 77, 78, 80xrlttrd 13143 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘š < ๐‘Š)
8228ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„*)
83 elioo2 13370 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†” (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘Š)))
8482, 77, 83syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†” (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘Š)))
8573, 74, 81, 84mpbir3and 1341 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
86 anass 468 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))))
87 simprrr 779 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))
8887adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))
8972ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
9190rexrd 11269 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„*)
9214ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐‘(,)๐‘Š))
93 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
9492, 93ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
9512, 94sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
9792ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
9812, 97sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„*)
99 xrltletr 13141 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„* โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„* โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†’ ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)))
10091, 96, 98, 99syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†’ ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)))
10188, 100mpand 692 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)))
102101ralimdva 3166 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)))
103102imp 406 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))
104103an32s 649 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))
10586, 104sylanbr 581 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))
10671, 85, 105reximssdv 3171 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))
107106rexlimdvaa 3155 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)))
108 ancom 460 . . . . 5 ((โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘› โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
109 reeanv 3225 . . . . 5 (โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)(โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
110108, 109bitr4i 278 . . . 4 ((โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘› โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)(โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
111 r19.26 3110 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)(๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
11214adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐‘(,)๐‘Š))
113112ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
1144, 113sselid 3980 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
1151143biant1d 1477 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›)))
116 simplrl 774 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
11712, 116sselid 3980 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„*)
118 simplrr 775 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
11912, 118sselid 3980 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„*)
120 elioo2 13370 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„* โˆง ๐‘› โˆˆ โ„*) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›)))
121117, 119, 120syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›)))
122115, 121bitr4d 282 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
123122ralbidva 3174 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)(๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
124 nffvmpt1 6902 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)
125124nfel1 2918 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)
126 nfv 1916 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ง((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)
127 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) = ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ))
128127eleq1d 2817 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
129125, 126, 128cbvralw 3302 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))
130 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
13114fvmptelcdm 7114 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
132 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)
133132fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ) = ๐ด)
134130, 131, 133syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ) = ๐ด)
135134eleq1d 2817 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” ๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
136135ralbidva 3174 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
137129, 136bitrid 283 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
138137adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
1391adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
1402adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
14228adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„*)
14319adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„*)
144 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฆ๐ด
145 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
146 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
147144, 145, 146cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) = (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
148147, 8eqeltrrid 2837 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐‘(,)๐‘Š)))
149148adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐‘(,)๐‘Š)))
150 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฆ๐ต
151 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
152 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
153150, 151, 152cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ต) = (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
154 itgsubst.b . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ต) โˆˆ (((๐‘‹(,)๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„‚) โˆฉ ๐ฟ1))
155153, 154eqeltrrid 2837 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ (((๐‘‹(,)๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„‚) โˆฉ ๐ฟ1))
156155adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ (((๐‘‹(,)๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„‚) โˆฉ ๐ฟ1))
157 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฃ๐ถ
158 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ขโฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ
159 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = ๐‘ฃ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ)
160157, 158, 159cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†ฆ ๐ถ) = (๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ)
161 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ((๐‘(,)๐‘Š)โ€“cnโ†’โ„‚))
162160, 161eqeltrrid 2837 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ) โˆˆ ((๐‘(,)๐‘Š)โ€“cnโ†’โ„‚))
163162adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ) โˆˆ ((๐‘(,)๐‘Š)โ€“cnโ†’โ„‚))
164 itgsubst.da . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ต))
165147oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)) = (โ„ D (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
166164, 165, 1533eqtr3g 2794 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
167166adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ (โ„ D (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
168 csbeq1 3896 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ = โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ)
169 csbeq1 3896 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
170 csbeq1 3896 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
171 simprll 776 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
172 simprlr 777 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
173 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))
174145nfel1 2918 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)
175146eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
176174, 175rspc 3600 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
177173, 176mpan9 506 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))
178139, 140, 141, 142, 143, 149, 156, 163, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 177itgsubstlem 25801 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ d๐‘ฃ = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ)
179159, 157, 158cbvditg 25604 . . . . . . . . . . . 12 โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข = โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ d๐‘ฃ
180 nfcvd 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ โ„ฒ๐‘ฅ๐พ)
181 itgsubst.k . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐ด = ๐พ)
182180, 181csbiegf 3927 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐พ)
183 ditgeq1 25598 . . . . . . . . . . . . . 14 (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐พ โ†’ โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐พ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข)
1841, 182, 1833syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐พ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข)
185 nfcvd 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ โ„ฒ๐‘ฅ๐ฟ)
186 itgsubst.l . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ด = ๐ฟ)
187185, 186csbiegf 3927 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ฟ)
188 ditgeq2 25599 . . . . . . . . . . . . . 14 (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ฟ โ†’ โจœ[๐พ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข)
1892, 187, 1883syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐พ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข)
190184, 189eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข)
191179, 190eqtr3id 2785 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ d๐‘ฃ = โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข)
192191adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ d๐‘ฃ = โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข)
193146csbeq1d 3897 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ = โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ)
194193, 152oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต) = (โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
195 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฆ(โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต)
196 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅ๐ถ
197145, 196nfcsbw 3920 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ
198 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ ยท
199197, 198, 151nfov 7442 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅ(โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
200194, 195, 199cbvditg 25604 . . . . . . . . . . . 12 โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ
201 ioossicc 13415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘‹(,)๐‘Œ) โІ (๐‘‹[,]๐‘Œ)
202201sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
203202, 131sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
204 nfcvd 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†’ โ„ฒ๐‘ข๐ธ)
205 itgsubst.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ข = ๐ด โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
206204, 205csbiegf 3927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†’ โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ = ๐ธ)
207203, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ)) โ†’ โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ = ๐ธ)
208207oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ)) โ†’ (โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต) = (๐ธ ยท ๐ต))
209208itgeq2dv 25532 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(๐‘‹(,)๐‘Œ)(โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ(๐‘‹(,)๐‘Œ)(๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
2103ditgpos 25606 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ(๐‘‹(,)๐‘Œ)(โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
2113ditgpos 25606 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ(๐‘‹(,)๐‘Œ)(๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
212209, 210, 2113eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
213200, 212eqtr3id 2785 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
214213adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
215178, 192, 2143eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
216215expr 456 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
217138, 216sylbid 239 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
218123, 217sylbid 239 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)(๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
219111, 218biimtrrid 242 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โ†’ ((โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
220219rexlimdvva 3210 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)(โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
221110, 220biimtrid 241 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘› โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
22262, 107, 221syl2and 607 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
22310, 222mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069  โฆ‹csb 3893   โˆฉ cin 3947   โІ wss 3948   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112   ยท cmul 11118  โ„*cxr 11252   < clt 11253   โ‰ค cle 11254  โ„šcq 12937  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  โ€“cnโ†’ccncf 24617  ๐ฟ1cibl 25367  โˆซcitg 25368  โจœcdit 25596   D cdv 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-itg 25373  df-0p 25420  df-ditg 25597  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  itgsubsticclem  44990
  Copyright terms: Public domain W3C validator