Theorem isfil 23803

Description: The predicate "is a filter." (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfil	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋

Proof of Theorem isfil

Dummy variables 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fil 23802	. 2 ⊢ Fil = (𝑧 ∈ V ↦ {𝑓 ∈ (fBas‘𝑧) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑧((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓)})
2		pweq 4570	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝑋)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝑋)
4		ineq1 4167	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥))
5	4	neeq1d 2992	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅))
6		eleq2 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑓 ↔ 𝑥 ∈ 𝐹))
7	5, 6	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
9	3, 8	raleqbidv 3318	. 2 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑧((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
10		fveq2 6842	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (fBas‘𝑧) = (fBas‘𝑋))
11		fvex 6855	. 2 ⊢ (fBas‘𝑧) ∈ V
12		elfvdm 6876	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
13	1, 9, 10, 11, 12	elmptrab2 23784	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  fBascfbas 21309  Filcfil 23801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-fil 23802

This theorem is referenced by:  filfbas  23804  filss  23809  isfil2  23812  ustfilxp  24169