MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djuinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djuinf 10132
Description: A set is infinite iff the cardinal sum with itself is infinite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djuinf (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ (𝐴𝐴))

Proof of Theorem djuinf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8895 . . . . 5 Rel ≼
21brrelex2i 5693 . . . 4 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
3 djudoml 10128 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
42, 2, 3syl2anc 585 . . 3 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
5 domtr 8953 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴𝐴)) → ω ≼ (𝐴𝐴))
64, 5mpdan 686 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ (𝐴𝐴))
71brrelex2i 5693 . . . 4 (ω ≼ (𝐴𝐴) → (𝐴𝐴) ∈ V)
8 anidm 566 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ 𝐴 ∈ V)
9 djuexb 9853 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (𝐴𝐴) ∈ V)
108, 9bitr3i 277 . . . 4 (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴𝐴) ∈ V)
117, 10sylibr 233 . . 3 (ω ≼ (𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12 domeng 8908 . . . . 5 ((𝐴𝐴) ∈ V → (ω ≼ (𝐴𝐴) ↔ ∃𝑥(ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴))))
137, 12syl 17 . . . 4 (ω ≼ (𝐴𝐴) → (ω ≼ (𝐴𝐴) ↔ ∃𝑥(ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴))))
1413ibi 267 . . 3 (ω ≼ (𝐴𝐴) → ∃𝑥(ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)))
15 indi 4237 . . . . . . 7 (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)))
16 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴𝐴))
17 df-dju 9845 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))
1816, 17sseqtrdi 3998 . . . . . . . 8 ((ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → 𝑥 ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴)))
19 df-ss 3931 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴)) ↔ (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
2018, 19sylib 217 . . . . . . 7 ((ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
2115, 20eqtr3id 2787 . . . . . 6 ((ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
22 ensym 8949 . . . . . . 7 (ω ≈ 𝑥𝑥 ≈ ω)
2322adantr 482 . . . . . 6 ((ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → 𝑥 ≈ ω)
2421, 23eqbrtrd 5131 . . . . 5 ((ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω)
25 cdainflem 10131 . . . . . 6 (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω ∨ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω))
26 snex 5392 . . . . . . . . . . 11 {∅} ∈ V
27 xpexg 7688 . . . . . . . . . . 11 (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
2826, 27mpan 689 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
29 inss2 4193 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ⊆ ({∅} × 𝐴)
30 ssdomg 8946 . . . . . . . . . 10 (({∅} × 𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ⊆ ({∅} × 𝐴) → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴)))
3128, 29, 30mpisyl 21 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴))
32 0ex 5268 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
33 xpsnen2g 9015 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
3432, 33mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
35 domentr 8959 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
3631, 34, 35syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
37 domen1 9069 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
3836, 37syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
39 snex 5392 . . . . . . . . . . 11 {1o} ∈ V
40 xpexg 7688 . . . . . . . . . . 11 (({1o} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({1o} × 𝐴) ∈ V)
4139, 40mpan 689 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → ({1o} × 𝐴) ∈ V)
42 inss2 4193 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ⊆ ({1o} × 𝐴)
43 ssdomg 8946 . . . . . . . . . 10 (({1o} × 𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ⊆ ({1o} × 𝐴) → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴)))
4441, 42, 43mpisyl 21 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴))
45 1on 8428 . . . . . . . . . 10 1o ∈ On
46 xpsnen2g 9015 . . . . . . . . . 10 ((1o ∈ On ∧ 𝐴 ∈ V) → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4745, 46mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
48 domentr 8959 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴) ∧ ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
4944, 47, 48syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
50 domen1 9069 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
5149, 50syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
5238, 51jaod 858 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω ∨ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω) → ω ≼ 𝐴))
5325, 52syl5 34 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
5424, 53syl5 34 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → ω ≼ 𝐴))
5554exlimdv 1937 . . 3 (𝐴 ∈ V → (∃𝑥(ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → ω ≼ 𝐴))
5611, 14, 55sylc 65 . 2 (ω ≼ (𝐴𝐴) → ω ≼ 𝐴)
576, 56impbii 208 1 (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ (𝐴𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  Vcvv 3447  cun 3912  cin 3913  wss 3914  c0 4286  {csn 4590   class class class wbr 5109   × cxp 5635  Oncon0 6321  ωcom 7806  1oc1o 8409  cen 8886  cdom 8887  cdju 9842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845
This theorem is referenced by:  infdif  10153
  Copyright terms: Public domain W3C validator