MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfbas 23553
Description: The predicate "𝐹 is a filter base." Note that some authors require filter bases to be closed under pairwise intersections, but that is not necessary under our definition. One advantage of this definition is that tails in a directed set form a filter base under our meaning. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfbas (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isfbas
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fbas 21141 . . . 4 fBas = (𝑧 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝒫 𝒫 𝑧 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑤 ∧ ∀𝑥𝑤𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)})
2 neeq1 3003 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐹 → (𝑤 ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ ∅))
3 neleq2 3053 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐹 → (∅ ∉ 𝑤 ↔ ∅ ∉ 𝐹))
4 ineq1 4205 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝐹 → (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) = (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
54neeq1d 3000 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐹 → ((𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))
65raleqbi1dv 3333 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐹 → (∀𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))
76raleqbi1dv 3333 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐹 → (∀𝑥𝑤𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))
82, 3, 73anbi123d 1436 . . . . 5 (𝑤 = 𝐹 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑤 ∧ ∀𝑥𝑤𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
98adantl 482 . . . 4 ((𝑧 = 𝐵𝑤 = 𝐹) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑤 ∧ ∀𝑥𝑤𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
10 pweq 4616 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝐵)
1110pweqd 4619 . . . 4 (𝑧 = 𝐵 → 𝒫 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝒫 𝐵)
12 vpwex 5375 . . . . . 6 𝒫 𝑧 ∈ V
1312pwex 5378 . . . . 5 𝒫 𝒫 𝑧 ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝑧 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑧 ∈ V)
151, 9, 11, 14elmptrab 23551 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
16 3anass 1095 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
1715, 16bitri 274 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
18 pwexg 5376 . . . . 5 (𝐵𝐴 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
19 elpw2g 5344 . . . . 5 (𝒫 𝐵 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵))
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵))
2120anbi1d 630 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
22 elex 3492 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
2322biantrurd 533 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))))
2421, 23bitr3d 280 . 2 (𝐵𝐴 → ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))))
2517, 24bitr4id 289 1 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wnel 3046  wral 3061  Vcvv 3474  cin 3947  wss 3948  c0 4322  𝒫 cpw 4602  cfv 6543  fBascfbas 21132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-fbas 21141
This theorem is referenced by:  fbasne0  23554  0nelfb  23555  fbsspw  23556  isfbas2  23559  trfbas2  23567  fbasweak  23589  zfbas  23620  tsmsfbas  23852  ustfilxp  23937  minveclem3b  25169
  Copyright terms: Public domain W3C validator