Theorem ffnfv 7118

Description: A function maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ffnfv	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem ffnfv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6718	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		ffvelcdm 7084	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
3	2	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
4	1, 3	jca 513	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
5		simpl 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
6		fvelrnb 6953	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦))
7	6	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦))
8		nfra1 3282	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵
9		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵
10		rsp 3245	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
11		eleq1 2822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
12	11	biimpcd 248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
13	10, 12	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵)))
14	8, 9, 13	rexlimd 3264	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	7, 14	sylan9 509	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	ssrdv 3989	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
17		df-f 6548	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
18	5, 16, 17	sylanbrc 584	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
19	4, 18	impbii 208	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949  ran crn 5678   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  ffnfvf  7119  fnfvrnss  7120  fcdmssb  7121  fmpt2d  7123  fconstfv  7214  ffnov  7535  seqomlem2  8451  naddf  8680  elixpconst  8899  elixpsn  8931  unblem4  9298  ordtypelem4  9516  oismo  9535  cantnfvalf  9660  rankf  9789  alephon  10064  alephf1  10080  alephf1ALT  10098  alephfplem4  10102  cfsmolem  10265  infpssrlem3  10300  axcc4  10434  domtriomlem  10437  pwfseqlem3  10655  gch3  10671  inar1  10770  peano5nni  12215  cnref1o  12969  seqf2  13987  hashkf  14292  iswrdsymb  14481  ccatrn  14539  shftf  15026  sqrtf  15310  isercoll2  15615  eff2  16042  reeff1  16063  1arith  16860  ramcl  16962  xpscf  17511  dmaf  17999  cdaf  18000  coapm  18021  odf  19405  gsumpt  19830  dprdff  19882  dprdfcntz  19885  dprdfadd  19890  dprdlub  19896  mgpf  20071  prdscrngd  20135  isabvd  20428  psgnghm  21133  frlmsslsp  21351  psrbagcon  21483  psrbagconOLD  21484  mvrf2  21552  subrgmvrf  21589  mplbas2  21597  kqf  23251  fmf  23449  tmdgsum2  23600  prdstmdd  23628  prdstgpd  23629  prdsxmslem2  24038  metdsre  24369  evth  24475  evthicc2  24977  ovolfsf  24988  ovolf  24999  vitalilem2  25126  vitalilem5  25129  0plef  25189  mbfi1fseqlem4  25236  xrge0f  25249  itg2addlem  25276  dvfre  25468  dvne0  25528  mdegxrf  25586  mtest  25916  psercn  25938  recosf1o  26044  logcn  26155  amgm  26495  emcllem7  26506  dchrfi  26758  dchr1re  26766  dchrisum0re  27016  padicabvf  27134  addsf  27466  negsf  27526  vtxdgfisf  28733  hlimf  30490  pjrni  30955  pjmf1  30969  2ndresdju  31874  nsgmgc  32523  reprinfz1  33634  reprdifc  33639  bnj149  33886  subfacp1lem3  34173  mrsubrn  34504  msrf  34533  mclsind  34561  neibastop2lem  35245  rrncmslem  36700  cdlemk56  39842  sticksstones22  40984  hbtlem7  41867  dgraaf  41889  deg1mhm  41949  elixpconstg  43778  elmapsnd  43903  unirnmap  43907  resincncf  44591  dvnprodlem1  44662  volioof  44703  voliooicof  44712  qndenserrnbllem  45010  subsaliuncllem  45073  fge0iccico  45086  elhoi  45258  ovnsubaddlem1  45286  hoiqssbllem3  45340  ovolval4lem1  45365  rngmgpf  46653  rrx2xpref1o  47404