Theorem ffnfv 7052

Description: A function maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ffnfv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem ffnfv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6651	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		ffvelcdm 7014	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
3	2	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
4	1, 3	jca 511	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
5		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
6		fvelrnb 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦))
7	6	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦))
8		nfra1 3256	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵
9		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵
10		rsp 3220	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
11		eleq1 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
12	11	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
13	10, 12	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵)))
14	8, 9, 13	rexlimd 3239	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	7, 14	sylan9 507	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	ssrdv 3935	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
17		df-f 6485	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
18	5, 16, 17	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
19	4, 18	impbii 209	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ran crn 5615   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  ffnfvf  7053  fnfvrnss  7054  fcdmssb  7055  fmpt2d  7057  fssrescdmd  7059  fconstfv  7146  ffnov  7472  seqomlem2  8370  naddf  8596  elixpconst  8829  elixpsn  8861  unblem4  9179  ordtypelem4  9407  oismo  9426  cantnfvalf  9555  rankf  9687  alephon  9960  alephf1  9976  alephf1ALT  9994  alephfplem4  9998  cfsmolem  10161  infpssrlem3  10196  axcc4  10330  domtriomlem  10333  pwfseqlem3  10551  gch3  10567  inar1  10666  peano5nni  12128  cnref1o  12883  seqf2  13928  hashkf  14239  iswrdsymb  14438  ccatrn  14497  shftf  14986  sqrtf  15271  isercoll2  15576  eff2  16008  reeff1  16029  1arith  16839  ramcl  16941  xpscf  17469  dmaf  17956  cdaf  17957  coapm  17978  odf  19449  gsumpt  19874  dprdff  19926  dprdfcntz  19929  dprdfadd  19934  dprdlub  19940  rngmgpf  20075  mgpf  20166  prdscrngd  20240  isabvd  20727  psgnghm  21517  frlmsslsp  21733  psrbagcon  21862  mvrf2  21930  subrgmvrf  21969  mplbas2  21977  kqf  23662  fmf  23860  tmdgsum2  24011  prdstmdd  24039  prdstgpd  24040  prdsxmslem2  24444  metdsre  24769  evth  24885  evthicc2  25388  ovolfsf  25399  ovolf  25410  vitalilem2  25537  vitalilem5  25540  0plef  25600  mbfi1fseqlem4  25646  xrge0f  25659  itg2addlem  25686  dvfre  25882  dvne0  25943  mdegxrf  26000  mtest  26340  psercn  26363  recosf1o  26471  logcn  26583  amgm  26928  emcllem7  26939  dchrfi  27193  dchr1re  27201  dchrisum0re  27451  padicabvf  27569  addsf  27925  negsf  27994  noseqind  28222  vtxdgfisf  29455  hlimf  31217  pjrni  31682  pjmf1  31696  2ndresdju  32631  nsgmgc  33377  mplvrpmrhm  33577  reprinfz1  34635  reprdifc  34640  bnj149  34887  subfacp1lem3  35226  mrsubrn  35557  msrf  35586  mclsind  35614  neibastop2lem  36404  weiunlem2  36507  rrncmslem  37882  cdlemk56  41080  sticksstones22  42271  hbtlem7  43228  dgraaf  43250  deg1mhm  43303  elixpconstg  45196  elmapsnd  45311  unirnmap  45315  resincncf  45983  dvnprodlem1  46054  volioof  46095  voliooicof  46104  qndenserrnbllem  46402  subsaliuncllem  46465  fge0iccico  46478  elhoi  46650  ovnsubaddlem1  46678  hoiqssbllem3  46732  ovolval4lem1  46757  rrx2xpref1o  48829  oppff1  49259  fucofulem2  49422