MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsubst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsubst 25801
Description: Integration by ๐‘ข-substitution. If ๐ด(๐‘ฅ) is a continuous, differentiable function from [๐‘‹, ๐‘Œ] to (๐‘, ๐‘Š), whose derivative is continuous and integrable, and ๐ถ(๐‘ข) is a continuous function on (๐‘, ๐‘Š), then the integral of ๐ถ(๐‘ข) from ๐พ = ๐ด(๐‘‹) to ๐ฟ = ๐ด(๐‘Œ) is equal to the integral of ๐ถ(๐ด(๐‘ฅ)) D ๐ด(๐‘ฅ) from ๐‘‹ to ๐‘Œ. In this part of the proof we discharge the assumptions in itgsubstlem 25800, which use the fact that (๐‘, ๐‘Š) is open to shrink the interval a little to (๐‘€, ๐‘) where ๐‘ < ๐‘€ < ๐‘ < ๐‘Š- this is possible because ๐ด(๐‘ฅ) is a continuous function on a closed interval, so its range is in fact a closed interval, and we have some wiggle room on the edges. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
itgsubst.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
itgsubst.le (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
itgsubst.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„*)
itgsubst.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„*)
itgsubst.a (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐‘(,)๐‘Š)))
itgsubst.b (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ต) โˆˆ (((๐‘‹(,)๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„‚) โˆฉ ๐ฟ1))
itgsubst.c (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ((๐‘(,)๐‘Š)โ€“cnโ†’โ„‚))
itgsubst.da (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ต))
itgsubst.e (๐‘ข = ๐ด โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
itgsubst.k (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐ด = ๐พ)
itgsubst.l (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ด = ๐ฟ)
Assertion
Ref Expression
itgsubst (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ข,๐ธ   ๐‘ฅ,๐‘ข,๐พ   ๐œ‘,๐‘ข,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐‘‹,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐‘Œ,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ข,๐‘Š,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐ฟ,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ข)   ๐ถ(๐‘ข)   ๐ธ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgsubst
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2 itgsubst.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
3 itgsubst.le . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
4 ioossre 13389 . . . . 5 (๐‘(,)๐‘Š) โŠ† โ„
5 ax-resscn 11169 . . . . 5 โ„ โŠ† โ„‚
6 cncfss 24639 . . . . 5 (((๐‘(,)๐‘Š) โŠ† โ„ โˆง โ„ โŠ† โ„‚) โ†’ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐‘(,)๐‘Š)) โŠ† ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„))
74, 5, 6mp2an 688 . . . 4 ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐‘(,)๐‘Š)) โŠ† ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„)
8 itgsubst.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐‘(,)๐‘Š)))
97, 8sselid 3979 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„))
101, 2, 3, 9evthicc 25208 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)))
11 ressxr 11262 . . . . . . . 8 โ„ โŠ† โ„*
124, 11sstri 3990 . . . . . . 7 (๐‘(,)๐‘Š) โŠ† โ„*
13 cncff 24633 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐‘(,)๐‘Š)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐‘(,)๐‘Š))
148, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐‘(,)๐‘Š))
1514adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐‘(,)๐‘Š))
16 simprl 767 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
1715, 16ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
1812, 17sselid 3979 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
19 itgsubst.w . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„*)
2019adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„*)
21 eliooord 13387 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†’ (๐‘ < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘Š))
2217, 21syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘Š))
2322simprd 494 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘Š)
24 qbtwnxr 13183 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„* โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„* โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘Š) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„š (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))
2518, 20, 23, 24syl3anc 1369 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„š (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))
26 qre 12941 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
2726ad2antrl 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
28 itgsubst.z . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„*)
2928ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„*)
3018adantr 479 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
3127rexrd 11268 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„*)
3222simpld 493 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))
3332adantr 479 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘ < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))
34 simprrl 777 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘›)
3529, 30, 31, 33, 34xrlttrd 13142 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘ < ๐‘›)
36 simprrr 778 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘› < ๐‘Š)
3719ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„*)
38 elioo2 13369 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š)))
3929, 37, 38syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ (๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š)))
4027, 35, 36, 39mpbir3and 1340 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
41 anass 467 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))))
42 simprrl 777 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘›)
4342adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘›)
4414ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐‘(,)๐‘Š))
4544ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
4612, 45sselid 3979 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„*)
47 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
4844, 47ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
4912, 48sselid 3979 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
5049adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
5126ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
5251adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
5352rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„*)
54 xrlelttr 13139 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„* โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„* โˆง ๐‘› โˆˆ โ„*) โ†’ ((((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘›) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
5546, 50, 53, 54syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘›) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
5643, 55mpan2d 690 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
5756ralimdva 3165 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
5857imp 405 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›)
5958an32s 648 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›)
6041, 59sylanbr 580 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„š โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›)
6125, 40, 60reximssdv 3170 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›)
6261rexlimdvaa 3154 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
6328adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„*)
6414adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐‘(,)๐‘Š))
65 simprl 767 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
6664, 65ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
6712, 66sselid 3979 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
6866, 21syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ (๐‘ < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘Š))
6968simpld 493 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ ๐‘ < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))
