Theorem eldisjsdisj 39757

Description: The element of the class of disjoint relations and the disjoint relation predicate are the same, that is (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅) when 𝑅 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjsdisj	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))

Proof of Theorem eldisjsdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosscnvex 39443	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ≀ ◡𝑅 ∈ V)
2		elcnvrefrelsrel 39549	. . . 4 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ∈ V → ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ ◡𝑅))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ ◡𝑅))
4		elrelsrel 39375	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
5	3, 4	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
6		eldisjs 39752	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
7		df-disjALTV 39723	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅))
8	5, 6, 7	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ^◡ccnv 5649  Rel wrel 5655   ≀ ccoss 39116   Rels crels 39118   CnvRefRels ccnvrefrels 39124   CnvRefRel wcnvrefrel 39125   Disjs cdisjs 39151   Disj wdisjALTV 39152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-rels 39373  df-coss 39434  df-ssr 39511  df-cnvrefs 39538  df-cnvrefrels 39539  df-cnvrefrel 39540  df-disjss 39721  df-disjs 39722  df-disjALTV 39723

This theorem is used by:  qmapeldisjs  39758  eleldisjseldisj  39762  brpartspart  39809  eldisjsim1  39867  eldisjsim3  39870  eldisjs6  39873