Theorem eldisjsdisj 39423

Description: The element of the class of disjoint relations and the disjoint relation predicate are the same, that is (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅) when 𝑅 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjsdisj	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))

Proof of Theorem eldisjsdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosscnvex 39109	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ≀ ◡𝑅 ∈ V)
2		elcnvrefrelsrel 39215	. . . 4 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ∈ V → ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ ◡𝑅))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ ◡𝑅))
4		elrelsrel 39041	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
5	3, 4	anbi12d 643	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
6		eldisjs 39418	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
7		df-disjALTV 39389	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅))
8	5, 6, 7	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2150  Vcvv 3462  ^◡ccnv 5664  Rel wrel 5670   ≀ ccoss 38782   Rels crels 38784   CnvRefRels ccnvrefrels 38790   CnvRefRel wcnvrefrel 38791   Disjs cdisjs 38817   Disj wdisjALTV 38818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-sb 2099  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-rels 39039  df-coss 39100  df-ssr 39177  df-cnvrefs 39204  df-cnvrefrels 39205  df-cnvrefrel 39206  df-disjss 39387  df-disjs 39388  df-disjALTV 39389

This theorem is referenced by:  qmapeldisjs  39424  eleldisjseldisj  39428  brpartspart  39475  eldisjsim1  39533  eldisjsim3  39536  eldisjs6  39539