MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscpwex Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sscpwex 17762
Description: An analogue of pwex 5379 for the subcategory subset relation: The collection of subcategory subsets of a given set 𝐽 is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
sscpwex {β„Ž ∣ β„Ž βŠ†cat 𝐽} ∈ V
Distinct variable group:   β„Ž,𝐽
Proof of Theorem sscpwex
Dummy variables 𝑠 𝑑 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7442 . 2 (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽) ∈ V
2 brssc 17761 . . . 4 (β„Ž βŠ†cat 𝐽 ↔ βˆƒπ‘‘(𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘‘β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯)))
3 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ 𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑))
4 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑑 ∈ V
54, 4xpex 7740 . . . . . . . . . 10 (𝑑 Γ— 𝑑) ∈ V
6 fnex 7219 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑑 Γ— 𝑑) ∈ V) β†’ 𝐽 ∈ V)
73, 5, 6sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ 𝐽 ∈ V)
8 rnexg 7895 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ V β†’ ran 𝐽 ∈ V)
9 uniexg 7730 . . . . . . . . 9 (ran 𝐽 ∈ V β†’ βˆͺ ran 𝐽 ∈ V)
10 pwexg 5377 . . . . . . . . 9 (βˆͺ ran 𝐽 ∈ V β†’ 𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ∈ V)
117, 8, 9, 104syl 19 . . . . . . . 8 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ 𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ∈ V)
12 fndm 6653 . . . . . . . . . 10 (𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) β†’ dom 𝐽 = (𝑑 Γ— 𝑑))
1312adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ dom 𝐽 = (𝑑 Γ— 𝑑))
1413, 5eqeltrdi 2842 . . . . . . . 8 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ dom 𝐽 ∈ V)
15 ss2ixp 8904 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯) βŠ† 𝒫 βˆͺ ran 𝐽 β†’ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯) βŠ† Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 βˆͺ ran 𝐽)
16 fvssunirn 6925 . . . . . . . . . . . . 13 (π½β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ ran 𝐽
1716sspwi 4615 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 (π½β€˜π‘₯) βŠ† 𝒫 βˆͺ ran 𝐽
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠) β†’ 𝒫 (π½β€˜π‘₯) βŠ† 𝒫 βˆͺ ran 𝐽)
1915, 18mprg 3068 . . . . . . . . . 10 Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯) βŠ† Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 βˆͺ ran 𝐽
20 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))
2119, 20sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 βˆͺ ran 𝐽)
22 vex 3479 . . . . . . . . . 10 β„Ž ∈ V
2322elixpconst 8899 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↔ β„Ž:(𝑠 Γ— 𝑠)βŸΆπ’« βˆͺ ran 𝐽)
2421, 23sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ β„Ž:(𝑠 Γ— 𝑠)βŸΆπ’« βˆͺ ran 𝐽)
25 elpwi 4610 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 β†’ 𝑠 βŠ† 𝑑)
2625ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑑)
27 xpss12 5692 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑) β†’ (𝑠 Γ— 𝑠) βŠ† (𝑑 Γ— 𝑑))
2826, 26, 27syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ (𝑠 Γ— 𝑠) βŠ† (𝑑 Γ— 𝑑))
2928, 13sseqtrrd 4024 . . . . . . . 8 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ (𝑠 Γ— 𝑠) βŠ† dom 𝐽)
30 elpm2r 8839 . . . . . . . 8 (((𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ∈ V ∧ dom 𝐽 ∈ V) ∧ (β„Ž:(𝑠 Γ— 𝑠)βŸΆπ’« βˆͺ ran 𝐽 ∧ (𝑠 Γ— 𝑠) βŠ† dom 𝐽)) β†’ β„Ž ∈ (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽))
3111, 14, 24, 29, 30syl22anc 838 . . . . . . 7 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑑 ∧ β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯))) β†’ β„Ž ∈ (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽))
3231rexlimdvaa 3157 . . . . . 6 (𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘‘β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯) β†’ β„Ž ∈ (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽)))
3332imp 408 . . . . 5 ((𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘‘β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯)) β†’ β„Ž ∈ (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽))
3433exlimiv 1934 . . . 4 (βˆƒπ‘‘(𝐽 Fn (𝑑 Γ— 𝑑) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 π‘‘β„Ž ∈ Xπ‘₯ ∈ (𝑠 Γ— 𝑠)𝒫 (π½β€˜π‘₯)) β†’ β„Ž ∈ (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽))
352, 34sylbi 216 . . 3 (β„Ž βŠ†cat 𝐽 β†’ β„Ž ∈ (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽))
3635abssi 4068 . 2 {β„Ž ∣ β„Ž βŠ†cat 𝐽} βŠ† (𝒫 βˆͺ ran 𝐽 ↑pm dom 𝐽)
371, 36ssexi 5323 1 {β„Ž ∣ β„Ž βŠ†cat 𝐽} ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  Xcixp 8891   βŠ†cat cssc 17754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-ssc 17757
This theorem is referenced by:  issubc  17785
  Copyright terms: Public domain W3C validator