Theorem elixpconst 8651

Description: Membership in an infinite Cartesian product of a constant 𝐵. (Contributed by NM, 12-Apr-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
elixp.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elixpconst	⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem elixpconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elixp.1	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
2	1	elixp 8650	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
3		ffnfv 6974	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
4	2, 3	bitr4i 277	1 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  Xcixp 8643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ixp 8644

This theorem is referenced by:  ixpconstg  8652  sscpwex  17444  psrbaglefi  21045  psrbaglefiOLD  21046