MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elixp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elixp 8944
Description: Membership in an infinite Cartesian product. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
elixp.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
elixp (𝐹X𝑥𝐴 𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem elixp
StepHypRef Expression
1 elixp2 8941 . 2 (𝐹X𝑥𝐴 𝐵 ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
2 elixp.1 . . 3 𝐹 ∈ V
3 3anass 1095 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)))
42, 3mpbiran 709 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
51, 4bitri 275 1 (𝐹X𝑥𝐴 𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480   Fn wfn 6556  cfv 6561  Xcixp 8937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-fv 6569  df-ixp 8938
This theorem is referenced by:  elixpconst  8945  ixpin  8963  ixpiin  8964  resixpfo  8976  elixpsn  8977  boxriin  8980  boxcutc  8981  ixpfi2  9390  ixpiunwdom  9630  dfac9  10177  ac9  10523  ac9s  10533  konigthlem  10608  cofucl  17933  yonedalem3  18325  psrbaglefi  21946  ptpjpre1  23579  ptpjcn  23619  ptpjopn  23620  ptclsg  23623  dfac14  23626  pthaus  23646  xkopt  23663  ptcmplem2  24061  ptcmplem3  24062  ptcmplem4  24063  prdsbl  24504  prdsxmslem2  24542  eulerpartlemb  34370  ptpconn  35238  finixpnum  37612  ptrest  37626  poimirlem29  37656  poimirlem30  37657  inixp  37735  prdstotbnd  37801  ioorrnopnlem  46319  hoicvr  46563  hoidmvlelem3  46612  hspdifhsp  46631  hspmbllem2  46642
  Copyright terms: Public domain W3C validator