Theorem djuinf 10173

Description: A set is infinite iff the cardinal sum with itself is infinite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuinf	⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Proof of Theorem djuinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8950	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5720	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3		djudoml 10169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
4	2, 2, 3	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
5		domtr 9005	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
6	4, 5	mpdan 699	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
7	1	brrelex2i 5720	. . . 4 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
8		anidm 574	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ 𝐴 ∈ V)
9		djuexb 9896	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
10	8, 9	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
11	7, 10	sylibr 237	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12		domeng 8960	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V → (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
13	7, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
14	13	ibi 270	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
15		indi 4238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)))
16		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))
17		df-dju 9888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))
18	16, 17	sseqtrdi 3978	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴)))
19		dfss2 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴)) ↔ (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
20	18, 19	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
21	15, 20	eqtr3id 2812	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
22		ensym 9001	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ ω)
23	22	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ≈ ω)
24	21, 23	eqbrtrd 5134	. . . . 5 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω)
25		cdainflem 10172	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω ∨ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω))
26		snex 5412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅} ∈ V
27		xpexg 7750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
28	26, 27	mpan 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
29		inss2 4191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ⊆ ({∅} × 𝐴)
30		ssdomg 8998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ⊆ ({∅} × 𝐴) → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴)))
31	28, 29, 30	mpisyl 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴))
32		0ex 5271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
33		xpsnen2g 9059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
34	32, 33	mpan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
35		domentr 9011	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
36	31, 34, 35	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
37		domen1 9108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
38	36, 37	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
39		snex 5412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1o} ∈ V
40		xpexg 7750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({1o} × 𝐴) ∈ V)
41	39, 40	mpan 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({1o} × 𝐴) ∈ V)
42		inss2 4191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ⊆ ({1o} × 𝐴)
43		ssdomg 8998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({1o} × 𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ⊆ ({1o} × 𝐴) → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴)))
44	41, 42, 43	mpisyl 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴))
45		1on 8467	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ On
46		xpsnen2g 9059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐴 ∈ V) → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
47	45, 46	mpan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
48		domentr 9011	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴) ∧ ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
49	44, 47, 48	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
50		domen1 9108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
51	49, 50	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
52	38, 51	jaod 872	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω ∨ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω) → ω ≼ 𝐴))
53	25, 52	syl5 35	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
54	24, 53	syl5 35	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ 𝐴))
55	54	exlimdv 1963	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ 𝐴))
56	11, 14, 55	sylc 66	. 2 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
57	6, 56	impbii 212	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4590   class class class wbr 5110   × cxp 5661  Oncon0 6362  ωcom 7863  1_oc1o 8447   ≈ cen 8941   ≼ cdom 8942   ⊔ cdju 9885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888

This theorem is referenced by:  infdif  10192