MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglefi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbaglefi 21334
Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglefi (𝐹𝐷 → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbaglefi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3408 . . 3 {𝑦𝐷𝑦r𝐹} = {𝑦 ∣ (𝑦𝐷𝑦r𝐹)}
2 psrbag.d . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
32psrbagf 21320 . . . . . . 7 (𝑦𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0)
43a1i 11 . . . . . 6 (𝐹𝐷 → (𝑦𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0))
54adantrd 492 . . . . 5 (𝐹𝐷 → ((𝑦𝐷𝑦r𝐹) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0))
6 ss2ixp 8848 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ X𝑥𝐼0)
7 fz0ssnn0 13536 . . . . . . . . . 10 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0)
96, 8mprg 3070 . . . . . . . 8 X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ X𝑥𝐼0
109sseli 3940 . . . . . . 7 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦X𝑥𝐼0)
11 vex 3449 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1211elixpconst 8843 . . . . . . 7 (𝑦X𝑥𝐼0𝑦:𝐼⟶ℕ0)
1310, 12sylib 217 . . . . . 6 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
1413a1i 11 . . . . 5 (𝐹𝐷 → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0))
15 ffn 6668 . . . . . . . . 9 (𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑦 Fn 𝐼)
1615adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝑦 Fn 𝐼)
1711elixp 8842 . . . . . . . . 9 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
1817baib 536 . . . . . . . 8 (𝑦 Fn 𝐼 → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
1916, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
20 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ ℕ0)
2120adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ ℕ0)
22 nn0uz 12805 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
2321, 22eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (ℤ‘0))
242psrbagf 21320 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐷𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2625ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℕ0)
2726nn0zd 12525 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
28 elfz5 13433 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑥) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℤ) → ((𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
2923, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3029ralbidva 3172 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3124ffnd 6669 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐷𝐹 Fn 𝐼)
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹 Fn 𝐼)
3311a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝑦 ∈ V)
34 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹𝐷)
35 inidm 4178 . . . . . . . . 9 (𝐼𝐼) = 𝐼
36 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) = (𝑦𝑥))
37 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
3816, 32, 33, 34, 35, 36, 37ofrfvalg 7625 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦r𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3930, 38bitr4d 281 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ 𝑦r𝐹))
402psrbaglecl 21328 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑦r𝐹) → 𝑦𝐷)
41403expia 1121 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦r𝐹𝑦𝐷))
4241pm4.71rd 563 . . . . . . 7 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦r𝐹 ↔ (𝑦𝐷𝑦r𝐹)))
4319, 39, 423bitrrd 305 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦𝐷𝑦r𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥))))
4443ex 413 . . . . 5 (𝐹𝐷 → (𝑦:𝐼⟶ℕ0 → ((𝑦𝐷𝑦r𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))))
455, 14, 44pm5.21ndd 380 . . . 4 (𝐹𝐷 → ((𝑦𝐷𝑦r𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥))))
4645abbi1dv 2872 . . 3 (𝐹𝐷 → {𝑦 ∣ (𝑦𝐷𝑦r𝐹)} = X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))
471, 46eqtrid 2788 . 2 (𝐹𝐷 → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} = X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))
48 cnveq 5829 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
4948imaeq1d 6012 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 “ ℕ) = (𝐹 “ ℕ))
5049eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
5150, 2elrab2 3648 . . . 4 (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
5251simprbi 497 . . 3 (𝐹𝐷 → (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
53 fzfid 13878 . . 3 ((𝐹𝐷𝑥𝐼) → (0...(𝐹𝑥)) ∈ Fin)
54 fcdmnn0suppg 12471 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐷𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
5524, 54mpdan 685 . . . . . . . 8 (𝐹𝐷 → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
56 eqimss 4000 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
5755, 56syl 17 . . . . . . 7 (𝐹𝐷 → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
58 id 22 . . . . . . 7 (𝐹𝐷𝐹𝐷)
59 c0ex 11149 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹𝐷 → 0 ∈ V)
6124, 57, 58, 60suppssrg 8128 . . . . . 6 ((𝐹𝐷𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐹𝑥) = 0)
6261oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝐹𝐷𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) = (0...0))
63 fz0sn 13541 . . . . 5 (0...0) = {0}
6462, 63eqtrdi 2792 . . . 4 ((𝐹𝐷𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) = {0})
65 eqimss 4000 . . . 4 ((0...(𝐹𝑥)) = {0} → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ {0})
6664, 65syl 17 . . 3 ((𝐹𝐷𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ {0})
6752, 53, 66ixpfi2 9294 . 2 (𝐹𝐷X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ∈ Fin)
6847, 67eqeltrd 2838 1 (𝐹𝐷 → {𝑦𝐷𝑦r𝐹} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  ccnv 5632  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  r cofr 7616   supp csupp 8092  m cmap 8765  Xcixp 8835  Fincfn 8883  0cc0 11051  cle 11190  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  21344  psrass1lem  21345  psrmulcllem  21355  psrass1  21374  psrdi  21375  psrdir  21376  psrass23l  21377  psrcom  21378  psrass23  21379  resspsrmul  21386  mplsubrglem  21410  mplmonmul  21437  psropprmul  21609  rhmmpllem1  40725  rhmmpllem2  40726
  Copyright terms: Public domain W3C validator