MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffnfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ffnfv 6874
Description: A function maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
ffnfv (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem ffnfv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6504 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
2 ffvelrn 6841 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
32ralrimiva 3177 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
41, 3jca 515 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
5 simpl 486 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
6 fvelrnb 6718 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦))
76biimpd 232 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦))
8 nfra1 3214 . . . . . 6 𝑥𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵
9 nfv 1916 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝐵
10 rsp 3200 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
11 eleq1 2903 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐵𝑦𝐵))
1211biimpcd 252 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐵 → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑦𝐵))
1310, 12syl6 35 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑦𝐵)))
148, 9, 13rexlimd 3310 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵 → (∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦𝑦𝐵))
157, 14sylan9 511 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵))
1615ssrdv 3960 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹𝐵)
17 df-f 6348 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹𝐵))
185, 16, 17sylanbrc 586 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
194, 18impbii 212 1 (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  wss 3920  ran crn 5544   Fn wfn 6339  wf 6340  cfv 6344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pr 5318
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-v 3483  df-sbc 3760  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-fv 6352
This theorem is referenced by:  ffnfvf  6875  fnfvrnss  6876  frnssb  6877  fmpt2d  6879  fconstfv  6967  ffnov  7272  seqomlem2  8084  elixpconst  8466  elixpsn  8498  unblem4  8771  ordtypelem4  8983  oismo  9002  cantnfvalf  9126  rankf  9221  alephon  9494  alephf1  9510  alephf1ALT  9528  alephfplem4  9532  cfsmolem  9691  infpssrlem3  9726  axcc4  9860  domtriomlem  9863  axdclem2  9941  pwfseqlem3  10081  gch3  10097  inar1  10196  peano5nni  11640  cnref1o  12384  seqf2  13397  hashkf  13700  iswrdsymb  13886  ccatrn  13946  shftf  14441  sqrtf  14726  isercoll2  15028  eff2  15455  reeff1  15476  1arith  16264  ramcl  16366  xpscf  16841  dmaf  17312  cdaf  17313  coapm  17334  odf  18668  gsumpt  19085  dprdff  19137  dprdfcntz  19140  dprdfadd  19145  dprdlub  19151  mgpf  19315  prdscrngd  19369  isabvd  19594  psrbagcon  20154  subrgmvrf  20246  mplbas2  20254  mvrf2  20275  psgnghm  20727  frlmsslsp  20943  kqf  22358  fmf  22556  tmdgsum2  22707  prdstmdd  22735  prdstgpd  22736  prdsxmslem2  23142  metdsre  23464  evth  23570  evthicc2  24070  ovolfsf  24081  ovolf  24092  vitalilem2  24219  vitalilem5  24222  0plef  24282  mbfi1fseqlem4  24328  xrge0f  24341  itg2addlem  24368  dvfre  24560  dvne0  24620  mdegxrf  24675  mtest  25005  psercn  25027  recosf1o  25133  logcn  25244  amgm  25582  emcllem7  25593  dchrfi  25845  dchr1re  25853  dchrisum0re  26103  padicabvf  26221  vtxdgfisf  27272  hlimf  29026  pjrni  29491  pjmf1  29505  reprinfz1  31953  reprdifc  31958  bnj149  32207  subfacp1lem3  32489  mrsubrn  32820  msrf  32849  mclsind  32877  neibastop2lem  33768  rrncmslem  35216  cdlemk56  38213  hbtlem7  39986  dgraaf  40008  deg1mhm  40068  elixpconstg  41648  elmapsnd  41759  unirnmap  41763  resincncf  42444  dvnprodlem1  42515  volioof  42556  voliooicof  42565  qndenserrnbllem  42863  subsaliuncllem  42924  fge0iccico  42936  elhoi  43108  ovnsubaddlem1  43136  hoiqssbllem3  43190  ovolval4lem1  43215  rrx2xpref1o  45059
  Copyright terms: Public domain W3C validator