Theorem ffnfv 7153

Description: A function maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ffnfv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem ffnfv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6747	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		ffvelcdm 7115	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
3	2	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
4	1, 3	jca 511	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
5		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
6		fvelrnb 6982	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦))
7	6	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦))
8		nfra1 3290	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵
9		nfv 1913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵
10		rsp 3253	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
11		eleq1 2832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
12	11	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
13	10, 12	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵)))
14	8, 9, 13	rexlimd 3272	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	7, 14	sylan9 507	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	ssrdv 4014	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
17		df-f 6577	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
18	5, 16, 17	sylanbrc 582	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
19	4, 18	impbii 209	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ran crn 5701   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  ffnfvf  7154  fnfvrnss  7155  fcdmssb  7156  fmpt2d  7158  fssrescdmd  7160  fconstfv  7249  ffnov  7576  seqomlem2  8507  naddf  8737  elixpconst  8963  elixpsn  8995  unblem4  9359  ordtypelem4  9590  oismo  9609  cantnfvalf  9734  rankf  9863  alephon  10138  alephf1  10154  alephf1ALT  10172  alephfplem4  10176  cfsmolem  10339  infpssrlem3  10374  axcc4  10508  domtriomlem  10511  pwfseqlem3  10729  gch3  10745  inar1  10844  peano5nni  12296  cnref1o  13050  seqf2  14072  hashkf  14381  iswrdsymb  14579  ccatrn  14637  shftf  15128  sqrtf  15412  isercoll2  15717  eff2  16147  reeff1  16168  1arith  16974  ramcl  17076  xpscf  17625  dmaf  18116  cdaf  18117  coapm  18138  odf  19579  gsumpt  20004  dprdff  20056  dprdfcntz  20059  dprdfadd  20064  dprdlub  20070  rngmgpf  20184  mgpf  20275  prdscrngd  20345  isabvd  20835  psgnghm  21621  frlmsslsp  21839  psrbagcon  21968  mvrf2  22036  subrgmvrf  22075  mplbas2  22083  kqf  23776  fmf  23974  tmdgsum2  24125  prdstmdd  24153  prdstgpd  24154  prdsxmslem2  24563  metdsre  24894  evth  25010  evthicc2  25514  ovolfsf  25525  ovolf  25536  vitalilem2  25663  vitalilem5  25666  0plef  25726  mbfi1fseqlem4  25773  xrge0f  25786  itg2addlem  25813  dvfre  26009  dvne0  26070  mdegxrf  26127  mtest  26465  psercn  26488  recosf1o  26595  logcn  26707  amgm  27052  emcllem7  27063  dchrfi  27317  dchr1re  27325  dchrisum0re  27575  padicabvf  27693  addsf  28033  negsf  28102  noseqind  28316  vtxdgfisf  29512  hlimf  31269  pjrni  31734  pjmf1  31748  2ndresdju  32667  nsgmgc  33405  reprinfz1  34599  reprdifc  34604  bnj149  34851  subfacp1lem3  35150  mrsubrn  35481  msrf  35510  mclsind  35538  neibastop2lem  36326  weiunlem2  36429  rrncmslem  37792  cdlemk56  40928  sticksstones22  42125  hbtlem7  43082  dgraaf  43104  deg1mhm  43161  elixpconstg  44991  elmapsnd  45111  unirnmap  45115  resincncf  45796  dvnprodlem1  45867  volioof  45908  voliooicof  45917  qndenserrnbllem  46215  subsaliuncllem  46278  fge0iccico  46291  elhoi  46463  ovnsubaddlem1  46491  hoiqssbllem3  46545  ovolval4lem1  46570  rrx2xpref1o  48452