Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdjudom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdjudom 9641
 Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 10106. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdjudom (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)

Proof of Theorem pwdjudom
StepHypRef Expression
1 canthwdom 9046 . . . 4 ¬ 𝒫 𝐴* 𝐴
2 0ex 5214 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3 reldom 8518 . . . . . . . . 9 Rel ≼
43brrelex2i 5612 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)
5 djuexb 9341 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴𝐵) ∈ V)
64, 5sylibr 236 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
76simpld 497 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8 xpsnen2g 8613 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
92, 7, 8sylancr 589 . . . . 5 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
10 endom 8539 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴)
11 domwdom 9041 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴)
12 wdomtr 9042 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴)
1312expcom 416 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
149, 10, 11, 134syl 19 . . . 4 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
151, 14mtoi 201 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ¬ 𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴))
16 pwdjuen 9610 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
177, 7, 16syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
18 domen1 8662 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵)))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵)))
2019ibi 269 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵))
21 df-dju 9333 . . . . . 6 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2220, 21breqtrdi 5110 . . . . 5 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
23 unxpwdom 9056 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2422, 23syl 17 . . . 4 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2524ord 860 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (¬ 𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2615, 25mpd 15 . 2 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵))
27 1on 8112 . . 3 1o ∈ On
286simprd 498 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ V)
29 xpsnen2g 8613 . . 3 ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
3027, 28, 29sylancr 589 . 2 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
31 domentr 8571 . 2 ((𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
3226, 30, 31syl2anc 586 1 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∈ wcel 2113  Vcvv 3497   ∪ cun 3937  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4542  {csn 4570   class class class wbr 5069   × cxp 5556  Oncon0 6194  1oc1o 8098   ≈ cen 8509   ≼ cdom 8510   ≼* cwdom 9024   ⊔ cdju 9330 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-ord 6197  df-on 6198  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-1o 8105  df-2o 8106  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-wdom 9026  df-dju 9333 This theorem is referenced by:  gchdomtri  10054  gchpwdom  10095  gchhar  10104
 Copyright terms: Public domain W3C validator