Theorem djuinf 9688

Description: A set is infinite iff the cardinal sum with itself is infinite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuinf	⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Proof of Theorem djuinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8561	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5580	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3		djudoml 9684	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
4	2, 2, 3	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
5		domtr 8608	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
6	4, 5	mpdan 687	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
7	1	brrelex2i 5580	. . . 4 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
8		anidm 568	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ 𝐴 ∈ V)
9		djuexb 9411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
10	8, 9	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
11	7, 10	sylibr 237	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12		domeng 8569	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V → (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
14	13	ibi 270	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
15		indi 4164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)))
16		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))
17		df-dju 9403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))
18	16, 17	sseqtrdi 3927	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴)))
19		df-ss 3860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴)) ↔ (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
20	18, 19	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
21	15, 20	eqtr3id 2787	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
22		ensym 8604	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ ω)
23	22	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ≈ ω)
24	21, 23	eqbrtrd 5052	. . . . 5 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω)
25		cdainflem 9687	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω ∨ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω))
26		snex 5298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅} ∈ V
27		xpexg 7491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
28	26, 27	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
29		inss2 4120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ⊆ ({∅} × 𝐴)
30		ssdomg 8601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ⊆ ({∅} × 𝐴) → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴)))
31	28, 29, 30	mpisyl 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴))
32		0ex 5175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
33		xpsnen2g 8659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
34	32, 33	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
35		domentr 8614	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
36	31, 34, 35	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
37		domen1 8709	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
38	36, 37	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
39		snex 5298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1o} ∈ V
40		xpexg 7491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({1o} × 𝐴) ∈ V)
41	39, 40	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({1o} × 𝐴) ∈ V)
42		inss2 4120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ⊆ ({1o} × 𝐴)
43		ssdomg 8601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({1o} × 𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ⊆ ({1o} × 𝐴) → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴)))
44	41, 42, 43	mpisyl 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴))
45		1on 8138	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ On
46		xpsnen2g 8659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐴 ∈ V) → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
47	45, 46	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
48		domentr 8614	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴) ∧ ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
49	44, 47, 48	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
50		domen1 8709	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
51	49, 50	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
52	38, 51	jaod 858	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω ∨ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω) → ω ≼ 𝐴))
53	25, 52	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
54	24, 53	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ 𝐴))
55	54	exlimdv 1940	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ 𝐴))
56	11, 14, 55	sylc 65	. 2 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
57	6, 56	impbii 212	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 846   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2114  Vcvv 3398   ∪ cun 3841   ∩ cin 3842   ⊆ wss 3843  ∅c0 4211  {csn 4516   class class class wbr 5030   × cxp 5523  Oncon0 6172  ωcom 7599  1_oc1o 8124   ≈ cen 8552   ≼ cdom 8553   ⊔ cdju 9400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-dju 9403

This theorem is referenced by:  infdif  9709