Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglefi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbaglefi 20694
 Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglefi (𝐹𝐷 → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbaglefi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3079 . . 3 {𝑦𝐷𝑦r𝐹} = {𝑦 ∣ (𝑦𝐷𝑦r𝐹)}
2 psrbag.d . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
32psrbagf 20680 . . . . . . 7 (𝑦𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0)
43a1i 11 . . . . . 6 (𝐹𝐷 → (𝑦𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0))
54adantrd 495 . . . . 5 (𝐹𝐷 → ((𝑦𝐷𝑦r𝐹) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0))
6 ss2ixp 8492 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ X𝑥𝐼0)
7 fz0ssnn0 13051 . . . . . . . . . 10 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0)
96, 8mprg 3084 . . . . . . . 8 X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ X𝑥𝐼0
109sseli 3888 . . . . . . 7 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦X𝑥𝐼0)
11 vex 3413 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1211elixpconst 8487 . . . . . . 7 (𝑦X𝑥𝐼0𝑦:𝐼⟶ℕ0)
1310, 12sylib 221 . . . . . 6 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
1413a1i 11 . . . . 5 (𝐹𝐷 → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0))
15 ffn 6498 . . . . . . . . 9 (𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑦 Fn 𝐼)
1615adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝑦 Fn 𝐼)
1711elixp 8486 . . . . . . . . 9 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
1817baib 539 . . . . . . . 8 (𝑦 Fn 𝐼 → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
1916, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
20 ffvelrn 6840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ ℕ0)
2120adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ ℕ0)
22 nn0uz 12320 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
2321, 22eleqtrdi 2862 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (ℤ‘0))
242psrbagf 20680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐷𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2524adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2625ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℕ0)
2726nn0zd 12124 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
28 elfz5 12948 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑥) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℤ) → ((𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
2923, 27, 28syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3029ralbidva 3125 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3124ffnd 6499 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐷𝐹 Fn 𝐼)
3231adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹 Fn 𝐼)
3311a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝑦 ∈ V)
34 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹𝐷)
35 inidm 4123 . . . . . . . . 9 (𝐼𝐼) = 𝐼
36 eqidd 2759 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) = (𝑦𝑥))
37 eqidd 2759 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
3816, 32, 33, 34, 35, 36, 37ofrfvalg 7412 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦r𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3930, 38bitr4d 285 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ 𝑦r𝐹))
402psrbaglecl 20688 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑦r𝐹) → 𝑦𝐷)
41403expia 1118 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦r𝐹𝑦𝐷))
4241pm4.71rd 566 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦r𝐹 ↔ (𝑦𝐷𝑦r𝐹)))
4319, 39, 423bitrrd 309 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦𝐷𝑦r𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥))))
4443ex 416 . . . . 5 (𝐹𝐷 → (𝑦:𝐼⟶ℕ0 → ((𝑦𝐷𝑦r𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))))
455, 14, 44pm5.21ndd 384 . . . 4 (𝐹𝐷 → ((𝑦𝐷𝑦r𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥))))
4645abbi1dv 2890 . . 3 (𝐹𝐷 → {𝑦 ∣ (𝑦𝐷𝑦r𝐹)} = X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))
471, 46syl5eq 2805 . 2 (𝐹𝐷 → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} = X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))
48 cnveq 5713 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
4948imaeq1d 5900 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 “ ℕ) = (𝐹 “ ℕ))
5049eleq1d 2836 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
5150, 2elrab2 3605 . . . 4 (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
5251simprbi 500 . . 3 (𝐹𝐷 → (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
53 fzfid 13390 . . 3 ((𝐹𝐷𝑥𝐼) → (0...(𝐹𝑥)) ∈ Fin)
54 frnnn0suppg 11992 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
5524, 54mpdan 686 . . . . . . . 8 (𝐹𝐷 → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
56 eqimss 3948 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
5755, 56syl 17 . . . . . . 7 (𝐹𝐷 → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
58 id 22 . . . . . . 7 (𝐹𝐷𝐹𝐷)
59 c0ex 10673 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹𝐷 → 0 ∈ V)
6124, 57, 58, 60suppssrg 7871 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐹𝑥) = 0)
6261oveq2d 7166 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) = (0...0))
63 fz0sn 13056 . . . . 5 (0...0) = {0}
6462, 63eqtrdi 2809 . . . 4 ((𝐹𝐷𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) = {0})
65 eqimss 3948 . . . 4 ((0...(𝐹𝑥)) = {0} → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ {0})
6664, 65syl 17 . . 3 ((𝐹𝐷𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ {0})
6752, 53, 66ixpfi2 8855 . 2 (𝐹𝐷X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ∈ Fin)
6847, 67eqeltrd 2852 1 (𝐹𝐷 → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735  ∀wral 3070  {crab 3074  Vcvv 3409   ∖ cdif 3855   ⊆ wss 3858  {csn 4522   class class class wbr 5032  ◡ccnv 5523   “ cima 5527   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘r cofr 7404   supp csupp 7835   ↑m cmap 8416  Xcixp 8479  Fincfn 8527  0cc0 10575   ≤ cle 10714  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934  ℤcz 12020  ℤ≥cuz 12282  ...cfz 12939 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-ofr 7406  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940 This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  20704  psrass1lem  20705  psrmulcllem  20715  psrass1  20733  psrdi  20734  psrdir  20735  psrass23l  20736  psrcom  20737  psrass23  20738  resspsrmul  20745  mplsubrglem  20769  mplmonmul  20796  psropprmul  20962
 Copyright terms: Public domain W3C validator