MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdjudom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdjudom 10213
Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 10678. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdjudom (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)

Proof of Theorem pwdjudom
StepHypRef Expression
1 canthwdom 9576 . . . 4 ¬ 𝒫 𝐴* 𝐴
2 0ex 5300 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3 reldom 8947 . . . . . . . . 9 Rel ≼
43brrelex2i 5726 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)
5 djuexb 9906 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴𝐵) ∈ V)
64, 5sylibr 233 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
76simpld 494 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8 xpsnen2g 9067 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
92, 7, 8sylancr 586 . . . . 5 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
10 endom 8977 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴)
11 domwdom 9571 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴)
12 wdomtr 9572 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴)
1312expcom 413 . . . . 5 (({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
149, 10, 11, 134syl 19 . . . 4 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
151, 14mtoi 198 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ¬ 𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴))
16 pwdjuen 10178 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
177, 7, 16syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
18 domen1 9121 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵)))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵)))
2019ibi 267 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴𝐵))
21 df-dju 9898 . . . . . 6 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2220, 21breqtrdi 5182 . . . . 5 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
23 unxpwdom 9586 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2422, 23syl 17 . . . 4 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2524ord 861 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → (¬ 𝒫 𝐴* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
2615, 25mpd 15 . 2 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵))
27 1on 8479 . . 3 1o ∈ On
286simprd 495 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ V)
29 xpsnen2g 9067 . . 3 ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
3027, 28, 29sylancr 586 . 2 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
31 domentr 9011 . 2 ((𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
3226, 30, 31syl2anc 583 1 (𝒫 (𝐴𝐴) ≼ (𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  wcel 2098  Vcvv 3468  cun 3941  c0 4317  𝒫 cpw 4597  {csn 4623   class class class wbr 5141   × cxp 5667  Oncon0 6358  1oc1o 8460  cen 8938  cdom 8939  * cwdom 9561  cdju 9895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-wdom 9562  df-dju 9898
This theorem is referenced by:  gchdomtri  10626  gchpwdom  10667  gchhar  10676
  Copyright terms: Public domain W3C validator