Theorem djuinf 10099

Description: A set is infinite iff the cardinal sum with itself is infinite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuinf	⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Proof of Theorem djuinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8889	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5681	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3		djudoml 10095	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
4	2, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
5		domtr 8944	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
6	4, 5	mpdan 687	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
7	1	brrelex2i 5681	. . . 4 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
8		anidm 564	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ 𝐴 ∈ V)
9		djuexb 9821	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
10	8, 9	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
11	7, 10	sylibr 234	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12		domeng 8899	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V → (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
14	13	ibi 267	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
15		indi 4236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)))
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))
17		df-dju 9813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))
18	16, 17	sseqtrdi 3974	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴)))
19		dfss2 3919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴)) ↔ (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
20	18, 19	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
21	15, 20	eqtr3id 2785	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
22		ensym 8940	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ ω)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ≈ ω)
24	21, 23	eqbrtrd 5120	. . . . 5 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω)
25		cdainflem 10098	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω ∨ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω))
26		snex 5381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅} ∈ V
27		xpexg 7695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
28	26, 27	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
29		inss2 4190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ⊆ ({∅} × 𝐴)
30		ssdomg 8937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ⊆ ({∅} × 𝐴) → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴)))
31	28, 29, 30	mpisyl 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴))
32		0ex 5252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
33		xpsnen2g 8998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
34	32, 33	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
35		domentr 8950	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
36	31, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
37		domen1 9047	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
38	36, 37	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
39		snex 5381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1o} ∈ V
40		xpexg 7695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({1o} × 𝐴) ∈ V)
41	39, 40	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({1o} × 𝐴) ∈ V)
42		inss2 4190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ⊆ ({1o} × 𝐴)
43		ssdomg 8937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({1o} × 𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ⊆ ({1o} × 𝐴) → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴)))
44	41, 42, 43	mpisyl 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴))
45		1on 8409	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ On
46		xpsnen2g 8998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐴 ∈ V) → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
47	45, 46	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
48		domentr 8950	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴) ∧ ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
49	44, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
50		domen1 9047	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
51	49, 50	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
52	38, 51	jaod 859	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω ∨ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω) → ω ≼ 𝐴))
53	25, 52	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
54	24, 53	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ 𝐴))
55	54	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ 𝐴))
56	11, 14, 55	sylc 65	. 2 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
57	6, 56	impbii 209	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580   class class class wbr 5098   × cxp 5622  Oncon0 6317  ωcom 7808  1_oc1o 8390   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881   ⊔ cdju 9810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813

This theorem is referenced by:  infdif  10118