MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglefi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbaglefi 21867
Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglefi (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑦,𝐷   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)
Proof of Theorem psrbaglefi
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3420 . . 3 {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)}
2 psrbag.d . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
32psrbagf 21853 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
43a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
54adantrd 490 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
6 ss2ixp 8925 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
7 fz0ssnn0 13626 . . . . . . . . . 10 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•0)
96, 8mprg 3057 . . . . . . . 8 Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0
109sseli 3968 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0)
11 vex 3467 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1211elixpconst 8920 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 β„•0 ↔ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1310, 12sylib 217 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
1413a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0))
15 ffn 6716 . . . . . . . . 9 (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1615adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
1711elixp 8919 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
1817baib 534 . . . . . . . 8 (𝑦 Fn 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
1916, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
20 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2120adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
22 nn0uz 12892 . . . . . . . . . . 11 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2321, 22eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
242psrbagf 21853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2524adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
2625ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2726nn0zd 12612 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
28 elfz5 13523 . . . . . . . . . 10 (((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
2923, 27, 28syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3029ralbidva 3166 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3124ffnd 6717 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
3231adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
3311a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝑦 ∈ V)
34 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
35 inidm 4213 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
36 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) = (π‘¦β€˜π‘₯))
37 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3816, 32, 33, 34, 35, 36, 37ofrfvalg 7689 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3930, 38bitr4d 281 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹))
402psrbaglecl 21861 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
41403expia 1118 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))
4241pm4.71rd 561 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑦 ∘r ≀ 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)))
4319, 39, 423bitrrd 305 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4443ex 411 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝑦:πΌβŸΆβ„•0 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))))
455, 14, 44pm5.21ndd 378 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹) ↔ 𝑦 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯))))
4645eqabcdv 2860 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹)} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
471, 46eqtrid 2777 . 2 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)))
48 cnveq 5870 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
4948imaeq1d 6057 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (◑𝐹 β€œ β„•))
5049eleq1d 2810 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5150, 2elrab2 3678 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∧ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
5251simprbi 495 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin)
53 fzfid 13968 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
54 fcdmnn0suppg 12558 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
5524, 54mpdan 685 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
56 eqimss 4031 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
5755, 56syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
58 id 22 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
59 c0ex 11236 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 0 ∈ V)
6124, 57, 58, 60suppssrg 8198 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
6261oveq2d 7431 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = (0...0))
63 fz0sn 13631 . . . . 5 (0...0) = {0}
6462, 63eqtrdi 2781 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0})
65 eqimss 4031 . . . 4 ((0...(πΉβ€˜π‘₯)) = {0} β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
6664, 65syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (0...(πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† {0})
6752, 53, 66ixpfi2 9372 . 2 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (0...(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
6847, 67eqeltrd 2825 1 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ 𝐹} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  {csn 4624   class class class wbr 5143  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∘r cofr 7680   supp csupp 8161   ↑m cmap 8841  Xcixp 8912  Fincfn 8960  0cc0 11136   ≀ cle 11277  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  β„€cz 12586  β„€β‰₯cuz 12850  ...cfz 13514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  21878  psrass1lem  21879  rhmpsrlem1  21887  rhmpsrlem2  21888  psrass1  21911  psrdi  21912  psrdir  21913  psrass23l  21914  psrcom  21915  psrass23  21916  resspsrmul  21923  mplsubrglem  21951  mplmonmul  21979  psdmul  22096  psropprmul  22163
  Copyright terms: Public domain W3C validator