MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djuinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djuinf 10182
Description: A set is infinite iff the cardinal sum with itself is infinite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djuinf (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ (𝐴𝐴))

Proof of Theorem djuinf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8944 . . . . 5 Rel ≼
21brrelex2i 5733 . . . 4 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
3 djudoml 10178 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
42, 2, 3syl2anc 584 . . 3 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
5 domtr 9002 . . 3 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴𝐴)) → ω ≼ (𝐴𝐴))
64, 5mpdan 685 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ (𝐴𝐴))
71brrelex2i 5733 . . . 4 (ω ≼ (𝐴𝐴) → (𝐴𝐴) ∈ V)
8 anidm 565 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ 𝐴 ∈ V)
9 djuexb 9903 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (𝐴𝐴) ∈ V)
108, 9bitr3i 276 . . . 4 (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴𝐴) ∈ V)
117, 10sylibr 233 . . 3 (ω ≼ (𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12 domeng 8957 . . . . 5 ((𝐴𝐴) ∈ V → (ω ≼ (𝐴𝐴) ↔ ∃𝑥(ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴))))
137, 12syl 17 . . . 4 (ω ≼ (𝐴𝐴) → (ω ≼ (𝐴𝐴) ↔ ∃𝑥(ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴))))
1413ibi 266 . . 3 (ω ≼ (𝐴𝐴) → ∃𝑥(ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)))
15 indi 4273 . . . . . . 7 (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)))
16 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴𝐴))
17 df-dju 9895 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))
1816, 17sseqtrdi 4032 . . . . . . . 8 ((ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → 𝑥 ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴)))
19 df-ss 3965 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴)) ↔ (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
2018, 19sylib 217 . . . . . . 7 ((ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
2115, 20eqtr3id 2786 . . . . . 6 ((ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
22 ensym 8998 . . . . . . 7 (ω ≈ 𝑥𝑥 ≈ ω)
2322adantr 481 . . . . . 6 ((ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → 𝑥 ≈ ω)
2421, 23eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω)
25 cdainflem 10181 . . . . . 6 (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω ∨ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω))
26 snex 5431 . . . . . . . . . . 11 {∅} ∈ V
27 xpexg 7736 . . . . . . . . . . 11 (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
2826, 27mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
29 inss2 4229 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ⊆ ({∅} × 𝐴)
30 ssdomg 8995 . . . . . . . . . 10 (({∅} × 𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ⊆ ({∅} × 𝐴) → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴)))
3128, 29, 30mpisyl 21 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴))
32 0ex 5307 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
33 xpsnen2g 9064 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
3432, 33mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
35 domentr 9008 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
3631, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
37 domen1 9118 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
3836, 37syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
39 snex 5431 . . . . . . . . . . 11 {1o} ∈ V
40 xpexg 7736 . . . . . . . . . . 11 (({1o} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({1o} × 𝐴) ∈ V)
4139, 40mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → ({1o} × 𝐴) ∈ V)
42 inss2 4229 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ⊆ ({1o} × 𝐴)
43 ssdomg 8995 . . . . . . . . . 10 (({1o} × 𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ⊆ ({1o} × 𝐴) → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴)))
4441, 42, 43mpisyl 21 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴))
45 1on 8477 . . . . . . . . . 10 1o ∈ On
46 xpsnen2g 9064 . . . . . . . . . 10 ((1o ∈ On ∧ 𝐴 ∈ V) → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4745, 46mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
48 domentr 9008 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴) ∧ ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
4944, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
50 domen1 9118 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
5149, 50syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
5238, 51jaod 857 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω ∨ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω) → ω ≼ 𝐴))
5325, 52syl5 34 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
5424, 53syl5 34 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → ω ≼ 𝐴))
5554exlimdv 1936 . . 3 (𝐴 ∈ V → (∃𝑥(ω ≈ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴𝐴)) → ω ≼ 𝐴))
5611, 14, 55sylc 65 . 2 (ω ≼ (𝐴𝐴) → ω ≼ 𝐴)
576, 56impbii 208 1 (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ (𝐴𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  Vcvv 3474  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   × cxp 5674  Oncon0 6364  ωcom 7854  1oc1o 8458  cen 8935  cdom 8936  cdju 9892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895
This theorem is referenced by:  infdif  10203
  Copyright terms: Public domain W3C validator