MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscpwex Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sscpwex 17758
Description: An analogue of pwex 5377 for the subcategory subset relation: The collection of subcategory subsets of a given set 𝐽 is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
sscpwex {β„Ž ∣ β„Ž βŠ†cat 𝐽} ∈ V
Distinct variable group:   β„Ž,𝐽
Proof of Theorem sscpwex
Dummy variables 𝑠 𝑑 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7438 . 2 (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽) ∈ V
2 brssc 17757 . . . 4 (β„Ž βŠ†cat 𝐽 ↔ βˆƒπ‘‘(𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘‘β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯)))
3 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ 𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑))
4 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 𝑑 ∈ V
54, 4xpex 7736 . . . . . . . . . 10 (𝑑 Γ— 𝑑) ∈ V
6 fnex 7215 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑑 Γ— 𝑑) ∈ V) β†’ 𝐽 ∈ V)
73, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ 𝐽 ∈ V)
8 rnexg 7891 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ V β†’ ran 𝐽 ∈ V)
9 uniexg 7726 . . . . . . . . 9 (ran 𝐽 ∈ V β†’ βˆͺ ran 𝐽 ∈ V)
10 pwexg 5375 . . . . . . . . 9 (βˆͺ ran 𝐽 ∈ V β†’ 𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ∈ V)
117, 8, 9, 104syl 19 . . . . . . . 8 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ 𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ∈ V)
12 fndm 6649 . . . . . . . . . 10 (𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) β†’ dom 𝐽 = (𝑑 Γ— 𝑑))
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ dom 𝐽 = (𝑑 Γ— 𝑑))
1413, 5eqeltrdi 2841 . . . . . . . 8 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ dom 𝐽 ∈ V)
15 ss2ixp 8900 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯) βŠ† 𝒫 βˆͺ ran 𝐽 β†’ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯) βŠ† Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 βˆͺ ran 𝐽)
16 fvssunirn 6921 . . . . . . . . . . . . 13 (π½β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ ran 𝐽
1716sspwi 4613 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 (π½β€˜π‘₯) βŠ† 𝒫 βˆͺ ran 𝐽
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠) β†’ 𝒫 (π½β€˜π‘₯) βŠ† 𝒫 βˆͺ ran 𝐽)
1915, 18mprg 3067 . . . . . . . . . 10 Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯) βŠ† Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 βˆͺ ran 𝐽
20 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))
2119, 20sselid 3979 . . . . . . . . 9 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 βˆͺ ran 𝐽)
22 vex 3478 . . . . . . . . . 10 β„Ž ∈ V
2322elixpconst 8895 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↔ β„Ž:(𝑠 Γ— 𝑠)βŸΆπ’« βˆͺ ran 𝐽)
2421, 23sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ β„Ž:(𝑠 Γ— 𝑠)βŸΆπ’« βˆͺ ran 𝐽)
25 elpwi 4608 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 β†’ 𝑠 βŠ† 𝑑)
2625ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑑)
27 xpss12 5690 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑) β†’ (𝑠 Γ— 𝑠) βŠ† (𝑑 Γ— 𝑑))
2826, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ (𝑠 Γ— 𝑠) βŠ† (𝑑 Γ— 𝑑))
2928, 13sseqtrrd 4022 . . . . . . . 8 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ (𝑠 Γ— 𝑠) βŠ† dom 𝐽)
30 elpm2r 8835 . . . . . . . 8 (((𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ∈ V ∧ dom 𝐽 ∈ V) ∧ (β„Ž:(𝑠 Γ— 𝑠)βŸΆπ’« βˆͺ ran 𝐽 ∧ (𝑠 Γ— 𝑠) βŠ† dom 𝐽)) β†’ β„Ž ∈ (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽))
3111, 14, 24, 29, 30syl22anc 837 . . . . . . 7 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ β„Ž ∈ (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽))
3231rexlimdvaa 3156 . . . . . 6 (𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘‘β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯) β†’ β„Ž ∈ (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽)))
3332imp 407 . . . . 5 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘‘β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯)) β†’ β„Ž ∈ (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽))
3433exlimiv 1933 . . . 4 (βˆƒπ‘‘(𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘‘β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯)) β†’ β„Ž ∈ (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽))
352, 34sylbi 216 . . 3 (β„Ž βŠ†cat 𝐽 β†’ β„Ž ∈ (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽))
3635abssi 4066 . 2 {β„Ž ∣ β„Ž βŠ†cat 𝐽} βŠ† (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽)
371, 36ssexi 5321 1 {β„Ž ∣ β„Ž βŠ†cat 𝐽} ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑pm cpm 8817  Xcixp 8887   βŠ†cat cssc 17750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-ssc 17753
This theorem is referenced by:  issubc  17781
  Copyright terms: Public domain W3C validator