MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglefi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbaglefi 21350
Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglefi (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbaglefi
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3407 . . 3 {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)}
2 psrbag.d . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
32psrbagf 21336 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
43a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
54adantrd 493 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
6 ss2ixp 8851 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
7 fz0ssnn0 13542 . . . . . . . . . 10 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0)
96, 8mprg 3067 . . . . . . . 8 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0
109sseli 3941 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
11 vex 3448 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1211elixpconst 8846 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0 ↔ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1310, 12sylib 217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1413a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
15 ffn 6669 . . . . . . . . 9 (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1615adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1711elixp 8845 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
1817baib 537 . . . . . . . 8 (𝑦 Fn 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
1916, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
20 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2120adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
22 nn0uz 12810 . . . . . . . . . . 11 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2321, 22eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
242psrbagf 21336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2625ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2726nn0zd 12530 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
28 elfz5 13439 . . . . . . . . . 10 (((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
2923, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3029ralbidva 3169 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3124ffnd 6670 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
3231adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
3311a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝑦 ∈ V)
34 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
35 inidm 4179 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
36 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) = (π‘¦β€˜π‘₯))
37 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3816, 32, 33, 34, 35, 36, 37ofrfvalg 7626 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3930, 38bitr4d 282 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹))
402psrbaglecl 21344 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
41403expia 1122 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))
4241pm4.71rd 564 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)))
4319, 39, 423bitrrd 306 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4443ex 414 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))))
455, 14, 44pm5.21ndd 381 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4645abbi1dv 2869 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
471, 46eqtrid 2785 . 2 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
48 cnveq 5830 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
4948imaeq1d 6013 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (◑𝐹 β€œ β„•))
5049eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5150, 2elrab2 3649 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5251simprbi 498 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)
53 fzfid 13884 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
54 fcdmnn0suppg 12476 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
5524, 54mpdan 686 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
56 eqimss 4001 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
5755, 56syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
58 id 22 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
59 c0ex 11154 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 0 ∈ V)
6124, 57, 58, 60suppssrg 8129 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
6261oveq2d 7374 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = (0...0))
63 fz0sn 13547 . . . . 5 (0...0) = {0}
6462, 63eqtrdi 2789 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0})
65 eqimss 4001 . . . 4 ((0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0} β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
6664, 65syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
6752, 53, 66ixpfi2 9297 . 2 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
6847, 67eqeltrd 2834 1 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘r cofr 7617   supp csupp 8093   ↑m cmap 8768  Xcixp 8838  Fincfn 8886  0cc0 11056   ≀ cle 11195  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  21360  psrass1lem  21361  psrmulcllem  21371  psrass1  21390  psrdi  21391  psrdir  21392  psrass23l  21393  psrcom  21394  psrass23  21395  resspsrmul  21402  mplsubrglem  21426  mplmonmul  21453  psropprmul  21625  rhmmpllem1  40780  rhmmpllem2  40781
  Copyright terms: Public domain W3C validator