Theorem isfil 23710

Description: The predicate "is a filter." (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfil	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋

Proof of Theorem isfil

Dummy variables 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fil 23709	. 2 ⊢ Fil = (𝑧 ∈ V ↦ {𝑓 ∈ (fBas‘𝑧) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑧((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓)})
2		pweq 4573	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝑋)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝑋)
4		ineq1 4172	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥))
5	4	neeq1d 2984	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅))
6		eleq2 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑓 ↔ 𝑥 ∈ 𝐹))
7	5, 6	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
9	3, 8	raleqbidv 3316	. 2 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑧((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
10		fveq2 6840	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (fBas‘𝑧) = (fBas‘𝑋))
11		fvex 6853	. 2 ⊢ (fBas‘𝑧) ∈ V
12		elfvdm 6877	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
13	1, 9, 10, 11, 12	elmptrab2 23691	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∩ cin 3910  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  fBascfbas 21228  Filcfil 23708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-fil 23709

This theorem is referenced by:  filfbas  23711  filss  23716  isfil2  23719  ustfilxp  24076