Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eleldisjseldisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eleldisjseldisj 38708
Description: The element of the disjoint elements class and the disjoint elementhood predicate are the same, that is (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴) when 𝐴 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
eleldisjseldisj (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴))

Proof of Theorem eleldisjseldisj
StepHypRef Expression
1 eleldisjs 38707 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ( E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ))
2 cnvepresex 38313 . . . 4 (𝐴𝑉 → ( E ↾ 𝐴) ∈ V)
3 eldisjsdisj 38706 . . . 4 (( E ↾ 𝐴) ∈ V → (( E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ↔ Disj ( E ↾ 𝐴)))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 → (( E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ↔ Disj ( E ↾ 𝐴)))
51, 4bitrd 279 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ Disj ( E ↾ 𝐴)))
6 df-eldisj 38686 . 2 ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj ( E ↾ 𝐴))
75, 6bitr4di 289 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2108  Vcvv 3479   E cep 5581  ccnv 5682  cres 5685   Disjs cdisjs 38193   Disj wdisjALTV 38194   ElDisjs celdisjs 38195   ElDisj weldisj 38196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-eprel 5582  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-coss 38390  df-rels 38464  df-ssr 38477  df-cnvrefs 38504  df-cnvrefrels 38505  df-cnvrefrel 38506  df-disjss 38682  df-disjs 38683  df-disjALTV 38684  df-eldisjs 38685  df-eldisj 38686
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator