Theorem elmptrab2 23332

Description: Membership in a one-parameter class of sets, indexed by arbitrary base sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.) (Revised by AV, 26-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmptrab2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑})
elmptrab2.s1	⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝜑 ↔ 𝜓))
elmptrab2.s2	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = 𝐶)
elmptrab2.ex	⊢ 𝐵 ∈ V
elmptrab2.rc	⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmptrab2	⊢ (𝑌 ∈ (𝐹‘𝑋) ↔ (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜓   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elmptrab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmptrab2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑})
2		elmptrab2.s1	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		elmptrab2.s2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = 𝐶)
4		elmptrab2.ex	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V → 𝐵 ∈ V)
6	1, 2, 3, 5	elmptrab 23331	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐹‘𝑋) ↔ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
7		3simpc 1151	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
8		elmptrab2.rc	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ 𝑊)
9	8	elexd 3495	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ V)
10	9	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → 𝑋 ∈ V)
11		simpl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → 𝑌 ∈ 𝐶)
12		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → 𝜓)
13	10, 11, 12	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
14	7, 13	impbii 208	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) ↔ (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
15	6, 14	bitri 275	1 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐹‘𝑋) ↔ (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  isfil  23351  isufil  23407