Theorem pwdjudom 10205

Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 10672. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjudom	⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem pwdjudom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canthwdom 9539	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴
2		0ex 5269	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
3		reldom 8947	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex2i 5717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
5		djuexb 9902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
6	4, 5	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
7	6	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8		xpsnen2g 9056	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
9	2, 7, 8	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
10		endom 8974	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴)
11		domwdom 9534	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴)
12		wdomtr 9535	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴)
13	12	expcom 418	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴))
14	9, 10, 11, 13	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴))
15	1, 14	mtoi 202	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴))
16		pwdjuen 10172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
17	7, 7, 16	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
18		domen1 9105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
19	17, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
20	19	ibi 270	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
21		df-dju 9894	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
22	20, 21	breqtrdi 5151	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
23		unxpwdom 9549	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
24	22, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
25	24	ord 877	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → (¬ 𝒫 𝐴 ≼* ({∅} × 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵)))
26	15, 25	mpd 16	. 2 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵))
27		1on 8464	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
28	6	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
29		xpsnen2g 9056	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
30	27, 28, 29	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
31		domentr 9008	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ ({1o} × 𝐵) ∧ ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
32	26, 30, 31	syl2anc 595	1 ⊢ (𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∪ cun 3902  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  {csn 4588   class class class wbr 5108   × cxp 5658  Oncon0 6360  1_oc1o 8444   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939   ≼^* cwdom 9524   ⊔ cdju 9891

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-wdom 9525  df-dju 9894

This theorem is used by:  gchdomtri  10620  gchpwdom  10661  gchhar  10670