Theorem eldisjsdisj 38712

Description: The element of the class of disjoint relations and the disjoint relation predicate are the same, that is (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅) when 𝑅 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjsdisj	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))

Proof of Theorem eldisjsdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosscnvex 38404	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ≀ ◡𝑅 ∈ V)
2		elcnvrefrelsrel 38520	. . . 4 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ∈ V → ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ ◡𝑅))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ ◡𝑅))
4		elrelsrel 38471	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
5	3, 4	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
6		eldisjs 38707	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
7		df-disjALTV 38690	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅))
8	5, 6, 7	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ^◡ccnv 5630  Rel wrel 5636   ≀ ccoss 38162   Rels crels 38164   CnvRefRels ccnvrefrels 38170   CnvRefRel wcnvrefrel 38171   Disjs cdisjs 38195   Disj wdisjALTV 38196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-coss 38395  df-rels 38469  df-ssr 38482  df-cnvrefs 38509  df-cnvrefrels 38510  df-cnvrefrel 38511  df-disjss 38688  df-disjs 38689  df-disjALTV 38690

This theorem is referenced by:  eleldisjseldisj  38714  brpartspart  38758