Theorem elmptrab2 23771

Description: Membership in a one-parameter class of sets, indexed by arbitrary base sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.) (Revised by AV, 26-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmptrab2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑})
elmptrab2.s1	⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝜑 ↔ 𝜓))
elmptrab2.s2	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = 𝐶)
elmptrab2.ex	⊢ 𝐵 ∈ V
elmptrab2.rc	⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmptrab2	⊢ (𝑌 ∈ (𝐹‘𝑋) ↔ (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜓   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elmptrab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmptrab2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑})
2		elmptrab2.s1	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		elmptrab2.s2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = 𝐶)
4		elmptrab2.ex	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V → 𝐵 ∈ V)
6	1, 2, 3, 5	elmptrab 23770	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐹‘𝑋) ↔ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
7		3simpc 1150	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
8		elmptrab2.rc	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ 𝑊)
9	8	elexd 3488	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ V)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → 𝑋 ∈ V)
11		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → 𝑌 ∈ 𝐶)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → 𝜓)
13	10, 11, 12	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
14	7, 13	impbii 209	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) ↔ (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
15	6, 14	bitri 275	1 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐹‘𝑋) ↔ (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420  Vcvv 3464   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fv 6544

This theorem is referenced by:  isfil  23790  isufil  23846