Theorem ffnfv 7114

Description: A function maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ffnfv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem ffnfv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6714	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		ffvelcdm 7080	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
3	2	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
4	1, 3	jca 512	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
5		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
6		fvelrnb 6949	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦))
7	6	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦))
8		nfra1 3281	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵
9		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵
10		rsp 3244	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
11		eleq1 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
12	11	biimpcd 248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
13	10, 12	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵)))
14	8, 9, 13	rexlimd 3263	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	7, 14	sylan9 508	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	ssrdv 3987	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
17		df-f 6544	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
18	5, 16, 17	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
19	4, 18	impbii 208	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3947  ran crn 5676   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548

This theorem is referenced by:  ffnfvf  7115  fnfvrnss  7116  fcdmssb  7117  fmpt2d  7119  fconstfv  7210  ffnov  7531  seqomlem2  8447  naddf  8676  elixpconst  8895  elixpsn  8927  unblem4  9294  ordtypelem4  9512  oismo  9531  cantnfvalf  9656  rankf  9785  alephon  10060  alephf1  10076  alephf1ALT  10094  alephfplem4  10098  cfsmolem  10261  infpssrlem3  10296  axcc4  10430  domtriomlem  10433  pwfseqlem3  10651  gch3  10667  inar1  10766  peano5nni  12211  cnref1o  12965  seqf2  13983  hashkf  14288  iswrdsymb  14477  ccatrn  14535  shftf  15022  sqrtf  15306  isercoll2  15611  eff2  16038  reeff1  16059  1arith  16856  ramcl  16958  xpscf  17507  dmaf  17995  cdaf  17996  coapm  18017  odf  19399  gsumpt  19824  dprdff  19876  dprdfcntz  19879  dprdfadd  19884  dprdlub  19890  mgpf  20064  prdscrngd  20128  isabvd  20420  psgnghm  21124  frlmsslsp  21342  psrbagcon  21474  psrbagconOLD  21475  mvrf2  21543  subrgmvrf  21580  mplbas2  21588  kqf  23242  fmf  23440  tmdgsum2  23591  prdstmdd  23619  prdstgpd  23620  prdsxmslem2  24029  metdsre  24360  evth  24466  evthicc2  24968  ovolfsf  24979  ovolf  24990  vitalilem2  25117  vitalilem5  25120  0plef  25180  mbfi1fseqlem4  25227  xrge0f  25240  itg2addlem  25267  dvfre  25459  dvne0  25519  mdegxrf  25577  mtest  25907  psercn  25929  recosf1o  26035  logcn  26146  amgm  26484  emcllem7  26495  dchrfi  26747  dchr1re  26755  dchrisum0re  27005  padicabvf  27123  addsf  27455  negsf  27515  vtxdgfisf  28722  hlimf  30477  pjrni  30942  pjmf1  30956  2ndresdju  31861  nsgmgc  32511  reprinfz1  33622  reprdifc  33627  bnj149  33874  subfacp1lem3  34161  mrsubrn  34492  msrf  34521  mclsind  34549  neibastop2lem  35233  rrncmslem  36688  cdlemk56  39830  sticksstones22  40972  hbtlem7  41852  dgraaf  41874  deg1mhm  41934  elixpconstg  43763  elmapsnd  43888  unirnmap  43892  resincncf  44577  dvnprodlem1  44648  volioof  44689  voliooicof  44698  qndenserrnbllem  44996  subsaliuncllem  45059  fge0iccico  45072  elhoi  45244  ovnsubaddlem1  45272  hoiqssbllem3  45326  ovolval4lem1  45351  rngmgpf  46639  rrx2xpref1o  47357