Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eleldisjseldisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eleldisjseldisj 37241
Description: The element of the disjoint elements class and the disjoint elementhood predicate are the same, that is (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴) when 𝐴 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
eleldisjseldisj (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴))

Proof of Theorem eleldisjseldisj
StepHypRef Expression
1 eleldisjs 37240 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ( E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ))
2 cnvepresex 36845 . . . 4 (𝐴𝑉 → ( E ↾ 𝐴) ∈ V)
3 eldisjsdisj 37239 . . . 4 (( E ↾ 𝐴) ∈ V → (( E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ↔ Disj ( E ↾ 𝐴)))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 → (( E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ↔ Disj ( E ↾ 𝐴)))
51, 4bitrd 279 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ Disj ( E ↾ 𝐴)))
6 df-eldisj 37219 . 2 ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj ( E ↾ 𝐴))
75, 6bitr4di 289 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2107  Vcvv 3447   E cep 5540  ccnv 5636  cres 5639   Disjs cdisjs 36717   Disj wdisjALTV 36718   ElDisjs celdisjs 36719   ElDisj weldisj 36720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-eprel 5541  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-coss 36923  df-rels 36997  df-ssr 37010  df-cnvrefs 37037  df-cnvrefrels 37038  df-cnvrefrel 37039  df-disjss 37215  df-disjs 37216  df-disjALTV 37217  df-eldisjs 37218  df-eldisj 37219
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator