Theorem eldisjsdisj 39104

Description: The element of the class of disjoint relations and the disjoint relation predicate are the same, that is (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅) when 𝑅 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjsdisj	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))

Proof of Theorem eldisjsdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosscnvex 38790	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ≀ ◡𝑅 ∈ V)
2		elcnvrefrelsrel 38896	. . . 4 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ∈ V → ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ ◡𝑅))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ ◡𝑅))
4		elrelsrel 38722	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
5	3, 4	anbi12d 633	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
6		eldisjs 39099	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
7		df-disjALTV 39070	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅))
8	5, 6, 7	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ^◡ccnv 5633  Rel wrel 5639   ≀ ccoss 38463   Rels crels 38465   CnvRefRels ccnvrefrels 38471   CnvRefRel wcnvrefrel 38472   Disjs cdisjs 38498   Disj wdisjALTV 38499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-rels 38720  df-coss 38781  df-ssr 38858  df-cnvrefs 38885  df-cnvrefrels 38886  df-cnvrefrel 38887  df-disjss 39068  df-disjs 39069  df-disjALTV 39070

This theorem is referenced by:  qmapeldisjs  39105  eleldisjseldisj  39109  brpartspart  39156  eldisjsim1  39214  eldisjsim3  39217  eldisjs6  39220