Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldisjsdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldisjsdisj 36450
Description: The element of the class of disjoint relations and the disjoint relation predicate are the same, that is (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅) when 𝑅 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
eldisjsdisj (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))

Proof of Theorem eldisjsdisj
StepHypRef Expression
1 cosscnvex 36155 . . . 4 (𝑅𝑉 → ≀ 𝑅 ∈ V)
2 elcnvrefrelsrel 36262 . . . 4 ( ≀ 𝑅 ∈ V → ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ 𝑅))
31, 2syl 17 . . 3 (𝑅𝑉 → ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ 𝑅))
4 elrelsrel 36217 . . 3 (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
53, 4anbi12d 634 . 2 (𝑅𝑉 → (( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
6 eldisjs 36445 . 2 (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
7 df-disjALTV 36428 . 2 ( Disj 𝑅 ↔ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
85, 6, 73bitr4g 317 1 (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2113  Vcvv 3397  ccnv 5518  Rel wrel 5524  ccoss 35945   Rels crels 35947   CnvRefRels ccnvrefrels 35953   CnvRefRel wcnvrefrel 35954   Disjs cdisjs 35978   Disj wdisjALTV 35979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-coss 36149  df-rels 36215  df-ssr 36228  df-cnvrefs 36253  df-cnvrefrels 36254  df-cnvrefrel 36255  df-disjss 36426  df-disjs 36427  df-disjALTV 36428
This theorem is referenced by:  eleldisjseldisj  36452
  Copyright terms: Public domain W3C validator