Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | df-rab 3333 |
. . 3
β’ {π¦ β π· β£ π¦ βr β€ πΉ} = {π¦ β£ (π¦ β π· β§ π¦ βr β€ πΉ)} |
2 | | psrbag.d |
. . . . . . . . 9
β’ π· = {π β (β0
βm πΌ)
β£ (β‘π β β) β
Fin} |
3 | 2 | psrbag 21169 |
. . . . . . . 8
β’ (πΌ β π β (π¦ β π· β (π¦:πΌβΆβ0 β§ (β‘π¦ β β) β
Fin))) |
4 | 3 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β (π¦ β π· β (π¦:πΌβΆβ0 β§ (β‘π¦ β β) β
Fin))) |
5 | | simpl 484 |
. . . . . . 7
β’ ((π¦:πΌβΆβ0 β§ (β‘π¦ β β) β Fin) β π¦:πΌβΆβ0) |
6 | 4, 5 | syl6bi 253 |
. . . . . 6
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β (π¦ β π· β π¦:πΌβΆβ0)) |
7 | 6 | adantrd 493 |
. . . . 5
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β ((π¦ β π· β§ π¦ βr β€ πΉ) β π¦:πΌβΆβ0)) |
8 | | ss2ixp 8729 |
. . . . . . . . 9
β’
(βπ₯ β
πΌ (0...(πΉβπ₯)) β β0 β Xπ₯ β
πΌ (0...(πΉβπ₯)) β Xπ₯ β πΌ β0) |
9 | | fz0ssnn0 13401 |
. . . . . . . . . 10
β’
(0...(πΉβπ₯)) β
β0 |
10 | 9 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
β’ (π₯ β πΌ β (0...(πΉβπ₯)) β
β0) |
11 | 8, 10 | mprg 3067 |
. . . . . . . 8
β’ Xπ₯ β
πΌ (0...(πΉβπ₯)) β Xπ₯ β πΌ β0 |
12 | 11 | sseli 3922 |
. . . . . . 7
β’ (π¦ β Xπ₯ β
πΌ (0...(πΉβπ₯)) β π¦ β Xπ₯ β πΌ β0) |
13 | | vex 3441 |
. . . . . . . 8
β’ π¦ β V |
14 | 13 | elixpconst 8724 |
. . . . . . 7
β’ (π¦ β Xπ₯ β
πΌ β0
β π¦:πΌβΆβ0) |
15 | 12, 14 | sylib 217 |
. . . . . 6
β’ (π¦ β Xπ₯ β
πΌ (0...(πΉβπ₯)) β π¦:πΌβΆβ0) |
16 | 15 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β (π¦ β Xπ₯ β πΌ (0...(πΉβπ₯)) β π¦:πΌβΆβ0)) |
17 | | ffn 6630 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦:πΌβΆβ0 β π¦ Fn πΌ) |
18 | 17 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β π¦ Fn πΌ) |
19 | 13 | elixp 8723 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ β Xπ₯ β
πΌ (0...(πΉβπ₯)) β (π¦ Fn πΌ β§ βπ₯ β πΌ (π¦βπ₯) β (0...(πΉβπ₯)))) |
20 | 19 | baib 537 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ Fn πΌ β (π¦ β Xπ₯ β πΌ (0...(πΉβπ₯)) β βπ₯ β πΌ (π¦βπ₯) β (0...(πΉβπ₯)))) |
21 | 18, 20 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β (π¦ β Xπ₯ β
πΌ (0...(πΉβπ₯)) β βπ₯ β πΌ (π¦βπ₯) β (0...(πΉβπ₯)))) |
22 | | ffvelcdm 6991 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π¦:πΌβΆβ0 β§ π₯ β πΌ) β (π¦βπ₯) β
β0) |
23 | 22 | adantll 712 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β§ π₯ β πΌ) β (π¦βπ₯) β
β0) |
24 | | nn0uz 12670 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β0 = (β€β₯β0) |
25 | 23, 24 | eleqtrdi 2847 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β§ π₯ β πΌ) β (π¦βπ₯) β
(β€β₯β0)) |
26 | 2 | psrbagfOLD 21171 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β πΉ:πΌβΆβ0) |
27 | 26 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β πΉ:πΌβΆβ0) |
28 | 27 | ffvelcdmda 6993 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β§ π₯ β πΌ) β (πΉβπ₯) β
β0) |
29 | 28 | nn0zd 12474 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β§ π₯ β πΌ) β (πΉβπ₯) β β€) |
30 | | elfz5 13298 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π¦βπ₯) β (β€β₯β0)
β§ (πΉβπ₯) β β€) β ((π¦βπ₯) β (0...(πΉβπ₯)) β (π¦βπ₯) β€ (πΉβπ₯))) |
31 | 25, 29, 30 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β§ π₯ β πΌ) β ((π¦βπ₯) β (0...(πΉβπ₯)) β (π¦βπ₯) β€ (πΉβπ₯))) |
32 | 31 | ralbidva 3168 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β
(βπ₯ β πΌ (π¦βπ₯) β (0...(πΉβπ₯)) β βπ₯ β πΌ (π¦βπ₯) β€ (πΉβπ₯))) |
33 | 27 | ffnd 6631 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β πΉ Fn πΌ) |
34 | | simpll 765 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β πΌ β π) |
35 | | inidm 4158 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΌ β© πΌ) = πΌ |
36 | | eqidd 2737 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β§ π₯ β πΌ) β (π¦βπ₯) = (π¦βπ₯)) |
37 | | eqidd 2737 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β§ π₯ β πΌ) β (πΉβπ₯) = (πΉβπ₯)) |
