Theorem djuinf 10227

Description: A set is infinite iff the cardinal sum with itself is infinite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuinf	⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Proof of Theorem djuinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8990	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5746	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3		djudoml 10223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
4	2, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
5		domtr 9046	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
6	4, 5	mpdan 687	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
7	1	brrelex2i 5746	. . . 4 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
8		anidm 564	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ 𝐴 ∈ V)
9		djuexb 9947	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
10	8, 9	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
11	7, 10	sylibr 234	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12		domeng 9002	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V → (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
14	13	ibi 267	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
15		indi 4290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)))
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))
17		df-dju 9939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))
18	16, 17	sseqtrdi 4046	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴)))
19		dfss2 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴)) ↔ (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
20	18, 19	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
21	15, 20	eqtr3id 2789	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
22		ensym 9042	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ ω)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ≈ ω)
24	21, 23	eqbrtrd 5170	. . . . 5 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω)
25		cdainflem 10226	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω ∨ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω))
26		snex 5442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅} ∈ V
27		xpexg 7769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
28	26, 27	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
29		inss2 4246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ⊆ ({∅} × 𝐴)
30		ssdomg 9039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ⊆ ({∅} × 𝐴) → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴)))
31	28, 29, 30	mpisyl 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴))
32		0ex 5313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
33		xpsnen2g 9104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
34	32, 33	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
35		domentr 9052	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
36	31, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
37		domen1 9158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
38	36, 37	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
39		snex 5442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1o} ∈ V
40		xpexg 7769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({1o} × 𝐴) ∈ V)
41	39, 40	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({1o} × 𝐴) ∈ V)
42		inss2 4246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ⊆ ({1o} × 𝐴)
43		ssdomg 9039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({1o} × 𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ⊆ ({1o} × 𝐴) → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴)))
44	41, 42, 43	mpisyl 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴))
45		1on 8517	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ On
46		xpsnen2g 9104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐴 ∈ V) → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
47	45, 46	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
48		domentr 9052	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴) ∧ ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
49	44, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
50		domen1 9158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
51	49, 50	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
52	38, 51	jaod 859	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω ∨ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω) → ω ≼ 𝐴))
53	25, 52	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
54	24, 53	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ 𝐴))
55	54	exlimdv 1931	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ 𝐴))
56	11, 14, 55	sylc 65	. 2 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
57	6, 56	impbii 209	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  Oncon0 6386  ωcom 7887  1_oc1o 8498   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ⊔ cdju 9936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939

This theorem is referenced by:  infdif  10246