MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglefiOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbaglefiOLD 21185
Description: Obsolete version of psrbaglefi 21184 as of 6-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglefiOLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbaglefiOLD
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3333 . . 3 {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)}
2 psrbag.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
32psrbag 21169 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↔ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin)))
43adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↔ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin)))
5 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
64, 5syl6bi 253 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
76adantrd 493 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
8 ss2ixp 8729 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
9 fz0ssnn0 13401 . . . . . . . . . 10 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0)
118, 10mprg 3067 . . . . . . . 8 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0
1211sseli 3922 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
13 vex 3441 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1413elixpconst 8724 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0 ↔ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1512, 14sylib 217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
17 ffn 6630 . . . . . . . . 9 (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1817adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1913elixp 8723 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
2019baib 537 . . . . . . . 8 (𝑦 Fn 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
22 ffvelcdm 6991 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2322adantll 712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
24 nn0uz 12670 . . . . . . . . . . 11 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2523, 24eleqtrdi 2847 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
262psrbagfOLD 21171 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2827ffvelcdmda 6993 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2928nn0zd 12474 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
30 elfz5 13298 . . . . . . . . . 10 (((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3125, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3231ralbidva 3168 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3327ffnd 6631 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
34 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
35 inidm 4158 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
36 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) = (π‘¦β€˜π‘₯))
37 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3818, 33, 34, 34, 35, 36, 37ofrfval 7575 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3932, 38bitr4d 282 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹))
402psrbagleclOLD 21179 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
41403exp2 1354 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))))
4241imp31 419 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))
4342pm4.71rd 564 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)))
4421, 39, 433bitrrd 306 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4544ex 414 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))))
467, 16, 45pm5.21ndd 381 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4746abbi1dv 2876 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
481, 47eqtrid 2788 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
49 simpr 486 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
50 cnveq 5795 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
5150imaeq1d 5978 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (◑𝐹 β€œ β„•))
5251eleq1d 2821 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5352, 2elrab2 3632 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5449, 53sylib 217 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5554simprd 497 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)
56 fzfid 13743 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
57 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5857, 26jca 513 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0))
59 fcdmnn0supp 12339 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
60 eqimss 3982 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
62 c0ex 11019 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ V)
6426, 61, 57, 63suppssr 8043 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
6564oveq2d 7323 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = (0...0))
66 fz0sn 13406 . . . . 5 (0...0) = {0}
6765, 66eqtrdi 2792 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0})
68 eqimss 3982 . . . 4 ((0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0} β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
6967, 68syl 17 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
7055, 56, 69ixpfi2 9165 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
7148, 70eqeltrd 2837 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2713  βˆ€wral 3061  {crab 3330  Vcvv 3437   βˆ– cdif 3889   βŠ† wss 3892  {csn 4565   class class class wbr 5081  β—‘ccnv 5599   β€œ cima 5603   Fn wfn 6453  βŸΆwf 6454  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307   ∘r cofr 7564   supp csupp 8008   ↑m cmap 8646  Xcixp 8716  Fincfn 8764  0cc0 10921   ≀ cle 11060  β„•cn 12023  β„•0cn0 12283  β„€cz 12369  β„€β‰₯cuz 12632  ...cfz 13289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3332  df-rab 3333  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-ofr 7566  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-fz 13290
This theorem is referenced by:  gsumbagdiagOLD  21191  psrass1lemOLD  21192
  Copyright terms: Public domain W3C validator