Theorem ixpconstg 8844

Description: Infinite Cartesian product of a constant 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpconstg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpconstg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3444	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
2	1	elixpconst 8843	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵)
3	2	eqabi 2871	. . 3 ⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
4		mapvalg 8773	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
5	3, 4	eqtr4id 2790	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴))
6	5	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2714  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Xcixp 8835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8765  df-ixp 8836

This theorem is referenced by:  ixpconst  8845  mapsnf1o  8877  prdshom  17387  pwsbas  17407  frlmip  21733  pttoponconst  23541  xkoptsub  23598  xkopt  23599  tmdgsum2  24040  rrxip  25346  ovnlecvr2  46854  naryfvalixp  48875