Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldisjsdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldisjsdisj 36838
Description: The element of the class of disjoint relations and the disjoint relation predicate are the same, that is (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅) when 𝑅 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
eldisjsdisj (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))

Proof of Theorem eldisjsdisj
StepHypRef Expression
1 cosscnvex 36543 . . . 4 (𝑅𝑉 → ≀ 𝑅 ∈ V)
2 elcnvrefrelsrel 36650 . . . 4 ( ≀ 𝑅 ∈ V → ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ 𝑅))
31, 2syl 17 . . 3 (𝑅𝑉 → ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ CnvRefRel ≀ 𝑅))
4 elrelsrel 36605 . . 3 (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
53, 4anbi12d 631 . 2 (𝑅𝑉 → (( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
6 eldisjs 36833 . 2 (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
7 df-disjALTV 36816 . 2 ( Disj 𝑅 ↔ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
85, 6, 73bitr4g 314 1 (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  Vcvv 3432  ccnv 5588  Rel wrel 5594  ccoss 36333   Rels crels 36335   CnvRefRels ccnvrefrels 36341   CnvRefRel wcnvrefrel 36342   Disjs cdisjs 36366   Disj wdisjALTV 36367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-coss 36537  df-rels 36603  df-ssr 36616  df-cnvrefs 36641  df-cnvrefrels 36642  df-cnvrefrel 36643  df-disjss 36814  df-disjs 36815  df-disjALTV 36816
This theorem is referenced by:  eleldisjseldisj  36840
  Copyright terms: Public domain W3C validator