Theorem eleldisjseldisj 39167

Description: The element of the disjoint elements class and the disjoint elementhood predicate are the same, that is (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴) when 𝐴 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eleldisjseldisj	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴))

Proof of Theorem eleldisjseldisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleldisjs 39166	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ))
2		cnvepresex 38674	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3		eldisjsdisj 39162	. . . 4 ⊢ ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
5	1, 4	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
6		df-eldisj 39130	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
7	5, 6	bitr4di 289	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   E cep 5524  ^◡ccnv 5624   ↾ cres 5627   Disjs cdisjs 38556   Disj wdisjALTV 38557   ElDisjs celdisjs 38558   ElDisj weldisj 38559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-eprel 5525  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-rels 38778  df-coss 38839  df-ssr 38916  df-cnvrefs 38943  df-cnvrefrels 38944  df-cnvrefrel 38945  df-disjss 39126  df-disjs 39127  df-disjALTV 39128  df-eldisjs 39129  df-eldisj 39130

This theorem is referenced by:  rnqmapeleldisjsim  39200  eldisjsim3  39275  eldisjs7  39279