Theorem pwdjudom 9903

Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 10368. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjudom	⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem pwdjudom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canthwdom 9268	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴
2		0ex 5226	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
3		reldom 8697	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex2i 5635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
5		djuexb 9598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
6	4, 5	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
7	6	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8		xpsnen2g 8805	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
9	2, 7, 8	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
10		endom 8722	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴)
11		domwdom 9263	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴)
12		wdomtr 9264	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴)
13	12	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴))
14	9, 10, 11, 13	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴))
15	1, 14	mtoi 198	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴))
16		pwdjuen 9868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
17	7, 7, 16	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
18		domen1 8855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
20	19	ibi 266	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
21		df-dju 9590	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
22	20, 21	breqtrdi 5111	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
23		unxpwdom 9278	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
25	24	ord 860	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (¬ 𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
26	15, 25	mpd 15	. 2 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵))
27		1on 8274	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
28	6	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
29		xpsnen2g 8805	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
30	27, 28, 29	sylancr 586	. 2 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
31		domentr 8754	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
32	26, 30, 31	syl2anc 583	1 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558   class class class wbr 5070   × cxp 5578  Oncon0 6251  1_oc1o 8260   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689   ≼^* cwdom 9253   ⊔ cdju 9587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-wdom 9254  df-dju 9590

This theorem is referenced by:  gchdomtri  10316  gchpwdom  10357  gchhar  10366