Theorem ffnfv 6859

Description: A function maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ffnfv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem ffnfv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6487	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		ffvelrn 6826	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
3	2	ralrimiva 3149	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
4	1, 3	jca 515	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
5		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
6		fvelrnb 6701	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦))
7	6	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦))
8		nfra1 3183	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵
9		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵
10		rsp 3170	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
11		eleq1 2877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
12	11	biimpcd 252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
13	10, 12	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵)))
14	8, 9, 13	rexlimd 3276	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	7, 14	sylan9 511	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	ssrdv 3921	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
17		df-f 6328	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
18	5, 16, 17	sylanbrc 586	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
19	4, 18	impbii 212	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  ran crn 5520   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  ffnfvf  6860  fnfvrnss  6861  frnssb  6862  fmpt2d  6864  fconstfv  6952  ffnov  7257  seqomlem2  8070  elixpconst  8452  elixpsn  8484  unblem4  8757  ordtypelem4  8969  oismo  8988  cantnfvalf  9112  rankf  9207  alephon  9480  alephf1  9496  alephf1ALT  9514  alephfplem4  9518  cfsmolem  9681  infpssrlem3  9716  axcc4  9850  domtriomlem  9853  axdclem2  9931  pwfseqlem3  10071  gch3  10087  inar1  10186  peano5nni  11628  cnref1o  12372  seqf2  13385  hashkf  13688  iswrdsymb  13874  ccatrn  13934  shftf  14430  sqrtf  14715  isercoll2  15017  eff2  15444  reeff1  15465  1arith  16253  ramcl  16355  xpscf  16830  dmaf  17301  cdaf  17302  coapm  17323  odf  18657  gsumpt  19075  dprdff  19127  dprdfcntz  19130  dprdfadd  19135  dprdlub  19141  mgpf  19305  prdscrngd  19359  isabvd  19584  psgnghm  20269  frlmsslsp  20485  psrbagcon  20609  subrgmvrf  20702  mplbas2  20710  mvrf2  20731  kqf  22352  fmf  22550  tmdgsum2  22701  prdstmdd  22729  prdstgpd  22730  prdsxmslem2  23136  metdsre  23458  evth  23564  evthicc2  24064  ovolfsf  24075  ovolf  24086  vitalilem2  24213  vitalilem5  24216  0plef  24276  mbfi1fseqlem4  24322  xrge0f  24335  itg2addlem  24362  dvfre  24554  dvne0  24614  mdegxrf  24669  mtest  24999  psercn  25021  recosf1o  25127  logcn  25238  amgm  25576  emcllem7  25587  dchrfi  25839  dchr1re  25847  dchrisum0re  26097  padicabvf  26215  vtxdgfisf  27266  hlimf  29020  pjrni  29485  pjmf1  29499  2ndresdju  30411  reprinfz1  32003  reprdifc  32008  bnj149  32257  subfacp1lem3  32542  mrsubrn  32873  msrf  32902  mclsind  32930  neibastop2lem  33821  rrncmslem  35270  cdlemk56  38267  hbtlem7  40069  dgraaf  40091  deg1mhm  40151  elixpconstg  41725  elmapsnd  41833  unirnmap  41837  resincncf  42517  dvnprodlem1  42588  volioof  42629  voliooicof  42638  qndenserrnbllem  42936  subsaliuncllem  42997  fge0iccico  43009  elhoi  43181  ovnsubaddlem1  43209  hoiqssbllem3  43263  ovolval4lem1  43288  rrx2xpref1o  45132