38 | 18, 33, 34, 34, 35, 36, 37 | ofrfval 7575 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β (π¦ βr β€ πΉ β βπ₯ β πΌ (π¦βπ₯) β€ (πΉβπ₯))) |
39 | 32, 38 | bitr4d 282 |
. . . . . . 7
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β
(βπ₯ β πΌ (π¦βπ₯) β (0...(πΉβπ₯)) β π¦ βr β€ πΉ)) |
40 | 2 | psrbagleclOLD 21179 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΌ β π β§ (πΉ β π· β§ π¦:πΌβΆβ0 β§ π¦ βr β€ πΉ)) β π¦ β π·) |
41 | 40 | 3exp2 1354 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΌ β π β (πΉ β π· β (π¦:πΌβΆβ0 β (π¦ βr β€ πΉ β π¦ β π·)))) |
42 | 41 | imp31 419 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β (π¦ βr β€ πΉ β π¦ β π·)) |
43 | 42 | pm4.71rd 564 |
. . . . . . 7
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β (π¦ βr β€ πΉ β (π¦ β π· β§ π¦ βr β€ πΉ))) |
44 | 21, 39, 43 | 3bitrrd 306 |
. . . . . 6
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π¦:πΌβΆβ0) β ((π¦ β π· β§ π¦ βr β€ πΉ) β π¦ β Xπ₯ β πΌ (0...(πΉβπ₯)))) |
45 | 44 | ex 414 |
. . . . 5
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β (π¦:πΌβΆβ0 β ((π¦ β π· β§ π¦ βr β€ πΉ) β π¦ β Xπ₯ β πΌ (0...(πΉβπ₯))))) |
46 | 7, 16, 45 | pm5.21ndd 381 |
. . . 4
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β ((π¦ β π· β§ π¦ βr β€ πΉ) β π¦ β Xπ₯ β πΌ (0...(πΉβπ₯)))) |
47 | 46 | abbi1dv 2876 |
. . 3
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β {π¦ β£ (π¦ β π· β§ π¦ βr β€ πΉ)} = Xπ₯ β πΌ (0...(πΉβπ₯))) |
48 | 1, 47 | eqtrid 2788 |
. 2
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β {π¦ β π· β£ π¦ βr β€ πΉ} = Xπ₯ β πΌ (0...(πΉβπ₯))) |
49 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β πΉ β π·) |
50 | | cnveq 5795 |
. . . . . . . 8
β’ (π = πΉ β β‘π = β‘πΉ) |
51 | 50 | imaeq1d 5978 |
. . . . . . 7
β’ (π = πΉ β (β‘π β β) = (β‘πΉ β β)) |
52 | 51 | eleq1d 2821 |
. . . . . 6
β’ (π = πΉ β ((β‘π β β) β Fin β (β‘πΉ β β) β
Fin)) |
53 | 52, 2 | elrab2 3632 |
. . . . 5
β’ (πΉ β π· β (πΉ β (β0
βm πΌ) β§
(β‘πΉ β β) β
Fin)) |
54 | 49, 53 | sylib 217 |
. . . 4
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β (πΉ β (β0
βm πΌ) β§
(β‘πΉ β β) β
Fin)) |
55 | 54 | simprd 497 |
. . 3
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β (β‘πΉ β β) β
Fin) |
56 | | fzfid 13743 |
. . 3
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π₯ β πΌ) β (0...(πΉβπ₯)) β Fin) |
57 | | simpl 484 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β πΌ β π) |
58 | 57, 26 | jca 513 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β (πΌ β π β§ πΉ:πΌβΆβ0)) |
59 | | fcdmnn0supp 12339 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΌ β π β§ πΉ:πΌβΆβ0) β (πΉ supp 0) = (β‘πΉ β β)) |
60 | | eqimss 3982 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΉ supp 0) = (β‘πΉ β β) β (πΉ supp 0) β (β‘πΉ β β)) |
61 | 58, 59, 60 | 3syl 18 |
. . . . . . 7
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β (πΉ supp 0) β (β‘πΉ β β)) |
62 | | c0ex 11019 |
. . . . . . . 8
β’ 0 β
V |
63 | 62 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β 0 β V) |
64 | 26, 61, 57, 63 | suppssr 8043 |
. . . . . 6
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π₯ β (πΌ β (β‘πΉ β β))) β (πΉβπ₯) = 0) |
65 | 64 | oveq2d 7323 |
. . . . 5
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π₯ β (πΌ β (β‘πΉ β β))) β (0...(πΉβπ₯)) = (0...0)) |
66 | | fz0sn 13406 |
. . . . 5
β’ (0...0) =
{0} |
67 | 65, 66 | eqtrdi 2792 |
. . . 4
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π₯ β (πΌ β (β‘πΉ β β))) β (0...(πΉβπ₯)) = {0}) |
68 | | eqimss 3982 |
. . . 4
β’
((0...(πΉβπ₯)) = {0} β (0...(πΉβπ₯)) β {0}) |
69 | 67, 68 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΌ β π β§ πΉ β π·) β§ π₯ β (πΌ β (β‘πΉ β β))) β (0...(πΉβπ₯)) β {0}) |
70 | 55, 56, 69 | ixpfi2 9165 |
. 2
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β Xπ₯ β πΌ (0...(πΉβπ₯)) β Fin) |
71 | 48, 70 | eqeltrd 2837 |
1
β’ ((πΌ β π β§ πΉ β π·) β {π¦ β π· β£ π¦ βr β€ πΉ} β Fin) |