Theorem isfil 24175

Description: The predicate "is a filter." (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfil	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋

Proof of Theorem isfil

Dummy variables 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fil 24174	. 2 ⊢ Fil = (𝑧 ∈ V ↦ {𝑓 ∈ (fBas‘𝑧) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑧((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓)})
2		pweq 4570	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝑋)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝑋)
4		ineq1 4109	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥))
5	4	neeq1d 3014	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅))
6		eleq2 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑓 ↔ 𝑥 ∈ 𝐹))
7	5, 6	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
8	7	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
9	3, 8	raleqbidv 3334	. 2 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑧((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
10		fveq2 6890	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (fBas‘𝑧) = (fBas‘𝑋))
11		fvex 6903	. 2 ⊢ (fBas‘𝑧) ∈ V
12		elfvdm 6924	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
13	1, 9, 10, 11, 12	elmptrab2 24156	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556  dom cdm 5651  ‘cfv 6543  fBascfbas 21675  Filcfil 24173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-fil 24174

This theorem is used by:  filfbas  24176  filss  24181  isfil2  24184  ustfilxp  24541