MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglefiOLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbaglefiOLD 21486
Description: Obsolete version of psrbaglefi 21485 as of 6-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglefiOLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem psrbaglefiOLD
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3434 . . 3 {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)}
2 psrbag.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
32psrbag 21470 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↔ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin)))
43adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↔ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin)))
5 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
64, 5syl6bi 253 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
76adantrd 493 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
8 ss2ixp 8904 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
9 fz0ssnn0 13596 . . . . . . . . . 10 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0)
118, 10mprg 3068 . . . . . . . 8 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0
1211sseli 3979 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
13 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1413elixpconst 8899 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0 ↔ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1512, 14sylib 217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
17 ffn 6718 . . . . . . . . 9 (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1817adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1913elixp 8898 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
2019baib 537 . . . . . . . 8 (𝑦 Fn 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
22 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2322adantll 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
24 nn0uz 12864 . . . . . . . . . . 11 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2523, 24eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
262psrbagfOLD 21472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2827ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2928nn0zd 12584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
30 elfz5 13493 . . . . . . . . . 10 (((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3125, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3231ralbidva 3176 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3327ffnd 6719 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
34 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
35 inidm 4219 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
36 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) = (π‘¦β€˜π‘₯))
37 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3818, 33, 34, 34, 35, 36, 37ofrfval 7680 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3932, 38bitr4d 282 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹))
402psrbagleclOLD 21480 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
41403exp2 1355 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))))
4241imp31 419 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))
4342pm4.71rd 564 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)))
4421, 39, 433bitrrd 306 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4544ex 414 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))))
467, 16, 45pm5.21ndd 381 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4746eqabcdv 2869 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
481, 47eqtrid 2785 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
49 simpr 486 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
50 cnveq 5874 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
5150imaeq1d 6059 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (◑𝐹 β€œ β„•))
5251eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5352, 2elrab2 3687 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5449, 53sylib 217 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5554simprd 497 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)
56 fzfid 13938 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
57 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5857, 26jca 513 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0))
59 fcdmnn0supp 12528 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
60 eqimss 4041 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
62 c0ex 11208 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ V)
6426, 61, 57, 63suppssr 8181 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
6564oveq2d 7425 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = (0...0))
66 fz0sn 13601 . . . . 5 (0...0) = {0}
6765, 66eqtrdi 2789 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0})
68 eqimss 4041 . . . 4 ((0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0} β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
6967, 68syl 17 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
7055, 56, 69ixpfi2 9350 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
7148, 70eqeltrd 2834 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘r cofr 7669   supp csupp 8146   ↑m cmap 8820  Xcixp 8891  Fincfn 8939  0cc0 11110   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485
This theorem is referenced by:  gsumbagdiagOLD  21492  psrass1lemOLD  21493
  Copyright terms: Public domain W3C validator