Theorem eldisjsdisj 38728

Description: The element of the class of disjoint relations and the disjoint relation predicate are the same, that is (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅) when 𝑅 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjsdisj	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))

Proof of Theorem eldisjsdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosscnvex 38421	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ≀ ◡𝑅 ∈ V)
2		elcnvrefrelsrel 38537	. . . 4 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ∈ V → ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ ◡𝑅))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ ◡𝑅))
4		elrelsrel 38488	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
5	3, 4	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
6		eldisjs 38723	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
7		df-disjALTV 38706	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅))
8	5, 6, 7	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ^◡ccnv 5684  Rel wrel 5690   ≀ ccoss 38182   Rels crels 38184   CnvRefRels ccnvrefrels 38190   CnvRefRel wcnvrefrel 38191   Disjs cdisjs 38215   Disj wdisjALTV 38216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-coss 38412  df-rels 38486  df-ssr 38499  df-cnvrefs 38526  df-cnvrefrels 38527  df-cnvrefrel 38528  df-disjss 38704  df-disjs 38705  df-disjALTV 38706

This theorem is referenced by:  eleldisjseldisj  38730  brpartspart  38774