MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglefi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbaglefi 19587
Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglefi ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbaglefi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3070 . . 3 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹} = {𝑦 ∣ (𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹)}
2 psrbag.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
32psrbag 19579 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → (𝑦𝐷 ↔ (𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin)))
43adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑦𝐷 ↔ (𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin)))
5 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
64, 5syl6bi 243 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑦𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0))
76adantrd 479 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → ((𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0))
8 ss2ixp 8075 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ X𝑥𝐼0)
9 fz0ssnn0 12642 . . . . . . . . . 10 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0)
118, 10mprg 3075 . . . . . . . 8 X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ X𝑥𝐼0
1211sseli 3748 . . . . . . 7 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦X𝑥𝐼0)
13 vex 3354 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1413elixpconst 8070 . . . . . . 7 (𝑦X𝑥𝐼0𝑦:𝐼⟶ℕ0)
1512, 14sylib 208 . . . . . 6 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0))
17 ffn 6185 . . . . . . . . 9 (𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑦 Fn 𝐼)
1817adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝑦 Fn 𝐼)
1913elixp 8069 . . . . . . . . 9 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
2019baib 525 . . . . . . . 8 (𝑦 Fn 𝐼 → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
22 ffvelrn 6500 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ ℕ0)
2322adantll 693 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ ℕ0)
24 nn0uz 11924 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
2523, 24syl6eleq 2860 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (ℤ‘0))
262psrbagf 19580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2726adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2827ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℕ0)
2928nn0zd 11682 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
30 elfz5 12541 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑥) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℤ) → ((𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3125, 29, 30syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3231ralbidva 3134 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3327ffnd 6186 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹 Fn 𝐼)
34 simpll 750 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐼𝑉)
35 inidm 3971 . . . . . . . . 9 (𝐼𝐼) = 𝐼
36 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) = (𝑦𝑥))
37 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
3818, 33, 34, 34, 35, 36, 37ofrfval 7052 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3932, 38bitr4d 271 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ 𝑦𝑟𝐹))
402psrbaglecl 19584 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑦𝑟𝐹)) → 𝑦𝐷)
41403exp2 1447 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 → (𝑦:𝐼⟶ℕ0 → (𝑦𝑟𝐹𝑦𝐷))))
4241imp31 404 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦𝑟𝐹𝑦𝐷))
4342pm4.71rd 552 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦𝑟𝐹 ↔ (𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹)))
4421, 39, 433bitrrd 295 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥))))
4544ex 397 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑦:𝐼⟶ℕ0 → ((𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))))
467, 16, 45pm5.21ndd 368 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → ((𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥))))
4746abbi1dv 2892 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → {𝑦 ∣ (𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹)} = X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))
481, 47syl5eq 2817 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹} = X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))
49 simpr 471 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 𝐹𝐷)
50 cnveq 5434 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
5150imaeq1d 5606 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 “ ℕ) = (𝐹 “ ℕ))
5251eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
5352, 2elrab2 3518 . . . . 5 (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
5449, 53sylib 208 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
5554simprd 483 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
56 fzfid 12980 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (0...(𝐹𝑥)) ∈ Fin)
57 simpl 468 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 𝐼𝑉)
5857, 26jca 501 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0))
59 frnnn0supp 11551 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
60 eqimss 3806 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
62 c0ex 10236 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 0 ∈ V)
6426, 61, 57, 63suppssr 7478 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐹𝑥) = 0)
6564oveq2d 6809 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) = (0...0))
66 fz0sn 12647 . . . . 5 (0...0) = {0}
6765, 66syl6eq 2821 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) = {0})
68 eqimss 3806 . . . 4 ((0...(𝐹𝑥)) = {0} → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ {0})
6967, 68syl 17 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ {0})
7055, 56, 69ixpfi2 8420 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ∈ Fin)
7148, 70eqeltrd 2850 1 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {cab 2757  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  cdif 3720  wss 3723  {csn 4316   class class class wbr 4786  ccnv 5248  cima 5252   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑟 cofr 7043   supp csupp 7446  𝑚 cmap 8009  Xcixp 8062  Fincfn 8109  0cc0 10138  cle 10277  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  19591  psrass1lem  19592  psrmulcllem  19602  psrass1  19620  psrdi  19621  psrdir  19622  psrass23l  19623  psrcom  19624  psrass23  19625  resspsrmul  19632  mplsubrglem  19654  mplmonmul  19679  psropprmul  19823
  Copyright terms: Public domain W3C validator