MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdjudom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdjudom 10210
Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 10675. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdjudom (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)

Proof of Theorem pwdjudom
StepHypRef Expression
1 canthwdom 9573 . . . 4 ¬ 𝒫 𝐴* 𝐴
2 0ex 5307 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3 reldom 8944 . . . . . . . . 9 Rel ≼
43brrelex2i 5733 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)
5 djuexb 9903 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴𝐵) ∈ V)
64, 5sylibr 233 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
76simpld 495 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8 xpsnen2g 9064 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
92, 7, 8sylancr 587 . . . . 5 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
10 endom 8974 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴)
11 domwdom 9568 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴)
12 wdomtr 9569 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴)
1312expcom 414 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
149, 10, 11, 134syl 19 . . . 4 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
151, 14mtoi 198 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ¬ 𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴))
16 pwdjuen 10175 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
177, 7, 16syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
18 domen1 9118 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵)))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵)))
2019ibi 266 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵))
21 df-dju 9895 . . . . . 6 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2220, 21breqtrdi 5189 . . . . 5 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
23 unxpwdom 9583 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2422, 23syl 17 . . . 4 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2524ord 862 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (¬ 𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2615, 25mpd 15 . 2 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵))
27 1on 8477 . . 3 1o ∈ On
286simprd 496 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ V)
29 xpsnen2g 9064 . . 3 ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
3027, 28, 29sylancr 587 . 2 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
31 domentr 9008 . 2 ((𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
3226, 30, 31syl2anc 584 1 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  wcel 2106  Vcvv 3474  cun 3946  c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148   × cxp 5674  Oncon0 6364  1oc1o 8458  cen 8935  cdom 8936  * cwdom 9558  cdju 9892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-wdom 9559  df-dju 9895
This theorem is referenced by:  gchdomtri  10623  gchpwdom  10664  gchhar  10673
  Copyright terms: Public domain W3C validator