Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldisjsdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldisjsdisj 37592
Description: The element of the class of disjoint relations and the disjoint relation predicate are the same, that is (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅) when 𝑅 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
eldisjsdisj (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))

Proof of Theorem eldisjsdisj
StepHypRef Expression
1 cosscnvex 37285 . . . 4 (𝑅𝑉 → ≀ 𝑅 ∈ V)
2 elcnvrefrelsrel 37401 . . . 4 ( ≀ 𝑅 ∈ V → ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ 𝑅))
31, 2syl 17 . . 3 (𝑅𝑉 → ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ 𝑅))
4 elrelsrel 37352 . . 3 (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
53, 4anbi12d 631 . 2 (𝑅𝑉 → (( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
6 eldisjs 37587 . 2 (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
7 df-disjALTV 37570 . 2 ( Disj 𝑅 ↔ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
85, 6, 73bitr4g 313 1 (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  Vcvv 3474  ccnv 5675  Rel wrel 5681  ccoss 37038   Rels crels 37040   CnvRefRels ccnvrefrels 37046   CnvRefRel wcnvrefrel 37047   Disjs cdisjs 37071   Disj wdisjALTV 37072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-coss 37276  df-rels 37350  df-ssr 37363  df-cnvrefs 37390  df-cnvrefrels 37391  df-cnvrefrel 37392  df-disjss 37568  df-disjs 37569  df-disjALTV 37570
This theorem is referenced by:  eleldisjseldisj  37594  brpartspart  37638
  Copyright terms: Public domain W3C validator