MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdjudom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdjudom 10255
Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 10721. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdjudom (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)

Proof of Theorem pwdjudom
StepHypRef Expression
1 canthwdom 9619 . . . 4 ¬ 𝒫 𝐴* 𝐴
2 0ex 5307 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3 reldom 8991 . . . . . . . . 9 Rel ≼
43brrelex2i 5742 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)
5 djuexb 9949 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴𝐵) ∈ V)
64, 5sylibr 234 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
76simpld 494 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8 xpsnen2g 9105 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
92, 7, 8sylancr 587 . . . . 5 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
10 endom 9019 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴)
11 domwdom 9614 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴)
12 wdomtr 9615 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴)
1312expcom 413 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
149, 10, 11, 134syl 19 . . . 4 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
151, 14mtoi 199 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ¬ 𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴))
16 pwdjuen 10222 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
177, 7, 16syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
18 domen1 9159 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵)))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵)))
2019ibi 267 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵))
21 df-dju 9941 . . . . . 6 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2220, 21breqtrdi 5184 . . . . 5 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
23 unxpwdom 9629 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2422, 23syl 17 . . . 4 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2524ord 865 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (¬ 𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2615, 25mpd 15 . 2 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵))
27 1on 8518 . . 3 1o ∈ On
286simprd 495 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ V)
29 xpsnen2g 9105 . . 3 ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
3027, 28, 29sylancr 587 . 2 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
31 domentr 9053 . 2 ((𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
3226, 30, 31syl2anc 584 1 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  wcel 2108  Vcvv 3480  cun 3949  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143   × cxp 5683  Oncon0 6384  1oc1o 8499  cen 8982  cdom 8983  * cwdom 9604  cdju 9938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-wdom 9605  df-dju 9941
This theorem is referenced by:  gchdomtri  10669  gchpwdom  10710  gchhar  10719
  Copyright terms: Public domain W3C validator