Theorem elmptrab2 24060

Description: Membership in a one-parameter class of sets, indexed by arbitrary base sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.) (Revised by AV, 26-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmptrab2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑})
elmptrab2.s1	⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝜑 ↔ 𝜓))
elmptrab2.s2	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = 𝐶)
elmptrab2.ex	⊢ 𝐵 ∈ V
elmptrab2.rc	⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmptrab2	⊢ (𝑌 ∈ (𝐹‘𝑋) ↔ (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜓   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem elmptrab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmptrab2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑})
2		elmptrab2.s1	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		elmptrab2.s2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = 𝐶)
4		elmptrab2.ex	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V → 𝐵 ∈ V)
6	1, 2, 3, 5	elmptrab 24059	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐹‘𝑋) ↔ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
7		3simpc 1168	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
8		elmptrab2.rc	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ 𝑊)
9	8	elexd 3476	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ V)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → 𝑋 ∈ V)
11		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → 𝑌 ∈ 𝐶)
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → 𝜓)
13	10, 11, 12	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
14	7, 13	impbii 212	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) ↔ (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
15	6, 14	bitri 278	1 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐹‘𝑋) ↔ (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545

This theorem is used by:  isfil  24079  isufil  24135