Theorem ixpconstg 8854

Description: Infinite Cartesian product of a constant 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpconstg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpconstg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3433	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
2	1	elixpconst 8853	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵)
3	2	eqabi 2871	. . 3 ⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
4		mapvalg 8783	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
5	3, 4	eqtr4id 2790	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴))
6	5	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2714  ⟶wf 6494  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Xcixp 8845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-ixp 8846

This theorem is referenced by:  ixpconst  8855  mapsnf1o  8887  prdshom  17430  pwsbas  17450  frlmip  21758  pttoponconst  23562  xkoptsub  23619  xkopt  23620  tmdgsum2  24061  rrxip  25357  ovnlecvr2  47038  naryfvalixp  49105