Theorem ixpconstg 8902

Description: Infinite Cartesian product of a constant 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpconstg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpconstg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
2	1	elixpconst 8901	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵)
3	2	eqabi 2897	. . 3 ⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
4		mapvalg 8831	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
5	3, 4	eqtr4id 2816	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴))
6	5	ancoms 463	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {cab 2740  ⟶wf 6532  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8822  Xcixp 8893

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8824  df-ixp 8894

This theorem is used by:  ixpconst  8903  mapsnf1o  8935  prdshom  17526  pwsbas  17546  frlmip  21939  pttoponconst  23765  xkoptsub  23822  xkopt  23823  tmdgsum2  24264  rrxip  25560  ovnlecvr2  47352  naryfvalixp  49437