Theorem eleldisjseldisj 39328

Description: The element of the disjoint elements class and the disjoint elementhood predicate are the same, that is (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴) when 𝐴 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eleldisjseldisj	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴))

Proof of Theorem eleldisjseldisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleldisjs 39327	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ))
2		cnvepresex 38835	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3		eldisjsdisj 39323	. . . 4 ⊢ ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
5	1, 4	bitrd 281	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
6		df-eldisj 39291	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
7	5, 6	bitr4di 291	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   E cep 5546  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649   Disjs cdisjs 38717   Disj wdisjALTV 38718   ElDisjs celdisjs 38719   ElDisj weldisj 38720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-eprel 5547  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-rels 38939  df-coss 39000  df-ssr 39077  df-cnvrefs 39104  df-cnvrefrels 39105  df-cnvrefrel 39106  df-disjss 39287  df-disjs 39288  df-disjALTV 39289  df-eldisjs 39290  df-eldisj 39291

This theorem is referenced by:  rnqmapeleldisjsim  39361  eldisjsim3  39436  eldisjs7  39440