MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdjudom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdjudom 10160
Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 10625. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdjudom (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)

Proof of Theorem pwdjudom
StepHypRef Expression
1 canthwdom 9523 . . . 4 ¬ 𝒫 𝐴* 𝐴
2 0ex 5268 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3 reldom 8895 . . . . . . . . 9 Rel ≼
43brrelex2i 5693 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)
5 djuexb 9853 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴𝐵) ∈ V)
64, 5sylibr 233 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
76simpld 496 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8 xpsnen2g 9015 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
92, 7, 8sylancr 588 . . . . 5 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
10 endom 8925 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴)
11 domwdom 9518 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴)
12 wdomtr 9519 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴)
1312expcom 415 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
149, 10, 11, 134syl 19 . . . 4 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
151, 14mtoi 198 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ¬ 𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴))
16 pwdjuen 10125 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
177, 7, 16syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
18 domen1 9069 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵)))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵)))
2019ibi 267 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵))
21 df-dju 9845 . . . . . 6 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2220, 21breqtrdi 5150 . . . . 5 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
23 unxpwdom 9533 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2422, 23syl 17 . . . 4 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2524ord 863 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (¬ 𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2615, 25mpd 15 . 2 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵))
27 1on 8428 . . 3 1o ∈ On
286simprd 497 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ V)
29 xpsnen2g 9015 . . 3 ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
3027, 28, 29sylancr 588 . 2 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
31 domentr 8959 . 2 ((𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
3226, 30, 31syl2anc 585 1 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  wcel 2107  Vcvv 3447  cun 3912  c0 4286  𝒫 cpw 4564  {csn 4590   class class class wbr 5109   × cxp 5635  Oncon0 6321  1oc1o 8409  cen 8886  cdom 8887  * cwdom 9508  cdju 9842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-wdom 9509  df-dju 9845
This theorem is referenced by:  gchdomtri  10573  gchpwdom  10614  gchhar  10623
  Copyright terms: Public domain W3C validator