Theorem pwdjudom 10175

Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 10641. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjudom	⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem pwdjudom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canthwdom 9539	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴
2		0ex 5265	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
3		reldom 8927	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex2i 5698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
5		djuexb 9869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
6	4, 5	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
7	6	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8		xpsnen2g 9039	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
9	2, 7, 8	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
10		endom 8953	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴)
11		domwdom 9534	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴)
12		wdomtr 9535	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴)
13	12	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴))
14	9, 10, 11, 13	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴))
15	1, 14	mtoi 199	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴))
16		pwdjuen 10142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
17	7, 7, 16	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
18		domen1 9089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
20	19	ibi 267	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
21		df-dju 9861	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
22	20, 21	breqtrdi 5151	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
23		unxpwdom 9549	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
25	24	ord 864	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (¬ 𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
26	15, 25	mpd 15	. 2 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵))
27		1on 8449	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
28	6	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
29		xpsnen2g 9039	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
30	27, 28, 29	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
31		domentr 8987	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
32	26, 30, 31	syl2anc 584	1 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∪ cun 3915  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  {csn 4592   class class class wbr 5110   × cxp 5639  Oncon0 6335  1_oc1o 8430   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919   ≼^* cwdom 9524   ⊔ cdju 9858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-wdom 9525  df-dju 9861

This theorem is referenced by:  gchdomtri  10589  gchpwdom  10630  gchhar  10639