Theorem eleldisjseldisj 40027

Description: The element of the disjoint elements class and the disjoint elementhood predicate are the same, that is (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴) when 𝐴 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eleldisjseldisj	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴))

Proof of Theorem eleldisjseldisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleldisjs 40026	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ))
2		cnvepresex 39534	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3		eldisjsdisj 40022	. . . 4 ⊢ ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ V → ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((◡ E ↾ 𝐴) ∈ Disjs ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
5	1, 4	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
6		df-eldisj 39990	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
7	5, 6	bitr4di 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ElDisjs ↔ ElDisj 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   E cep 5557  ^◡ccnv 5657   ↾ cres 5660   Disjs cdisjs 39416   Disj wdisjALTV 39417   ElDisjs celdisjs 39418   ElDisj weldisj 39419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-eprel 5558  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-rels 39638  df-coss 39699  df-ssr 39776  df-cnvrefs 39803  df-cnvrefrels 39804  df-cnvrefrel 39805  df-disjss 39986  df-disjs 39987  df-disjALTV 39988  df-eldisjs 39989  df-eldisj 39990

This theorem is used by:  rnqmapeleldisjsim  40060  eldisjsim3  40135  eldisjs7  40139