70 qbtwnxr 13183 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„* โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„š (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))
7163, 67, 69, 70syl3anc 1369 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„š (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))
72 qre 12941 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
7372ad2antrl 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
74 simprrl 777 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ < ๐‘š)
7573rexrd 11268 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„*)
7667adantr 479 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
7719ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„*)
78 simprrr 778 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))
7968simprd 494 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘Š)
8079adantr 479 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) < ๐‘Š)
8175, 76, 77, 78, 80xrlttrd 13142 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘š < ๐‘Š)
8228ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„*)
83 elioo2 13369 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†” (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘Š)))
8482, 77, 83syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†” (๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ๐‘Š)))
8573, 74, 81, 84mpbir3and 1340 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
86 anass 467 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))))
87 simprrr 778 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))
8887adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ))
8972ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
9089adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
9190rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„*)
9214ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐‘(,)๐‘Š))
93 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
9492, 93ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
9512, 94sselid 3979 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
9695adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
9792ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
9812, 97sselid 3979 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„*)
99 xrltletr 13140 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„* โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„* โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†’ ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)))
10091, 96, 98, 99syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†’ ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)))
10188, 100mpand 691 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)))
102101ralimdva 3165 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)))
103102imp 405 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))
104103an32s 648 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))
10586, 104sylanbr 580 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ < ๐‘š โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))
10671, 85, 105reximssdv 3170 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง))
107106rexlimdvaa 3154 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)))
108 ancom 459 . . . . 5 ((โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘› โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
109 reeanv 3224 . . . . 5 (โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)(โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
110108, 109bitr4i 277 . . . 4 ((โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘› โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)(โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
111 r19.26 3109 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)(๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›))
11214adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐‘(,)๐‘Š))
113112ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
1144, 113sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
1151143biant1d 1476 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›)))
116 simplrl 773 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
11712, 116sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„*)
118 simplrr 774 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
11912, 118sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„*)
120 elioo2 13369 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„* โˆง ๐‘› โˆˆ โ„*) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›)))
121117, 119, 120syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›)))
122115, 121bitr4d 281 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
123122ralbidva 3173 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)(๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
124 nffvmpt1 6901 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)
125124nfel1 2917 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)
126 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ง((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)
127 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) = ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ))
128127eleq1d 2816 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
129125, 126, 128cbvralw 3301 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))
130 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
13114fvmptelcdm 7113 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
132 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)
133132fvmpt2 7008 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โˆง ๐ด โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ) = ๐ด)
134130, 131, 133syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ) = ๐ด)
135134eleq1d 2816 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” ๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
136135ralbidva 3173 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
137129, 136bitrid 282 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
138137adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
1391adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
1402adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
1413adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
14228adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„*)
14319adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„*)
144 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฆ๐ด
145 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
146 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
147144, 145, 146cbvmpt 5258 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) = (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
148147, 8eqeltrrid 2836 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐‘(,)๐‘Š)))
149148adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐‘(,)๐‘Š)))
150 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฆ๐ต
151 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
152 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
153150, 151, 152cbvmpt 5258 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ต) = (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
154 itgsubst.b . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ต) โˆˆ (((๐‘‹(,)๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„‚) โˆฉ ๐ฟ1))
155153, 154eqeltrrid 2836 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ (((๐‘‹(,)๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„‚) โˆฉ ๐ฟ1))
156155adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ (((๐‘‹(,)๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„‚) โˆฉ ๐ฟ1))
157 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฃ๐ถ
158 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ขโฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ
159 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ข = ๐‘ฃ โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ)
160157, 158, 159cbvmpt 5258 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†ฆ ๐ถ) = (๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ)
161 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ((๐‘(,)๐‘Š)โ€“cnโ†’โ„‚))
162160, 161eqeltrrid 2836 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ) โˆˆ ((๐‘(,)๐‘Š)โ€“cnโ†’โ„‚))
163162adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ) โˆˆ ((๐‘(,)๐‘Š)โ€“cnโ†’โ„‚))
164 itgsubst.da . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ต))
165147oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)) = (โ„ D (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
166164, 165, 1533eqtr3g 2793 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
167166adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ (โ„ D (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
168 csbeq1 3895 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ = โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ)
169 csbeq1 3895 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
170 csbeq1 3895 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
171 simprll 775 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
172 simprlr 776 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
173 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))
174145nfel1 2917 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)
175146eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†” โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
176174, 175rspc 3599 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›)))
177173, 176mpan9 505 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)) โ†’ โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))
178139, 140, 141, 142, 143, 149, 156, 163, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 177itgsubstlem 25800 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ d๐‘ฃ = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ)
179159, 157, 158cbvditg 25603 . . . . . . . . . . . 12 โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข = โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ d๐‘ฃ
180 nfcvd 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ โ„ฒ๐‘ฅ๐พ)
181 itgsubst.k . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐ด = ๐พ)
182180, 181csbiegf 3926 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐พ)
183 ditgeq1 25597 . . . . . . . . . . . . . 14 (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐พ โ†’ โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐พ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข)
1841, 182, 1833syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐พ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข)
185 nfcvd 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ โ„ฒ๐‘ฅ๐ฟ)
186 itgsubst.l . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ด = ๐ฟ)
187185, 186csbiegf 3926 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ฟ)
188 ditgeq2 25598 . . . . . . . . . . . . . 14 (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด = ๐ฟ โ†’ โจœ[๐พ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข)
1892, 187, 1883syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐พ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข)
190184, 189eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข)
191179, 190eqtr3id 2784 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ d๐‘ฃ = โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข)
192191adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ โจœ[โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด]โฆ‹๐‘ฃ / ๐‘ขโฆŒ๐ถ d๐‘ฃ = โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข)
193146csbeq1d 3896 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ = โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ)
194193, 152oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต) = (โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
195 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฆ(โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต)
196 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘ฅ๐ถ
197145, 196nfcsbw 3919 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ
198 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ ยท
199197, 198, 151nfov 7441 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅ(โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
200194, 195, 199cbvditg 25603 . . . . . . . . . . . 12 โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ
201 ioossicc 13414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘‹(,)๐‘Œ) โŠ† (๐‘‹[,]๐‘Œ)
202201sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
203202, 131sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ)) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))
204 nfcvd 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†’ โ„ฒ๐‘ข๐ธ)
205 itgsubst.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ข = ๐ด โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
206204, 205csbiegf 3926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โ†’ โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ = ๐ธ)
207203, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ)) โ†’ โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ = ๐ธ)
208207oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ)) โ†’ (โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต) = (๐ธ ยท ๐ต))
209208itgeq2dv 25531 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(๐‘‹(,)๐‘Œ)(โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ(๐‘‹(,)๐‘Œ)(๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
2103ditgpos 25605 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ(๐‘‹(,)๐‘Œ)(โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
2113ditgpos 25605 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ(๐‘‹(,)๐‘Œ)(๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
212209, 210, 2113eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](โฆ‹๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท ๐ต) d๐‘ฅ = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
213200, 212eqtr3id 2784 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
214213adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](โฆ‹โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด / ๐‘ขโฆŒ๐ถ ยท โฆ‹๐‘ฆ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) d๐‘ฆ = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
215178, 192, 2143eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›))) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
216215expr 455 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐ด โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
217138, 216sylbid 239 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆˆ (๐‘š(,)๐‘›) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
218123, 217sylbid 239 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)(๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
219111, 218biimtrrid 242 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š))) โ†’ ((โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
220219rexlimdvva 3209 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)(โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
221110, 220biimtrid 241 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘› โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) < ๐‘› โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ (๐‘(,)๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)๐‘š < ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
22262, 107, 221syl2and 606 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ)((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘ง)) โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ))
22310, 222mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068  โฆ‹csb 3892   โˆฉ cin 3946   โŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„šcq 12936  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  โ€“cnโ†’ccncf 24616  ๐ฟ1cibl 25366  โˆซcitg 25367  โจœcdit 25595   D cdv 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419  df-ditg 25596  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  itgsubsticclem  44989
  Copyright terms: Public domain W3C validator