Theorem elixpconst 8835

Description: Membership in an infinite Cartesian product of a constant 𝐵. (Contributed by NM, 12-Apr-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
elixp.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elixpconst	⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem elixpconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elixp.1	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
2	1	elixp 8834	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
3		ffnfv 7058	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
4	2, 3	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  Xcixp 8827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ixp 8828

This theorem is referenced by:  ixpconstg  8836  sscpwex  17724  psrbaglefi  21865  ixpv  49014