MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglefiOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbaglefiOLD 21797
Description: Obsolete version of psrbaglefi 21796 as of 6-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglefiOLD ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbaglefiOLD
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3425 . . 3 {𝑦𝐷𝑦r𝐹} = {𝑦 ∣ (𝑦𝐷𝑦r𝐹)}
2 psrbag.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
32psrbag 21781 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → (𝑦𝐷 ↔ (𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin)))
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑦𝐷 ↔ (𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin)))
5 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
64, 5syl6bi 253 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑦𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0))
76adantrd 491 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → ((𝑦𝐷𝑦r𝐹) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0))
8 ss2ixp 8901 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ X𝑥𝐼0)
9 fz0ssnn0 13594 . . . . . . . . . 10 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0)
118, 10mprg 3059 . . . . . . . 8 X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ X𝑥𝐼0
1211sseli 3971 . . . . . . 7 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦X𝑥𝐼0)
13 vex 3470 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1413elixpconst 8896 . . . . . . 7 (𝑦X𝑥𝐼0𝑦:𝐼⟶ℕ0)
1512, 14sylib 217 . . . . . 6 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0))
17 ffn 6708 . . . . . . . . 9 (𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑦 Fn 𝐼)
1817adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝑦 Fn 𝐼)
1913elixp 8895 . . . . . . . . 9 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
2019baib 535 . . . . . . . 8 (𝑦 Fn 𝐼 → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
22 ffvelcdm 7074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ ℕ0)
2322adantll 711 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ ℕ0)
24 nn0uz 12862 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
2523, 24eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (ℤ‘0))
262psrbagfOLD 21783 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2827ffvelcdmda 7077 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℕ0)
2928nn0zd 12582 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
30 elfz5 13491 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑥) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℤ) → ((𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3125, 29, 30syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3231ralbidva 3167 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3327ffnd 6709 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹 Fn 𝐼)
34 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐼𝑉)
35 inidm 4211 . . . . . . . . 9 (𝐼𝐼) = 𝐼
36 eqidd 2725 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) = (𝑦𝑥))
37 eqidd 2725 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
3818, 33, 34, 34, 35, 36, 37ofrfval 7674 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦r𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3932, 38bitr4d 282 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ 𝑦r𝐹))
402psrbagleclOLD 21791 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑦r𝐹)) → 𝑦𝐷)
41403exp2 1351 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 → (𝑦:𝐼⟶ℕ0 → (𝑦r𝐹𝑦𝐷))))
4241imp31 417 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦r𝐹𝑦𝐷))
4342pm4.71rd 562 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦r𝐹 ↔ (𝑦𝐷𝑦r𝐹)))
4421, 39, 433bitrrd 306 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦𝐷𝑦r𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥))))
4544ex 412 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑦:𝐼⟶ℕ0 → ((𝑦𝐷𝑦r𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))))
467, 16, 45pm5.21ndd 379 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → ((𝑦𝐷𝑦r𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥))))
4746eqabcdv 2860 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → {𝑦 ∣ (𝑦𝐷𝑦r𝐹)} = X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))
481, 47eqtrid 2776 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} = X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))
49 simpr 484 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 𝐹𝐷)
50 cnveq 5864 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
5150imaeq1d 6049 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 “ ℕ) = (𝐹 “ ℕ))
5251eleq1d 2810 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
5352, 2elrab2 3679 . . . . 5 (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
5449, 53sylib 217 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
5554simprd 495 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
56 fzfid 13936 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (0...(𝐹𝑥)) ∈ Fin)
57 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 𝐼𝑉)
5857, 26jca 511 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0))
59 fcdmnn0supp 12526 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
60 eqimss 4033 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
62 c0ex 11206 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 0 ∈ V)
6426, 61, 57, 63suppssr 8176 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐹𝑥) = 0)
6564oveq2d 7418 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) = (0...0))
66 fz0sn 13599 . . . . 5 (0...0) = {0}
6765, 66eqtrdi 2780 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) = {0})
68 eqimss 4033 . . . 4 ((0...(𝐹𝑥)) = {0} → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ {0})
6967, 68syl 17 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ {0})
7055, 56, 69ixpfi2 9347 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ∈ Fin)
7148, 70eqeltrd 2825 1 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2701  wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466  cdif 3938  wss 3941  {csn 4621   class class class wbr 5139  ccnv 5666  cima 5670   Fn wfn 6529  wf 6530  cfv 6534  (class class class)co 7402  r cofr 7663   supp csupp 8141  m cmap 8817  Xcixp 8888  Fincfn 8936  0cc0 11107  cle 11247  cn 12210  0cn0 12470  cz 12556  cuz 12820  ...cfz 13482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483
This theorem is referenced by:  gsumbagdiagOLD  21803  psrass1lemOLD  21804
  Copyright terms: Public domain W3C validator