MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglefiOLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbaglefiOLD 21853
Description: Obsolete version of psrbaglefi 21852 as of 6-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglefiOLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑦,𝐷   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼   𝑦,𝑉   𝑦,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem psrbaglefiOLD
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3428 . . 3 {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)}
2 psrbag.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
32psrbag 21837 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↔ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin)))
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↔ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin)))
5 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
64, 5biimtrdi 252 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
76adantrd 491 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
8 ss2ixp 8920 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
9 fz0ssnn0 13620 . . . . . . . . . 10 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0)
118, 10mprg 3062 . . . . . . . 8 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0
1211sseli 3974 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
13 vex 3473 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1413elixpconst 8915 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0 ↔ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1512, 14sylib 217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
17 ffn 6716 . . . . . . . . 9 (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1817adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1913elixp 8914 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
2019baib 535 . . . . . . . 8 (𝑦 Fn 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
22 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2322adantll 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
24 nn0uz 12886 . . . . . . . . . . 11 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2523, 24eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
262psrbagfOLD 21839 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2827ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2928nn0zd 12606 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
30 elfz5 13517 . . . . . . . . . 10 (((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3125, 29, 30syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3231ralbidva 3170 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3327ffnd 6717 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
34 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
35 inidm 4214 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
36 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) = (π‘¦β€˜π‘₯))
37 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3818, 33, 34, 34, 35, 36, 37ofrfval 7689 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3932, 38bitr4d 282 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹))
402psrbagleclOLD 21847 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
41403exp2 1352 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))))
4241imp31 417 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))
4342pm4.71rd 562 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)))
4421, 39, 433bitrrd 306 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4544ex 412 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))))
467, 16, 45pm5.21ndd 379 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4746eqabcdv 2863 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
481, 47eqtrid 2779 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
49 simpr 484 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
50 cnveq 5870 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
5150imaeq1d 6056 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (◑𝐹 β€œ β„•))
5251eleq1d 2813 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5352, 2elrab2 3683 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5449, 53sylib 217 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5554simprd 495 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)
56 fzfid 13962 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
57 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5857, 26jca 511 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0))
59 fcdmnn0supp 12550 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
60 eqimss 4036 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
62 c0ex 11230 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ V)
6426, 61, 57, 63suppssr 8194 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
6564oveq2d 7430 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = (0...0))
66 fz0sn 13625 . . . . 5 (0...0) = {0}
6765, 66eqtrdi 2783 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0})
68 eqimss 4036 . . . 4 ((0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0} β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
6967, 68syl 17 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
7055, 56, 69ixpfi2 9366 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
7148, 70eqeltrd 2828 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704  βˆ€wral 3056  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  {csn 4624   class class class wbr 5142  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘r cofr 7678   supp csupp 8159   ↑m cmap 8836  Xcixp 8907  Fincfn 8955  0cc0 11130   ≀ cle 11271  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  ...cfz 13508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509
This theorem is referenced by:  gsumbagdiagOLD  21860  psrass1lemOLD  21861
  Copyright terms: Public domain W3C validator