Theorem elixp 8877

Description: Membership in an infinite Cartesian product. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
elixp.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elixp	⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem elixp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elixp2 8874	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
2		elixp.1	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
3		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)))
4	2, 3	mpbiran 709	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
5	1, 4	bitri 275	1 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   Fn wfn 6506  ‘cfv 6511  Xcixp 8870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-fv 6519  df-ixp 8871

This theorem is referenced by:  elixpconst  8878  ixpin  8896  ixpiin  8897  resixpfo  8909  elixpsn  8910  boxriin  8913  boxcutc  8914  ixpfi2  9301  ixpiunwdom  9543  dfac9  10090  ac9  10436  ac9s  10446  konigthlem  10521  cofucl  17850  yonedalem3  18241  psrbaglefi  21835  ptpjpre1  23458  ptpjcn  23498  ptpjopn  23499  ptclsg  23502  dfac14  23505  pthaus  23525  xkopt  23542  ptcmplem2  23940  ptcmplem3  23941  ptcmplem4  23942  prdsbl  24379  prdsxmslem2  24417  eulerpartlemb  34359  ptpconn  35220  finixpnum  37599  ptrest  37613  poimirlem29  37643  poimirlem30  37644  inixp  37722  prdstotbnd  37788  ioorrnopnlem  46302  hoicvr  46546  hoidmvlelem3  46595  hspdifhsp  46614  hspmbllem2  46625