MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglefiOLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbaglefiOLD 21477
Description: Obsolete version of psrbaglefi 21476 as of 6-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglefiOLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem psrbaglefiOLD
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3433 . . 3 {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)}
2 psrbag.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
32psrbag 21461 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↔ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin)))
43adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↔ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin)))
5 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
64, 5syl6bi 252 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
76adantrd 492 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
8 ss2ixp 8900 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
9 fz0ssnn0 13592 . . . . . . . . . 10 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0)
118, 10mprg 3067 . . . . . . . 8 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0
1211sseli 3977 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
13 vex 3478 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1413elixpconst 8895 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0 ↔ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1512, 14sylib 217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
17 ffn 6714 . . . . . . . . 9 (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1817adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1913elixp 8894 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
2019baib 536 . . . . . . . 8 (𝑦 Fn 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
22 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2322adantll 712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
24 nn0uz 12860 . . . . . . . . . . 11 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2523, 24eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
262psrbagfOLD 21463 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2827ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2928nn0zd 12580 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
30 elfz5 13489 . . . . . . . . . 10 (((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3125, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3231ralbidva 3175 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3327ffnd 6715 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
34 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
35 inidm 4217 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
36 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) = (π‘¦β€˜π‘₯))
37 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3818, 33, 34, 34, 35, 36, 37ofrfval 7676 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3932, 38bitr4d 281 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹))
402psrbagleclOLD 21471 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
41403exp2 1354 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))))
4241imp31 418 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))
4342pm4.71rd 563 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)))
4421, 39, 433bitrrd 305 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4544ex 413 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))))
467, 16, 45pm5.21ndd 380 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4746eqabcdv 2868 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
481, 47eqtrid 2784 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
49 simpr 485 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
50 cnveq 5871 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
5150imaeq1d 6056 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (◑𝐹 β€œ β„•))
5251eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5352, 2elrab2 3685 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5449, 53sylib 217 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5554simprd 496 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)
56 fzfid 13934 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
57 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5857, 26jca 512 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0))
59 fcdmnn0supp 12524 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
60 eqimss 4039 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
62 c0ex 11204 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ V)
6426, 61, 57, 63suppssr 8177 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
6564oveq2d 7421 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = (0...0))
66 fz0sn 13597 . . . . 5 (0...0) = {0}
6765, 66eqtrdi 2788 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0})
68 eqimss 4039 . . . 4 ((0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0} β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
6967, 68syl 17 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
7055, 56, 69ixpfi2 9346 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
7148, 70eqeltrd 2833 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘r cofr 7665   supp csupp 8142   ↑m cmap 8816  Xcixp 8887  Fincfn 8935  0cc0 11106   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481
This theorem is referenced by:  gsumbagdiagOLD  21483  psrass1lemOLD  21484
  Copyright terms: Public domain W3C validator