Theorem pwdjudom 10173

Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 10641. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjudom	⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem pwdjudom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canthwdom 9529	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴
2		0ex 5259	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
3		reldom 8935	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex2i 5706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
5		djuexb 9869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
6	4, 5	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
7	6	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8		xpsnen2g 9044	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
9	2, 7, 8	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
10		endom 8962	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴)
11		domwdom 9524	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴)
12		wdomtr 9525	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴)
13	12	expcom 417	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴))
14	9, 10, 11, 13	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴))
15	1, 14	mtoi 201	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴))
16		pwdjuen 10140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
17	7, 7, 16	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
18		domen1 9093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
20	19	ibi 269	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
21		df-dju 9861	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
22	20, 21	breqtrdi 5143	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
23		unxpwdom 9539	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
25	24	ord 875	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (¬ 𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
26	15, 25	mpd 15	. 2 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵))
27		1on 8452	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
28	6	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
29		xpsnen2g 9044	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
30	27, 28, 29	sylancr 596	. 2 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
31		domentr 8996	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
32	26, 30, 31	syl2anc 593	1 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ∪ cun 3904  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4557  {csn 4584   class class class wbr 5102   × cxp 5647  Oncon0 6348  1_oc1o 8432   ≈ cen 8926   ≼ cdom 8927   ≼^* cwdom 9514   ⊔ cdju 9858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-ord 6351  df-on 6352  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-wdom 9515  df-dju 9861

This theorem is referenced by:  gchdomtri  10589  gchpwdom  10630  gchhar  10639