MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglefi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbaglefi 21476
Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglefi (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)
Proof of Theorem psrbaglefi
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3433 . . 3 {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)}
2 psrbag.d . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
32psrbagf 21462 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
43a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
54adantrd 492 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
6 ss2ixp 8900 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
7 fz0ssnn0 13592 . . . . . . . . . 10 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0)
96, 8mprg 3067 . . . . . . . 8 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0
109sseli 3977 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
11 vex 3478 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1211elixpconst 8895 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0 ↔ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1310, 12sylib 217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1413a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
15 ffn 6714 . . . . . . . . 9 (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1615adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1711elixp 8894 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
1817baib 536 . . . . . . . 8 (𝑦 Fn 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
1916, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
20 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2120adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
22 nn0uz 12860 . . . . . . . . . . 11 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2321, 22eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
242psrbagf 21462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2625ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2726nn0zd 12580 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
28 elfz5 13489 . . . . . . . . . 10 (((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
2923, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3029ralbidva 3175 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3124ffnd 6715 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
3311a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝑦 ∈ V)
34 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
35 inidm 4217 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
36 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) = (π‘¦β€˜π‘₯))
37 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3816, 32, 33, 34, 35, 36, 37ofrfvalg 7674 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3930, 38bitr4d 281 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹))
402psrbaglecl 21470 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
41403expia 1121 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))
4241pm4.71rd 563 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)))
4319, 39, 423bitrrd 305 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4443ex 413 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))))
455, 14, 44pm5.21ndd 380 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4645eqabcdv 2868 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
471, 46eqtrid 2784 . 2 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
48 cnveq 5871 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
4948imaeq1d 6056 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (◑𝐹 β€œ β„•))
5049eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5150, 2elrab2 3685 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5251simprbi 497 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)
53 fzfid 13934 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
54 fcdmnn0suppg 12526 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
5524, 54mpdan 685 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
56 eqimss 4039 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
5755, 56syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
58 id 22 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
59 c0ex 11204 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 0 ∈ V)
6124, 57, 58, 60suppssrg 8178 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
6261oveq2d 7421 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = (0...0))
63 fz0sn 13597 . . . . 5 (0...0) = {0}
6462, 63eqtrdi 2788 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0})
65 eqimss 4039 . . . 4 ((0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0} β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
6664, 65syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
6752, 53, 66ixpfi2 9346 . 2 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
6847, 67eqeltrd 2833 1 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘r cofr 7665   supp csupp 8142   ↑m cmap 8816  Xcixp 8887  Fincfn 8935  0cc0 11106   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  21486  psrass1lem  21487  psrmulcllem  21497  psrass1  21516  psrdi  21517  psrdir  21518  psrass23l  21519  psrcom  21520  psrass23  21521  resspsrmul  21528  mplsubrglem  21554  mplmonmul  21582  psropprmul  21751  rhmmpllem1  41118  rhmmpllem2  41119
  Copyright terms: Public domain W3C validator