Theorem isfil 24159

Description: The predicate "is a filter." (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfil	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋

Proof of Theorem isfil

Dummy variables 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fil 24158	. 2 ⊢ Fil = (𝑧 ∈ V ↦ {𝑓 ∈ (fBas‘𝑧) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑧((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓)})
2		pweq 4571	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝑋)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝑋)
4		ineq1 4159	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥))
5	4	neeq1d 3015	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅))
6		eleq2 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑓 ↔ 𝑥 ∈ 𝐹))
7	5, 6	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
8	7	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
9	3, 8	raleqbidv 3335	. 2 ⊢ ((𝑧 = 𝑋 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑧((𝑓 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
10		fveq2 6883	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (fBas‘𝑧) = (fBas‘𝑋))
11		fvex 6896	. 2 ⊢ (fBas‘𝑧) ∈ V
12		elfvdm 6917	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
13	1, 9, 10, 11, 12	elmptrab2 24140	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  dom cdm 5651  ‘cfv 6537  fBascfbas 21659  Filcfil 24157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-fil 24158

This theorem is used by:  filfbas  24160  filss  24165  isfil2  24168  ustfilxp  24525