MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elixp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elixp 8943
Description: Membership in an infinite Cartesian product. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
elixp.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
elixp (𝐹X𝑥𝐴 𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem elixp
StepHypRef Expression
1 elixp2 8940 . 2 (𝐹X𝑥𝐴 𝐵 ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
2 elixp.1 . . 3 𝐹 ∈ V
3 3anass 1094 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)))
42, 3mpbiran 709 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
51, 4bitri 275 1 (𝐹X𝑥𝐴 𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478   Fn wfn 6558  cfv 6563  Xcixp 8936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-fv 6571  df-ixp 8937
This theorem is referenced by:  elixpconst  8944  ixpin  8962  ixpiin  8963  resixpfo  8975  elixpsn  8976  boxriin  8979  boxcutc  8980  ixpfi2  9388  ixpiunwdom  9628  dfac9  10175  ac9  10521  ac9s  10531  konigthlem  10606  cofucl  17939  yonedalem3  18337  psrbaglefi  21964  ptpjpre1  23595  ptpjcn  23635  ptpjopn  23636  ptclsg  23639  dfac14  23642  pthaus  23662  xkopt  23679  ptcmplem2  24077  ptcmplem3  24078  ptcmplem4  24079  prdsbl  24520  prdsxmslem2  24558  eulerpartlemb  34350  ptpconn  35218  finixpnum  37592  ptrest  37606  poimirlem29  37636  poimirlem30  37637  inixp  37715  prdstotbnd  37781  ioorrnopnlem  46260  hoicvr  46504  hoidmvlelem3  46553  hspdifhsp  46572  hspmbllem2  46583
  Copyright terms: Public domain W3C validator