MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglefi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbaglefi 21826
Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglefi (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)
Proof of Theorem psrbaglefi
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3427 . . 3 {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)}
2 psrbag.d . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
32psrbagf 21812 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
43a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
54adantrd 491 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
6 ss2ixp 8906 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
7 fz0ssnn0 13602 . . . . . . . . . 10 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0)
96, 8mprg 3061 . . . . . . . 8 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0
109sseli 3973 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
11 vex 3472 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1211elixpconst 8901 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0 ↔ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1310, 12sylib 217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1413a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
15 ffn 6711 . . . . . . . . 9 (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1615adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1711elixp 8900 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
1817baib 535 . . . . . . . 8 (𝑦 Fn 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
1916, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
20 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2120adantll 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
22 nn0uz 12868 . . . . . . . . . . 11 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2321, 22eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
242psrbagf 21812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2625ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2726nn0zd 12588 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
28 elfz5 13499 . . . . . . . . . 10 (((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
2923, 27, 28syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3029ralbidva 3169 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3124ffnd 6712 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
3231adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
3311a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝑦 ∈ V)
34 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
35 inidm 4213 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
36 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) = (π‘¦β€˜π‘₯))
37 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3816, 32, 33, 34, 35, 36, 37ofrfvalg 7675 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3930, 38bitr4d 282 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹))
402psrbaglecl 21820 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
41403expia 1118 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))
4241pm4.71rd 562 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)))
4319, 39, 423bitrrd 306 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4443ex 412 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))))
455, 14, 44pm5.21ndd 379 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4645eqabcdv 2862 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
471, 46eqtrid 2778 . 2 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
48 cnveq 5867 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
4948imaeq1d 6052 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (◑𝐹 β€œ β„•))
5049eleq1d 2812 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5150, 2elrab2 3681 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5251simprbi 496 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)
53 fzfid 13944 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
54 fcdmnn0suppg 12534 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
5524, 54mpdan 684 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
56 eqimss 4035 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
5755, 56syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
58 id 22 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
59 c0ex 11212 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 0 ∈ V)
6124, 57, 58, 60suppssrg 8182 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
6261oveq2d 7421 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = (0...0))
63 fz0sn 13607 . . . . 5 (0...0) = {0}
6462, 63eqtrdi 2782 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0})
65 eqimss 4035 . . . 4 ((0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0} β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
6664, 65syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
6752, 53, 66ixpfi2 9352 . 2 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
6847, 67eqeltrd 2827 1 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘r cofr 7666   supp csupp 8146   ↑m cmap 8822  Xcixp 8893  Fincfn 8941  0cc0 11112   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  21836  psrass1lem  21837  psrmulcllem  21848  psrass1  21867  psrdi  21868  psrdir  21869  psrass23l  21870  psrcom  21871  psrass23  21872  resspsrmul  21879  mplsubrglem  21905  mplmonmul  21933  psropprmul  22111  rhmmpllem1  41683  rhmmpllem2  41684
  Copyright terms: Public domain W3C validator